2025届湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2025届湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校高二上数学期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（）A. B.C. D.2．已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A.250 B.210C.160 D.903．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（）A.2 B.C.3 D.4．在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（）A. B.C. D.5．函数在和处的导数的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定6．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，307．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）海里.A. B.C. D.108．已知等比数列{an}中，，，则（）A. B.1C. D.49．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最大值为（）A. B.C. D.10．设等差数列，前n项和分别是，若，则（）A.1 B.C. D.11．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.12．，，，，设，则下列判断中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左，右焦点分别为，，右焦点到一条渐近线的距离是，则其离心率的值是______；若点P是双曲线C上一点，满足，，则双曲线C的方程为______14．设等差数列的前项和为，若，，则______15．过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.16．在正项等比数列{an}中，若，与的等差中项为12，则等于_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.（1）求动点D的轨迹E的方程；（2）直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.18．（12分）已知椭圆的短轴长是2，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由19．（12分）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于直线对称，求的最大值.20．（12分）已知函数在处取得极值7（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值21．（12分）记数列的前n项和为，已知点在函数的图像上（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前9项和22．（10分）如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，（1）证明：；（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.【详解】令公差为，则，解得，所以，当时，取最大值.故选：B2、B【解析】设为等比数列，由此利用等比数列的前项和为能求出结果【详解】设，等比数列的前项和为为等比数列，为等比数列，解得故选：B3、C【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，故选：C.4、D【解析】根据四点共面的向量表示，可得结果.【详解】由共面知，故选：【点睛】本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.5、A【解析】求出函数导数即可比较.【详解】，，所以，即.故选：A.6、A【解析】求得组距，由此确定正确选项.【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合.故选：A7、C【解析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故选：C.8、D【解析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故选：D9、D【解析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值.【详解】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以，为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.10、B【解析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以，故选：B11、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即故选：D12、D【解析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.【详解】解：，，，，，；，.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.##1.5②.【解析】求得焦点到渐近线的距离可得，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，又，，，，.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即，，即，解得：，由，解得：,.双曲线C的方程为.故答案为：；.14、77【解析】依题意利用等差中项求得，进而求得.【详解】依题意可得，则，故故答案为：77.15、【解析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.【详解】设点、，则，由已知可得，由题意可得，将两个等式相减得，所以，，因此，.故答案为：.16、128【解析】先根据条件利用等比数列的通项公式列方程组求出首项和公差，进而可得.【详解】设正项等比数列{an}的公比为，由已知，得，①，又，②，由①②得，故答案为：128.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)设出点D的坐标，借助向量运算表示出点P的坐标代入圆O的方程计算作答.(2)在直线的斜率存在时设出其方程，与轨迹E的方程联立，借助韦达定理表示出，再利用二次函数性质计算得解，然后计算直线的斜率不存在的值作答.【小问1详解】设点，则，因，则有，又点P在圆上，即，所以动点D的轨迹E的方程是.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设其方程为：，因直线与圆相切，则，即，而时，直线与椭圆E相切，不符合题意，因此，由消去x并整理得：，设，则，而点T是线段AB中点，则有：，令，则，而，当，即时，，当，即时，，而，于是得，当直线的斜率不存在时，直线，，此时，所以的取值范围是.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.18、（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】(1)利用离心率，短轴长求出a，b，即可求得椭圆方程.(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理计算判定，由M为线段AB中点即可确定存在常数推理作答.【小问1详解】因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】存在常数，使恒成立，

由消去y并整理得：，设，，则，，又，，，则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有所以存在常数，使恒成立.19、（1）（2）【解析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.【小问1详解】设，由题意，得：，化简得，所以点轨迹方程为【小问2详解】方法一：设，因为点与点关于点对称，则点坐标为，因为点在圆，即上运动，所以，所以点的轨迹方程为，所以两圆的圆心分别为，半径均为2，则.方法二：由可得：所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆轨迹的圆心到直线的距离为：20、（1）；（2）.【解析】（1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值.【详解】（1）因为，所以，又函数在处取得极值7，，解得；，所以，由得或；由得；满足题意；（2）又，由（1）得在上单调递增，在上单调递减，因此【点睛】方法点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题方法如下：（1）先对函数求导，根据题意，结合函数在某个点处取得极值，导数为0，函数值为极值，列出方程组，求得结果；（2）将所求参数代入，得到解析式，利用导数研究其单调性，得到其最大值.21、（1）（2）【解析】（1）利用的关系可求.（2）利用裂项相消法可求数列的前9项和【小问1详解】由题意知当时，；当时，，适合上式所以【小问2详解】则22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证