数学教材习题点拨：离散型随机变量的均值与方差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨1．？根据两点分布的均值公式,如果罚球命中概率为0。8，那么罚球1次的得分均值是多少?解答：罚球一次的得分均值为0。8分．2．思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定会是90分吗？他的成绩的均值为90分的含义是什么？解答:不一定会是90分，他的成绩是一个随机变量，可能取值为0,5，10,…，95,100.这个随机变量的均值为90分，其含义是在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分．3．思考：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？解答：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,而本班的两名候选人的平均成绩只有8环，要想取胜或不输，本班的选手必须超常发挥．一般来讲，方差越大的随机变量,超常发挥的可能性越大，因此应该派第一名同学参赛．如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，要想取胜或不输,本班选手的射击成绩最好能以较大的概率稳定在8环左右．在这种情况下，由于本班的两名候选人的平均成绩只有8环，因此选择射击成绩更集中于8环的选手,即选择方差小的选手获胜或不输的可能性大，所以应选第二名同学参加比赛．4．探究：你能证明下面结论吗？DaX＋b＝a2DX）解答：能．证明如下:设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn由Y＝aX＋b（a，b为常数）知Y也是离散型随机变量,Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn由数学期望的线性性质得E（Y)＝aE(X）＋b，于是D（aX＋b)＝D（Y）＝＝．练习11．解：不一定．比如掷一枚硬币,出现正面的次数X是随机变量，它取值0,1,取每个值的概率都为0。5，其均值是0.5.再比如随机变量X的分布列为X－1010P0。40.6X的均值是2.2．解：E(X)＝0×0。1＋1×0。2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＋5×0.1＝2。3。3．解:X的分布列为X－11P0.50。5所求值为E(X）＝－1×0。5＋1×0.5＝0。4．解：第1台机床生产零件的平均次品数E(X1)＝0×0。4＋1×0。3＋2×0.2＋3×0.1＝1，第2台机床生产零件的平均次品数E（X2）＝0×0。3＋1×0。5＋2×0.2＝0.9.因为第2台机床生产零件的平均次品数E（X2）小于第1台机床生产零件的平均次品数E（X1）,所以第2台机床更好，其实际含义是随着产量的增加，第2台机床生产出的次品数要比第1台机床生产出的次品数少．5．解：同时抛掷5枚质地均匀的硬币，相当于做5次重复试验,出现正面向上的硬币数X服从二项分布B(5,0.5)，所以E（X)＝np＝5×0。5＝2.5.评注：在教材中已给出二项分布的期望,本题可以直接利用这个结果．练习21．解:E(X)＝0×0。1＋1×0。2＋2×0。4＋3×0.2＋4×0。1＝2,D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2)2×0。2＋(2－2)2×0。4＋(3－2）2×0。2＋（4－2）2×0.1＝1。2，≈1。095.2．解：E(X)＝c×1＝c，D(X)＝（c－c）2×1＝0.3．解：随机变量的方差反映随机变量的取值稳定(或偏离)于均值的程度．方差越大,随机变量的取值越分散,方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近．通常在均值相等的情况时要比较方差的大小．如从甲、乙两名射击选手中选出一位参加比赛．已知甲、乙的均值都是9环，甲的方差是3，乙的方差是5，则甲比乙的射击技术稳定，派甲参赛更合适．习题2.3A组1．解：E(X）＝－2×0。16＋1×0.44＋3×0.40＝1。32.E（2X＋5）＝2×E(X)＋5＝7。64.D(X)＝（－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32）2×0.44＋(3－1.32）2×0。40＝2。9376。≈1.7139.2．解：E(X）＝0×＋1·a＋2·b＝a＋2b＝1，又＋a＋b＝1，∴a＝，b＝。3．解：在同样的条件下连续射击10次,相当于做10次重复试验,击中靶心的次数X服从二项分布B(10,0。9)，所以E（X)＝np＝10×0。9＝9.4．解:设X表示一张奖券的中奖金额,则它的分布列为X210501001000P0。10。030.010。0050.0005其数学期望为E(X）＝2×0。1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0。005＋1000×0。0005＝2。5．解：E（X1)＝6×0。16＋7×0。14＋8×0.42＋9×0。1＋10×0。18＝8，D（X1）＝（6－8）2×0。16＋(7－8）2×0。14＋（8－8)2×0。42＋（9－8)2×0。1＋（10－8）2×0。18＝1.6，E(X2）＝6×0.19＋7×0。24＋8×0.12＋9×0.28＋10×0。17＝8，D(X2）＝(6－8)2×0。19＋（7－8）2×0。24＋(8－8)2×0.12＋(9－8)2×0.28＋(10－8）2×0。17＝1。96.因为甲、乙两名射手的期望环数相等，而乙射手射击的环数方差比甲射手射击的环数方差大，所以可以说,甲、乙两名射手射击的平均水平没有差别,在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定．B组1．解:抛掷两枚骰子，当两枚骰子都不出现5点和6点时的概率为。所以至少有一个出现5点或6点的概率为。所以X～B，E（X)＝。2．解：设ξ表示一周内发生故障的次数，则ξ～B（5,0.1),从而P(ξ＝k)＝0。1k0。95－k，k＝0，1，2，3，4，5，P(ξ＝0)＝×0。10×0。95＝0.59049，P（ξ＝1）＝×0.11×0。94＝0。32805,P（ξ＝2)＝×0。12×0.93＝0。0729，P（ξ≥3）＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝0。00856。用X表示所得利