对数函数的概念+4.3.2+对数函数y=log2x的图象和性质+练习 高一上学期数学北师大版（2019）必修+第一册

§3对数函数3.1对数函数的概念3.2对数函数y=log2x的图象和性质一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)1.[2024·江西赣州定南中学高一月考]下列函数中为对数函数的是 ()A.y=logx2B.y=2log4(1-x)C.y=lnxD.y=log(a2+a2.函数y=log2x的图象经过点 ()A.(1,0) B.(1,1)C.(-1,1) D.(2,2)3.函数y=1-log2xA.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(0,2] D.(1,2]4.已知a=log43,b=log20.3,c=log2π,则a,b,c的大小关系是 ()A.a<c<b B.a<b<cC.b<a<c D.b<c<a5.[2024·湖南长沙一中高一期中]若对数函数f(x)的图象经过点(4,2),则它的反函数g(x)的解析式为 ()A.g(x)=2xB.g(x)=1C.g(x)=4xD.g(x)=x26.函数y=log2x,x∈14,4的值域为 A.[2,4] B.[-1,2]C.[-2,2] D.[-2,1]7.已知函数f(x)=|log2(x-1)|,若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则1x1+1x2=A.12 B.C.2 D.58.(多选题)已知函数f(x)=log2x,则下列说法中正确的是 ()A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.若0<x1<x2,则f(x9.(多选题)设a=log232,b=log253,c=log23,则下列结论正确的是 (A.a>c B.b>aC.a>b D.c>b二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)10.[2024·山西太原高一期末]已知函数f(x)=log3x与g(x)互为反函数,则g(2)=.

11.设函数f(x)=log2x,x≥1,0,x<1,则满足12.若函数f(x)=2x+log2x在[1,a]上的取值范围为[n,m],且m-n=16,则a=.

三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的反函数是其本身,求实数a的值.14.(10分)设函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;(2)当x≥0时,求y=g(x)-f(x)的最小值.15.(5分)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m+n=.

16.(15分)已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(1-x),设h(x)=f(x)-g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)若不等式h(x)>log2m(1-x)x§3对数函数3.1对数函数的概念3.2对数函数y=log2x的图象和性质1.C[解析]函数y=logx2,y=2log4(1-x)的真数不是自变量x,它们不是对数函数,A,B不满足题意;函数y=lnx是对数函数,C满足题意;函数y=log(a2+a)x的底数含有参数a,而a的值不能保证a2+a是不等于1的正数2.A[解析]根据对数的运算可知,log21=0,log21≠1,log2(-1)无意义,log22=1,所以函数y=log2x的图象经过点(1,0).故选A.3.C[解析]函数y=1-log2x有意义,则1-log2x≥0且x>0,即log2x≤1且x>0,解得0<x≤2,所以原函数的定义域为4.C[解析]a=log43=log23,因为0.3<3<π,y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以log20.3<log23<log2π,即b<a<c.5.A[解析]设f(x)=logax(a>0且a≠1),因为函数f(x)的图象过点(4,2),所以f(4)=loga4=2,即a=2,所以f(x)=log2x,它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.故选A.6.C[解析]因为y=log2x,x∈14,4是增函数,所以ymin=log214=-2,ymax=log24=2,所以函数的值域为[-2,2]7.B[解析]f(x)的定义域为(1,+∞),由题意,不妨设1<x1<x2,∵f(x)=|log2(x-1)|,f(x1)=f(x2),∴-log2(x1-1)=log2(x2-1),∴log2[(x1-1)(x2-1)]=0,∴(x1-1)(x2-1)=1,即x1·x2-(x1+x2)+1=1,∴x1·x2=x1+x2,∴1x1+1x2=18.ACD[解析]对于A,函数f(x)为增函数,故A正确;对于B,f(x)=log2x不是偶函数,故B不正确;对于C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0,故C正确;对于D,由f(x)=log2x的图象知,若0<x1<x2,则f(x1)+f(x2)9.BD[解析]因为函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,0<32<53<3,所以log232<log253<log23,即10.9[解析]由对数函数的反函数为同底数的指数函数可得g(x)=3x,故g(2)=32=9.11.13,+∞[解析]根据题意可得3x>1,3x>x-1,解得x>1312.4[解析]∵f(x)在[1,a]上单调递增,∴f(1)≤f(x)≤f(a),∴m-n=2a+log2a-2=16,则2a+log2a=18,又f(4)=18,∴a=4.13.解:(1)由8-2x>0,得2x<8,解得x<3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,3).(2)由y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1),得x=log2(8-ay),互换x,y,得y=log2(8-ax),所以函数f(x)的反函数为y=log2(8-ax).又因为函数f(x)的反函数是其本身,所以a=2.14.解:(1)∵g(x)≥f(x),∴log2(3x+1)≥log2(x+1),∴3x+1≥x+1即所求x的取值范围是[0,+∞).(2)当x≥0时,y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)=log23x+1x+1.设u=3x+1x+1=3-2x+1(x≥0),则易知该函数在[0,+∞)上单调递增,∴当x=0时,umin=1.又y=log15.52[解析]作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示,得0<m<1<n,所以0<m2<m<1.结合函数图象,易知当x=m2时,f(x)在[m2,n]上取得最大值,所以f(m2)=|log2m2|=2.又0<m<1,所以m=12,再结合f(m)=f(n),可得n=2,所以m+n=12+2=16.解:(1)h(x)=log2(x+1)-log2(1-x)=log2x+1函数h(x)的自变量x满足x+1>0,1-x所以函数h(x)的定义域为(-1,1).