中考数学总复习《图形变换综合压轴题》专题测试卷（附答案）

第第页中考数学总复习《图形变换综合压轴题》专题测试卷（附答案）1．线段AB与CD的位置关系如图1所示，AB=CD=m，AB与CD的交点为O，且∠AOC=60°，分别将AB和AC平移到CE,BE的位置（如图2）．(1)求CE的长和∠DCE的度数；(2)在图2中求证：AC+BD>m．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A′B′

(1)在图1中，作出一个以AB为边的等边三角形；(2)在图2中，作出一个菱形．3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别A（1，4），B（2，0），C（3，2）（1）画出将△ABC沿AC翻折得到的△AB1C1；（2）画出将△ABC沿x轴翻折得到的△A2BC2；（3）观察发现：△A2BC2可由△AB1C绕点（填写坐标）旋转得到（4）在旋转过程中，点B1经过的路径长为．4．如图1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到(1)求证：DF=DE；(2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE5．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．(1)求证：CE平分∠BED；(2)取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；(3)若BC=2AB=4，求CG的长．6．已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD＝CE．点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接A，D，F．（1）如图1，若点D，点E在边BC上，试判断△ADF的形状并说明理由；（2）如图2，若点D，点E在边BC外，求证：∠BAD=∠FDC．7．如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M(1)如图1，求证：MN=(2)当AB=6，MN=5时，求(3)当∠MAN绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN8．如图1，在△ABC中，AB=AC，点DE、分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，连接MQ、PM．(1)求证：PM=MQ；(2)当∠A=50°时，求PMQ的度数；(3)将△ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置，若∠PMQ=120°，判断△ADE的形状，并说明理由．9．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是射线CB上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，连接BE交射线AC于点F．(1)如图1，当点D与点C重合时，求AF的长；(2)如图2，当点D在线段BC上时，连接CE，在点D的运动过程中，请问△AEC的面积是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由；(3)当BD=1时，求AF的长．10．在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以点B为旋转中心，把BA顺时针旋转60°至BE．(1)如图1，点A在线段DF上，连接CE，求证：CE=DA；(2)如图2，点A在线段FD的延长线上，请在图中画出BE并连接CE，当∠DEC=45°时，连接AC，求出∠BAC的度数；(3)在点A的运动过程中，若BD=6，求EF的最小值11．如图，一个含60°角的纸片顶点与等边△ABC的点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片60°角的一边交直线AC于点D，在另一边上截取点E，使BE=BD，连接AE．(1)当点D在边AC上时，如图①，求证：AC=AD+AE；(2)当点D在边AC所在直线上，如图②、如图③时，线段AD,AC,AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(3)在图③中，AD、BE交于点K，若AE=4,BC=6，则AD=_______，DK=______．12．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°,∠MBN绕B(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证：AE+CF=EF．(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF=EF．(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，13．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，AB=AC，点E是BC边上一点，连接AE，将AE绕着点A顺时针旋转α得到线段AF．

(1)如图1，若α=∠BAC=90°，连接BF，BF=3，BC=8，求△ABE的面积；(2)如图2，若α=2∠BAC=120°，连接CF交AB于H，求证：2AH+CE=AD；(3)若在（2）的条件下，3CE=BC=9，点P为AB边上一动点，连接EP，将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EQ，连接CQ，当线段CQ取得最小值时，直接写出四边形BHQE的面积．14．已知：正方形ABCD，以A为旋转中心，旋转AD至AP，连接BP、DP．(1)若将AD顺时针旋转30°至AP，如图1所示，求∠BPD的度数？(2)若将AD顺时针旋转α度0°<α<90°至AP，求∠BPD的度数？(3)若将AD逆时针旋转α度0°<α<180°至AP，请分别求出0°<α<90°、α=90°、90°<α<180°三种情况下的∠BPD的度数（图2、图3、图4）．15．已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF．(1)证明：EF⊥AC；(2)将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°<α<45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．(3)若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．16．【问题思考】如图1，点E是正方形ABCD内的一点，过点E的直线AQ，以DE为边向右侧作正方形DEFG，连接GC，直线GC与直线AQ交于点P，则线段AE与GC之间的关系为______．【问题类比】如图2，当点E是正方形ABCD外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】如图3，点E是边长为6的正方形ABCD所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边AD的最大距离为______（直接写出结果）．17．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以BD为一边作正方形BDFE，点F恰好与点A重合，则线段CF与AE

（2）【拓展探究】在（1）的条件下，如果正方形BDFE绕点B顺时针旋转，连接CF，AE，BF，线段CF与AE的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题解决】当AB=AC=6，且（2）中的正方形BDFE绕点B顺时针旋转到E，F，C三点共线时，求出线段AE的长．

18．综合与实践：问题情景：如图1、正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AEAB<AE在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG

(1)操作发现：当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；(2)操作发现：如图3，当点E在BC延长线上时，连接FC，求∠FCE的度数；(3)问题解决：如图4，如果α=45°，AB=2，AE=42，请直接写出点G到BE19．如图①在正方形ABCD中，连接BD，点E是边AB上的一点，EF⊥AB交BD于点F，点P是FD的中点，连接EP、CP．

(1)如图①，探究EP与CP有何关系，并说明理由；(2)若将△BEF绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接FD，取FD的中点P，连接EP、CP，请问在该条件下，①中的结论是否成立，并说明理由；(3)如果把△BEF绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接FD，取FD的中点P，连接EP、CP，请你直接写出EP与CP的关系．20．综合与实践问题情境：数学活动课上，老师向大家展示了一个图形变换的问题．如图1．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF．试判断△AEF的形状．独立思考：(1)请解答问题情境提出的问题，并写出证明过程．实践探究：(2)如图2．将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ．请猜想线段BP，PQ，DQ之间的数量关系，并加以证明．问题解决：(3)如图3．连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP，AQ分别交对角线BD于点M，N，将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4所示．若BM=7，DN=24，求MN的长．参考答案1．（1）解：∵将AB和AC平移到CE,BE的位置，∴AB=CE,AB∥CE，∴∠AOC=∠DCE，∵∠AOC=60°，AB=CD=m，∴∠DCE=60°，CE=AB=m；（2）证明：如图，连接DE，由（1）得：∠DCE=60°，CE=AB=m，∵AB=CD=m∴CD=CE，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CD=m，∵将AB和AC平移到CE,BE的位置，∴AC=BE，在△BDE中，BD+BE>DE，即AC+BD>m．2．（1）解：△ADB是等边三角形，即为所求，理由如下：如图，延长AC交BB′于一点

∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt∴∠A=60°∴∠∴∠BDA=180°−60°−60°=60°∴△ADB是等边三角形；（2）解：四边形ABDE是菱形，即为所求，理由如下：过点D作DE平行于AB交BC的延长线于一点，即为点E，连接AE，如图：

由（1）知△ADB是等边三角形，且∠ACB=90°∴BC⊥AD∴DC=AC∵DE∥AB∴∠DEB=∠ABC∵∠DCE=∠ACB∴△DCE≌△ACB∴BC=EC∴四边形ABDE是菱形．3．解：（1）如图：（2）如图：（3）（5，0）（4）B1经过的路径是以（5，0）为圆心，BB1为半径的圆弧，∴C＝14×2×π×3＝34．（1）证明：∵∠DBE=1∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=1∵△ABF由△CBE旋转而成，∴BE=BF，∠ABF=∠CBE，∴∠DBF=∠DBE，在△DBE与△DBF中，BE=BF∠DBE=∠DBF∴△DBE≌△DBF（SAS）∴DF=DE；（2）证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCE=45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，∴AF=EC，∴∠FAB=∠BCE=45°，∴∠DAF=90°，在Rt△ADF中，D∵AF=EC，∴DF同（1）可得DE=DF，∴DE5．（1）证明：∵将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED；（2）证明：过点C作CN⊥BE于N，如图：∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，∴CD=CN，∴BG=AB=CD=CN，∵∠BHG=∠NHC，∠GBH=∠CNH=90°，BG=CN，∴△BHG≌△NHC(AAS∴GH=CH，即点H是CG中点，∵点M是BC中点，∴MH是△BCG的中位线，∴MH∥BG；（3）解：过点C作CN⊥BE于N，过G作GR⊥BC于R，如图：∵BC=2AB=4，∴BG=AB=CD=CN=2，∴CN=1∴∠NBC=30°，∵∠GBE=90°，∴∠GBR=60°，∴BR=12BG=1在Rt△GRC中，CG=G∴CG的长为276．解：（1）△ADF为等边三角形，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠ABC=∠ACB∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴AD=AE,∠BAD=∠CAE．∵点F，点E关于直线AC成轴对称，∴AF=AE,∠CAF=∠CAE，∴AD=AF,∠CAF=∠BAD．∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠CAF+∠DAC=60°，即∠DAF=60°,∴△ADF为等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠ABC=∠ACB∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴AD=AE,∠BAD=∠CAE．∵点F，点E关于直线AC成轴对称，∴AF=AE,∠CAF=∠CAE，∴AD=AF,∠CAF=∠BAD．∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠CAF+∠DAC=60°，∴△ADF为等边三角形．∴∠ADF=∠FDC+∠ADC=60°∵∠BAD+∠ADC=∠ABC=60°∴∠BAD=∠FDC7．（1）解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△则：△ABM∴AM=∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD∵∠MAN∴∠MAB∴∠M∴∠MAN又∵AM=∴△AMN∴MN=（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=6∵△∴MN∴S△∵△∴S△∴S△（3）解：DN=如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM则：∠MAM′∴AM=∵∠MAN∴∠M∴∠MAN又∵AM=∴△AMN∴MN=∴DN=8．（1）证明：∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵P，M分别为DE，DC的中点，∴PM=12CE∵M，Q分别为DC，CB的中点，∴MQ=12DB∴PM=MQ；（2）解：∵点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，∴MQ∥DB，∴∠MQC=∠B，∠DMP=∠ACD∴∠PMQ=∠DMP+∠DMQ=∠ACD+∠BCD+∠MQC=∠ACD+∠BCD+∠B=180°−50°=130°；（3）解：△ADE是等边三角形，理由如下：由旋转的性质可知，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵P，M为DE，DC的中点∴PM∴∠PMD=∠ECD∵M，Q为DC，BC的中点∴MQ∴∠MQC=∠DBC∴∠MPQ=∠DMP+∠DMQ=∠DCE+∠MQC+∠MCQ=∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠MCQ=∠ACD+∠MCQ+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=120°，∴∠BAC=180°−120°=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°，又∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形．9．（1）解：∵将AD绕点A逆时针旋转90°，∴AD=AE，∵点D与点C重合，∴AC=AE，∴BC=AC=AE，又∵∠AFE=∠BFC，∠EAF=∠BCF=90°，∴△BCF≌△EAF(AAS∴AF=CF，∵AC=BC=4，∴AF=CF=2；（2）解：△AEC的面积不会变化，理由如下：如图，过点E作EH⊥AC于H，∵将AD绕点A逆时针旋转90°，∴AD=AE，∴∠DAC+∠CAE=90°=∠DAC+∠ADC，∴∠ADC=∠CAE，∴△ADC≌△EAH(AAS∴EH=AC=4，∴S△ACE（3）解：当点D在线段BC上时，∵BD=1，∴CD=3，∵△ADC≌△EAH，∴CD=AH=3，∴CH=1，∵∠EHF=∠ACB=90°，∠AFE=∠BFC，∴△EFH≌△BFC(AAS∴FH=FC=1∴AF=AF+FH=7当点D在线段CB的延长线时，过点E作EH⊥直线AC于H，∵BD=1，∴CD=5，同理可证△ACD≌△EHA，∴CD=AH=5，∴CH=1，同理可证：△BCF≌△EHF，∴FH=FC=1∴AF=AC+FC=9综上所述：AF的长为72或910．（1）解：由旋转得，BA=BE，∠ABE=60°，∵△BCD是等边三角形，∴BD=BC，∠DBC=60°，∴∠ABE=∠DBC，∴∠DBA+∠ABC=∠ABC+∠CBE，∴∠DBA=∠CBE，在△DBA与△CBE中，BD=BC∠DBA=∠CBE∴△DBA≌△CBE（∴DA=CE．（2）解：如图3，由（1）可知，△DBA≌∴DA=CE，∠BDA=∠BCE，又∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，DB=DC，∵DB=DC，∴△BCD是等腰三角形，∵DF⊥BC，∴∠BDF=1∴∠BDA=180°−∠BDF=150°，∴∠BCE=150°，∠CDA=360°−∠BDA−∠BDC=150°，∴∠DCE=∠BCE−∠BCD=90°，∵∠DEC=45°，∴∠EDC=45°，∴∠DEC=∠EDC，∴CE=CD，∴DB=DC=DA，∴∠BAD=180°−∠BDA2=15°∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°．（3）解：∵由图1可知，当点A在线段DF上时，∠BCE=∠BDA=30°；由图3可知，当点A在线段FD的延长线上时，∠BCE=∠BDA=150°；由图4可知，当点A在线段DF的延长线上时，∠BCE=∠BDA=30°；∴综上所述，当点A在直线DF上运动时，直线CE与直线BC的夹角始终为30°，即点E的运动轨迹为一条直线，过点F作FE′⊥EC于点E′，则当点E运动到点∵BD=CD=BC=6，DF⊥BC，∴CF=1又∵FE′⊥EC∴FE∴EF的最小值为3211．(（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°．∵∠EBD=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即：∠ABE=∠CBD，∵BD=BE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD．∵AC=AD+CD，∴AC=AD+AE．（2）如图2，当点D在CA的延长线时，∵∠DBE=∠ABC=60°，∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，即∠ABE=∠CBD，∵AB=BC，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD=AC+AD，∴AD=AE-AC；如图3，当点D在AC的延长线上时，∵∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，即∠ABE=∠CBD，∵AB=BC，BD=BE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD=AD-AC，∴AC=AD-AE；综上，当点D在CA延长线时，AD=AE-AC；当点D在AC的延长线上时，AC=AC-AE；（3）解：由（2）得△ABE≌△CBD，∴CD=AE=4，∠BAE=∠BCD=180°-∠ACB=120°，∴AD=AC+CD=6+4=10，∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE∥BC，∴△AKE∽△CKB，∴AKCK∴AK=23CK又∵AK+CK=AC=BC=6，∴53CK∴CK=185∴DK=CK+CD=185+4=3812．解：（1）∵AB⊥AD,BC⊥CD,∴∠A=∠C,在△ABE与△CBF中，AB=BC∠A=∠C∴△ABE≅△CBF(∴∠ABE=∠CBF,BE=BF,∵∠ABC=∴∠ABE=∠CBF=∴AE=∵∠MBN=60∴△BEF为等边三角形，∴BE=BF=EF,∴AE=CF=∴AE+CF=EF;（2）如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG∴BE=BG,AE=CG,∠A=∠BCG,∵AB=BC,∠ABC=∴点A与点C重合，∵∠A=∠BCF=∴∠BCG+∠BCF=∴点G、C、F三点共线，∵∠ABC=∴∠GBF=在△GBF与△EBF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△GBF≅△EBF(∴FG=EF,∴EF=AE+CF；（3）不成立，EF=AE−CF，理由如下：如图，将RtΔABE顺时针旋转120°，得∴AE=CG，由（2）同理得，点C、F、G三点共线，∵AB=BC,∠ABC=∴点A与点C重合，∠ABE=∠CBG,∴BG=BE,∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=∵∠MBN=∴∠GBF=在ΔBFG与ΔBG=BE∠GBF=∠EBF∴△BFG≅△BFE(SAS∴GF=EF,∴EF=AE−CF.13．（1）解：如图：过点A作BC的垂线交BC于点M，

∵α=∠BAC=90°，∴∠FAB=∠EAC，在△FAB和△EAC，FA=EA∠FAB=∠EAC∴△FAB≅△EACSAS，∴FB=CE，又∵BF=3，BC=8，∴BE=BC−CE=8−3=5，又∵∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=1∴S△ABE=12BE×AM（2）解：在BH上截取BP=CE，连接CP，

∵α=2∠BAC=120°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC，在△CBP和△ACE中，BP=CE∠B=∠ACB=60°∴△CBP≅△ACE，∴CP=AE=AF，∠BPC=∠AEC=60°+∠BAE，∴∠APC=180°−∠BAE+60°，∵∠FAB=120°−∠BAE，∴∠APC=∠FAB，在△AHF和△CPH中，∠APC=∠FAB∴△AHF≅△PHCAAS∴AH=PH∵BP=CE∴AB=BC=AD=AH+PH+CE=2AH+CE．（3）解：如图：∵3CE=BC=9，∴CE=3，BE=BC−CE=6,连接EH，由（2）可知∠BAC=∠ABC=60°，BE=BH=6∴△BHE是等边三角形，∴∠BEH=60°，BE=HE，

∵将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EP∴PE=P1E，∠PE在△BPE和△HEPPE=P∴△BEP≅△HEP1∴∠B=∠EHP∵∠BEH=60°，∴∠BEH=∠EHP∴HP1∥BC，点P1过H作HP1∥BC，其延长线角CD于M，过C作由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当CQ⊥MH时，即CQ有最小值∵BH∥CM，BC∥HM，∴四边形BHMC是平行四边形，∴CM=BH=6，∠HMC=∠B=60°，∴∠QCM=30°，∴MQ=∴CQ=∴边形BHQE的面积为BE⋅CQ=6×33

14．（1）解：∵AD顺时针旋转30°至AP，∴AD=AP，∠PAD=30°，∴∠APD=1∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°−30°=60°，∴∠BPA=1∴∠BPD=60°+75°=135°．（2）∵AD顺时针旋转α至AP，∴AD=AP，∠PAD=α，∴∠APD=1∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°−α，∴∠BPA=1∴∠BPD=90°−（3）①当0°<α<90°时，∵AD逆时针旋转α至AP，∴AD=AP，∠PAD=α，∴∠APD=1∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°+α，∴∠BPA=1∴∠BPD=90°−②当α=90°时，∵AD逆时针旋转90°至AP，∴AD=AP，∠PAD=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°+90°=180°，即点P、A、B三点共线，∴∠BPD=∠APD=1③当90°<α<180°时，∵AD逆时针旋转α至AP，∴AD=AP，∠PAD=α，∴∠APD=1∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=360°−90°+α=270°−α，∴∠BPA=1∴∠BPD=90°−15．（1）证明：如图1：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵BE=DF，∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，∴AC⊥EF.（2）解：FH如图2，过A作AK⊥AC，截取AK=AH，连接GK、EK，∵∠CAB=45°，∴∠CAB=∠KAB=45°，∵AG=AG，∴△AGH≅△AGKSAS∴GH=GK，由旋转得：∠FAE=90°，AF=AE，∵∠HAK=90°，∴∠FAH=∠KAE，∴△AFH≅△AEKSAS∴∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK，∵∠AEH=45°，∴∠KEG=45°+45°=90°，Rt△GKE中，K即：FH（3）解：如图3，∵AD=AB，∠DAF=∠BAE，AE=AF，∴△DAF≅△BAESAS∴∠DFA=∠BEA，∵∠PNF=∠ANE，∴∠FPE=∠FAE=90°，∴将△AEF绕点A旋转一周，总存在直线EB与直线DF垂直，∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，当P与C重合时，PC最小，PC=0，当P与A重合时，PC最大为52∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤5216．解：问题思考：设AQ和BC交于点H，∵四边形ABCD和四边形DEFG都为正方形，∴∠ADC=∠EDG=90°，DA=DC,DE=DG，∴∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG(SAS∴AE=CG，∠DAE=∠DCG，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH，即∠BAH=∠PCH，∵∠AHB=∠CHP，∴∠B=∠CPA=90°，即AE⊥CG，故答案为：AE=GC，AE⊥GC；问题类比：问题思考中的结论仍然成立，理由如下：设AQ和BC交于点H，∵四边形ABCD和四边形DEFG都为正方形，∴∠ADC=∠EDG=90°，DA=DC,DE=DG，∴∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG(SAS∴AE=CG，∠DAE=∠DCG，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH，即∠BAH=∠PCH，∵∠AHB=∠CHP，∴∠B=∠CPA=90°，即AE⊥CG，故答案为：AE=GC，AE⊥GC；拓展应用：∵∠CPA=90°，∴点P的运用轨迹即为以AC为直径的⊙O上，如图：当点P位于AD右侧，PH⊥AD且经过圆心O时，动点P到边AD的距离最大，∵正方形的边长为6，∴AC=62，OH=3∴OP=OC=1∴PH=OH+OP=3+32即动点P到边AD的最大距离为3+32故答案为：3+3217．（1）解：如图1，∵四边形BDFE是正方形，∴FE=BE，∠E=90°，∴BF=B∵点F与点A重合，AB=AC，∴CF=AC=AB=BF，FE=AE，∴CF=2故答案为：CF=2（2）无变化，理由如下：证：如图2，∵EB=EF，∠BEF=90°，∴∠EBF=∠EFB=45°，BF=E∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=A∴BFEB=BC∴△CBF∽△ABE，∴CFAE∴CF=2（3）如图2，E，F，C三点共线，且点F在线段CE上，∵BC=2AB，∴BC=2×6=62∴BE=EF=BD=1∵∠BEC=90°，∴CE=B∴CF=CE−EF=36∵CF=2∴AE=2如图3，E，F，C三点共线，且点F在线段CE的延长线上，∵BFEB=BC∴△CBF∽△ABE，∴CFAE∴CF=2∵∠BEF=90°，∴∠BEC=180°−∠BEF=90°，∴CE=B∴CF=CE+EF=36∴AE=2综上所述，线段AE的长为33−3或

18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，又∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，∴∠BAE=∠DAG．在△ABE与△ADG中，AB=AD,∠BAE=∠DAG∴△ABE≅△ADGSAS∴BE=DG；（2）解；过F作FH⊥BE，垂足为H，

∵∠AEF=∠ABE=∠EHF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∠FEH+∠EFH=90°，∴∠AEB=∠EFH，∵四边形AEFG是正方形，∴AE=EF，在△ABE与△EHF中，∠ABE=∠EHF∠AEB=EFH∴△ABE≌∴AB=EH，BE=FH，∴AB=BC=EH，∴BC+EC=EH+EC，∴BE=CH=FH，又∵∠EHF=90°，∴∠FCE=45°，（3）解：如图，连接GB，GE，过点B作BH⊥AE于点H，∵GE是正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°，∵∠EAB=45°，∴AB∥∴S△BEG∵AB=2，∴BH=AH=2∴HE=42在Rt△BHE中，BE=设点G到BE的距离为h，∵S△BEG∴12×25∴点G到BE的距离为165

19．解：（1）EP=CP，且EP⊥CP．证明：过PH⊥AB于点H，延长HP交CD于点I，作PK⊥AD于点K．

则四边形PIDK是正方形，四边形AKPH是矩形，∴AK=HP，KD=DI=PI=AH，∵AD=CD，∴IC=HP，∵