吉林省白城某中学2021年高中数学多选题100含解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1.已知函数（>0，则（）

A./（⑼的值域为（一1,y）

B.当aKO时，/（X）>/（X2+1）

C.当〃>0时，存在非零实数%,满足/（一毛）+/（毛）=。

D.函数g（x）=/（x）+a可能有三个零点

【答案】BC

【分析】

A.考虑4=2时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B.先根据条件分析了（力的单

调性,再根据/+1与X的大小关系进行判断：C.作出

5=%2+四4=一/+办,'=一/+依的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；

D.根据条件先分析出4£（0,1）,再根据有三个零点确定出。满足的不等式，由此判断出

。是否有解，并判断结论是否正确.

【详解】

当时，2

A.当x>0时，y=2-x-l>0-l=-lxWOy=x+ax=fx+—-小

4=2,此时>=（工+1）2—1之一1,

所以此时的值域为［-l,+oo）,故A错误;

B.当aKO时，y=x2+av=（5的对称轴为工=一］NO,所以/（x）在

（YO,0］上单调递减，

又因为“力在（0,+8）上单调递减，且02+0X4=2W-1，所以〃力在R上单调递

减，

又因为f+l—x=—+1>°，所以f+1>X，所以/（力>/（/+1）,故B正

确；

C.作出函数y=炉+ax,y=-x2+ax,y=2~x-1的图象如下图所示：

2x

由图象可知：、=炉+公,,=一%2+公关于原点对称，且丁=_x+or与y=2~~-1相

交于(%,%),

因为点(与,%)在函数y=-1ax的图象上，所以点(一%,一%)在函数y=/।分的图

象上，

所以/&)+/(-%)=%+(f)=0，

所以当。>0时，存在/使得/(一/)+/(毛)=0,故C正确；

D.由题意知：/(耳=一〃有三个根，所以/(X)不是单调函数，所以〃>0,

又因为y=2-“一1«—1,0),所以一4«—1,0),所以0£(0』)，

■2\2

且yuf+OVE-----,+8,若方程有三个根，则有―〃>—幺，所以。>4或"<0,这

L4)4

与aw(0,l)矛盾，

所以函数g(x)=/(%)+〃不可能有三个零点，故D错误，

故选：BC.

【点睛】

思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相

互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

(1)确定方程根的个数：

(2)求参数范围；

(3)求不等式解集；

(4)研究函数性质.

2.定义域和值域均为卜。,句的函数y=〃力和y=g(x)的图象如身所示，其中

a>c>b>0,下列四个结论中正确有()

A.方程/[g(X)]=0有且仅有三个解B.方程g[/(》)]=0有且仅有三个解

C.方程/[/(切=0有且仅有八个解D.方程g[g⑴]=0有且仅有一个解

【答案】ABD

【分析】

通过利用，=/(力和，=g(x),结合函数y=和y=g(x)的图象，分析每个选项中

外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.

【详解】

由图象可知，对于方程y=/(x),当一a<)YH或方程y=/(x)只有一

解；

当y=±。时，方程y=/(x)只有两解；当一cvyvc•时，方程y=f(x)有三解；

对于方程丁=8(“，当rzWyW。时，方程y=g(x)只有唯一解.

对于A选项，令r=g(x),则方程/。)=0有三个根4=-6,4=0，G=b，

方程g(x)=-b、g(x)=O、g(x)=b均只有一解，

所以，方程/[g(x)]=O有且仅有三个解，A选项正确；

对于B选项，令，=f(x),方程g(f)=O只有一解4=力，

方程/(/)=%只有三解，所以，方程g[f(x)]=O有且仅有三个解，B选项正确；

对于C选项，设，=〃x),方程〃/)=0有三个根"二。，匕二人，

方程/(%)=一人有三解，方程/(x)=O有三解，方程/(%)=力有三解，

所以，方程/[7(x)]=O有且仅有九个解，C选项错误；

对于D选项，令，=g(x),方程g(r)=O只有一解乙=〃，方程g(x)=b只有一解，

所以，方程g[g(x)]=O有且仅芍一个解，D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】

思路点睛：对于复合函数y=/[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：

(1)确定内层函数〃=g(x)和外层函数y=f(〃)：

(2)确定外层函数y=/(〃)的零点〃=%(i=l,2,3,..・,〃)；

(3)确定直线〃=%(i=l,2,3,…,")与内层函数”=g(;v)图象的交点个数分别为由、

。2、。3、…、%，则函数y=/[g(x)]的零点个数为4+4+4+…

3.已知函数/(x)=(£」L+4sin2'，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)是偶函数，且在(3,一)上不单调

B.函数y=/'(x)是奇函数，且在(YO,M)上不单调递增

c.函数y=/(x)在(一、,0)上单调递增

D.对任意〃ZWR,都有/(|同)=/(6)，且/(相)之0

【答案】AD

【分析】

由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.

【详解】

解：时A,.=———+4sin2—=-——-2cosxs

定义域为R，关于原点对称，

/、e~2x+\、m+i

/(-x)=----2ocos(-x)=-----2cos(x)=f(x),

ee

=是偶函数，其图像关于y铀对称，

・•・/(X)在(-Q0,+Q0)上不单调，故A正确；

对B,f\x)=ex------i-2sinx,

ex

f\-x)=e~x——+2sin(-x)=-(ex---+2sinx)=-f\x)，

e~xex

・•.(。)是奇函数，

令g(x)=e”-----+2sinx,

ex

则g<x)=/+。+2cosx>2+2cosx>0,

.•.(*)在(3,y)上单调递增，故B错误；

对C,f'(x)=ex---+2sinx,且f'(x)在(-»,+<»)上单调递增，

e

又・・"'(0)=0，

X€时，f\x)<0,

.•.y=/(x)在(一、,0)上单调递减，故C错误；

对D,・・・y=/(x)是偶函数，且在(O,+o。)上单调递增，

.,./(H)=/(w),且f(/n)之f(0)=0,故D正确.

故选：AD.

【点睛】

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

⑴在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

⑵不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

⑶利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程

中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

4.已知函数/(%)=X+—，g(x)+二则下列结论中正确的是()

XX

A./(x)+g(x)是奇函数B.是偶函数

C./(x)+g(x)的最小值为4D./(幻超。)的最小值为2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.

【详解】

•••f(x)+g(x)=x+-+x2+—

XX

19

•••/(_1)+g(r)=T+与+(T)

(-X)2XX2

/(X)+g(x)=f(-x)+g(-x)

・・•/(x)+g(x)是偶函数，A错；

•・•F(x)・g(x)=%+三(/十9

/

+/V=X+|-p+2

/(-x)-g(-x)=-x+—•(-X)2

-x(-X)JHlx7

\

••f(-x)•g(T)=f(x)g(x)

・'•/(x>g(x)是偶函数，B对;

vf(x)+g(x)=x+-+X2+^>2+2=4,当且仅当x=1和％2=二时，等号成立,

xx~XX

即当且仅当d=l时等号成立，C对：

•・,ra>g(x)=1+曰.卜+*

令£=x+一(r>2),则/(x)・g[x)=/•(产-2)=/一2f

X

.・"。)y(切'=3/一2,令3/一2>0,得r>底或/<_巫

.•.壮2时，f(x>g(x)单调递增

••・当，=2有最小值，最小值为4,D错

故选：BC.

【点睛】

本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较

高，难度较大.

5.对于具有相同定义域D的函数“力和g(x),若存在函数力(x)=米+〃(k,b为常

数)，对任给的正数m,存在相应的方£。，使得当％且时，总有

0<<m

则称直线/：y=心;+〃为曲线y=与y=g(x)的"分渐近

0</?(x)-^(x)</n

线〃.给出定义域均为O={x|x>l}的四组函数，其中曲线y=/(力与y=g(x)存在“分

渐近线”的是()

A./(x)=x2,g(x)=G

B.〃x)=l(T+2,g(x)=^2

X

cXx2+l/\xlnx+1

C.〃力下'g(')=^^

D。=g(x)=2(x-\-e-^

【答案】BD

【分析】

根据分渐近线的定义，对四组函数逐••分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.

【详解】

解：〃力和g(x)存在分渐近线的充要条件是Xf8时，

/(x)-(x)->0,/(x)>g(x).

对于①,f(x)=.，g(x)=4,

当。>1时,令尸(x)=f(力_g(x)=X2-4,

由于尸'(x)=2x-士>。，所以〃(可为增函数，

不符合Xf8时，f(x)_g(x)-0,所以不存在分渐近线；

对于②，/(x)=10-A+2>2,g("=^^<2,(x>l)

Xr

二.f(x)>g(x),

，/、，、src2x-3(1\V3

fM-g(x)=\0+2------=—+—，

xx

因为当X>1且xf8时，〃x)-g(x)f0,所以存在分渐近线；

“工£，、f+1xlnx+1

对于③，f(x)=----，g(x)=---------，

xInx

0,、，、x2+1xlrvc+\1111

f(x)-g(x)=-------------=x+-X---=---

xInxxinxxInx

当1>1且X—>8时，一与;均单调递减，但一的递减速度比;快，

xInxxInx

所以当Xf8时，/(力―g(力会越来越小，不会趋近于0,所以不存在分渐近线；

对于④，/(%)=—»^(x)=2(x-l-^),

X+1

当Xf8时，

?r222

f(x)-g(x)=---2x+2+2e~x=—+——>0,且f(x)-g(x)>°，

x+1x+1ex

因此存在分渐近线.

故存在分渐近线的是BD.

故选：BD.

【点睛】

本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.

6.若“X)满足对任意的实数。，〃都有〃々+。)=/(。)/(。)且/(1)=2,则下列判

断正确的有()

A.“X)是奇函数

B./(力在定义域上单调递增

C.当X£(0,3)时，函数

n"2)“4)46)7(2016)7(2018)/(2020)_

./(I)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定义结合函数的性质进行判断.计算出f(D判断A：先利用/(1)=2>1证明所有

有理数〃，有f(P)>L然后用任意无理数夕都可以看作是一个有理数列的极限，由极限

的性质得了(幻>1，这样可判断C,由此再根据单调性定义判断B,根据定义计算

7(2/1)

工：(及EN),然后求得D中的和，从而判断D.

【详解】

令4=0/=1,则/(1)=/(1+())=八1)/(0),即2=2/(0),"0)=1,f(x)不可

能是奇函数，A错；

对于任意xeR，/(幻。0,若存在小£/?，使得/(%)=0,则

/(0)=/(而+(-%))=与/(0)=1矛盾，故对于任意xwK,

/。)工0,

小)」(利卜佃佃十削>0,

对于任意XGR,

■:/(1)=2>1,.•.对任意正整数〃,

/里+..一…个甘n=2>一心”

、小)砾5

同理f(n)=/(1+1+--+1)=/(1)/(1)-/(1)=2〃>1，

in

对任意正有理数〃，显然有〃-一(人"是互质的正整数)，则

n

=>1>

L

对任意正无理数g,可得看作是某个有理数列〃i，〃2,“3,…的极限，而

ieN,：.f(q)与fSJ的极限，,

综上对所有正实数x,有C正确，

设办</，则吃一%>0，:•/(工2一%)>1，则

/(工2)=/(〜+(兀2一工1))=/(E)，/(工2一工1)>/(工1)，二/*)是增函数,B正确:

由己知f(2n)=f(2n-1+1)=/(2zi-1)/(1)=2/(2〃一1),差〃)=2,

/(2〃-1)

“2）44）“6）“2016）/（2018）/（2020）

‘'''十.........十..........十・・・''''十''''十''''=2+2+...+2=2x1010=2020

f（l）/（3）/（5）/（2015）/（2017）/（2019）

1。10个2

,D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能

力，对学生要求较高，本题属于难题.

2*+l,xK0\\。

7.已知函数/（x）=k.，则方程尸（x）—2/（x）+a—l=0的根的个数可

|log2x|-l,x>0

能为（）

A.2B.6C.5D.4

【答案】ACD

【分析】

先画出/*）的图象，再讨论方程/2（%）-2，（可+/-1=0的根，求得"X）的范围，再

数形结合，得到答案.

【详解】

画出的图象如图所示：

令，=7"）,则/一2/+/一1=0，则A=4（2-

当△=（）,即/=2时，，=1,此时/（幻=1,由图y=l与y=/（x）的图象有两个交

点，

即方程/（力一2/（可+储-1二（）的根的个数为2个，A正确；

当/>0时，即"<2时，z=l二也-/，则0<，2-片<0

故lvl+j2—〃241+后1-亚工1-,2-。2<1，

当1二1一，2—/时,即/⑺=1—e（T,l）,则工有2解，

当t=l+h-/时，若/e（l，2]，则x有3解；若，e（2,l+&],则x有2解，

故方程尸（另一2/（同+/-1=。的根的个数为5个或4个，CD正确；

故选：ACD

【点睛】

本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思

想，难度较大.

8.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相

对统一的和谐美.定义：能够将圆。的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的

一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是()

A.对于圆0：/+,2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数

B.函数/(x)=sinx+l是圆。：丁+()，-1)2=1的一个太极函数

c.存在圆。，使得/(力二鼻3是圆。的一个太极函数

D,直线(加+1)］一(26+1)丁一1=0所对应的函数一定是圆0：

的太极函数

【答案】BCD

【分析】

利用“太极函数"的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.

【详解】

对于A,如下图所示，若太极函数为偶函数，且S.ACE=S"P8=S.POD=S.DFB，所以该函

数平分圆。的周长和面积，故A错误；

对于B,/a)=sinr+l也关于圆心(0,1)对称，平分圆。的周长和面积，所以函数

，(力=40¥+1是圆0：/+(),_1)2=］的一个太极函数；故B正确;

对于C,小)=焉=写¥=1一言一

1

-1

l-ex

e该函数为奇函数，图象关于原点对称.

二IS=一/(4

所以存在圆0：V+y2=l使得是圆。的一个太极函数，如下图所示，故

C正确；

对于D,对于直线（〃2+1）%一（2〃?+1）），-1=0的方程，变形为

7/7（x-2>,）+（x-y-l）=O,

/、/、

令《x-2y=，0八，得[《x=2，直线（m+l）x—（2加+l）y—1=0经过圆0的圆心，可以平

x-y-l=0[y=1

分圆0周长和面积，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推

理能力，属于较难题.

7T

9.设函数g（x）=s/7wx（3>0）向左平移—个单位长度得到函数/（X）,已知/（x）在[0,2m上有

5。

且只有5个零点，则下列结论正确的是（）

A.Hx）的图象关于直线工=三对称

B./W在（0,2m上有旦只有3个极大值点，f（x）在（0,2万）上有且只有2个极小值点

C./（x）在（0,京）上单调递增

1229

D.3的取值范围是[不，记）

【答案】CD

【分析】

利用正弦函数的对称轴可知，A不正确；由图可知/*）在（0,21）上还可能有3个极小值

点，8不正确；由/工2万<与解得的结果可知，。正确；根据/“）在（0,主）上递

10。

增，且£＜二,可知C正确.

1010G

【详解】

依题意得/(x)=g(x+£)=sinUy(x+^)]=sin(s+K),T=—,如图:

5co5a)5co

对于A,令tyxH—=k/t—»kwZ,得x=—-i--------，kwZ,所以/(x)的图象关于

52CD1069

直线上二丝+三(々eZ)对称，故A不正确；

co106w

对于B,根据图象可知，XA<2^<XB,/*)在(0,20有3个极大值点，/3)在(0,2%)

有2个或3个极小值点，故B不正确，

“工八45T乃52万247r

对于D，因为工人二-----1—T=-------1—x—=--------，

5325692695(0

7i712乃29乃也《2”也1229

XB=——+37=——+3x—=—,所以,解得一＜。＜一,

5①5(oco5co5①5co510

所以。正确;

对于C,因为一f+二一二+!乂生=孚，由图可知/*)在(0,孚)上递增，

56945(04(0\0cO1069

297C3乃7T37T

因为。〈一<3,所以一——=—(1一一)<0,所以/&)在(0,一)上单调递增，故

101010G10co10

C正确；

故选：CD.

【点睛】

本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极

值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

10.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有"数学王子”之称.有这样一个函数就是以

他名字命名的：设XER,用国表示不超过x的最大整数，则/(1)=国称为高斯函

数，又称为取整函数.如：/(2.3)=2,/(-3.3)=-4.则下列正确的是()

A.函数/(x)是R上单调递增函数

B.对于任意实数。，力，都有/(a)+fS)Wf(a+b)

C.函数g(x)=/(x)-双(xwO)有3个零点，则实数。的取值范围是

(34]「43、

一,一o

(45」132)

D-对于任意实数X,y,则/(%)=/(y)是卜一丁|<1成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析4选项，设出a,b的小数部分，根据其取值范围可分析8选项，数形结合

可分析C选项，取特殊值可分析。选项.

【详解】

解：对于A选项，/(1)=/(1.2)=1,故4错误；

对于8选项，令〃=[〃]+/，b=[5|+虱二q分别为a,b的小数部分)，

可知0”r=a-同<1,0,,q=b-[b]<l,[r+q]>0,

则f(a+b)=[[a]+回+r+g]=同+回+[r+g]..pz]+回=/(a)+f(6)，故8错

误；

对于c选项，可知当&WX<攵+1,代z时，则/(6=国=4，

可得/(%)的图象，如图所示：

,•,函数g(x)=/(x)-依(xwo)有3个零点，

・二函数/(x)的图象和直线y=5有3个交点，且(o,o)为/(%)和直线)丁姓必过的

点，

<34「43、

由图可知，实数a的取值范围是—,-]<><[—»—I,故C正确；

对于。选项，当/(力=/()，)时，即r,q分别为x,y的小数部分，可得0(厂<1,

0<<7<1>

以一乂=肛1+-[封-4=>一4〈卜°1=1；

当上一乂<1时，取x=-0.9,y=0.09,可得凶二-1,[y]=0,此时不满足

"x）="y），

故/（力=/（，）是|x-y|<1成立的充分不必要条件，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合

思想；

二、导数及其应用多选题

Inx

11.对于函数/（X）=F，下列说法正确的有（）

x

A./（x）在x处取得极大值1B./*）有两个不同的零点

2e

C./（2）</（>Ar）</（V3）D.若■在（0,+oo）上有解，则

x

k<—

2

【答案】ACD

【分析】

利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函

数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解

问题的应用判断D.

【详解】

、Inx-xx2-lnxx2x.

函数/（%）=了,所以/，*）=^——-——二上芈。,。），

人XX

令广（x）=O,即21nx=1,解得尤=正，

当0vx<及时，/（幻>0,故在（0,人）上为单调递增函数.

当五时，故/（x）在（弧,+8）上为单调递减函数.

所以/（x）在x=”时取得极大值/（&）=』-,故A正确：

当0<x<及时，r（x）>0,/（X）在（0,、/工）上为单调递增函数，

因为/（1）=0,所以函数/"）在（0,、0）上有唯一零点，

当及时，/0）=詈>0恒成立，即函数/（幻在[&,+<»）上没有零点，

综上，/(%)有唯一零点，故B错误.

由于当时，r(x)vO，/(x)在(、0,+8)上为单调递减函数，

因为2>6>G>G，所以/(2)</(6)</(、回)，故C正确;

由于“幻》一5在Q+⑹上有解'故—+3=用有解,

所以Y卡)…设g(')二手‘则g‘(")-2Inx—1

令g'(x)=O,解得了=区，

当x>J=时，ra)<o,故/“)在(-1,+°。)上为单调递减函数.

yJe7e

当0cx时，/fa)>0,故f(x)在(0,J)上为单调递增函数.

\le7e

所以g(x)z=g(奏)=e.

故k<3,故。正确.

2

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较

强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因

此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的

自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

12.设函数/(x)=xlnx,=,给定下列命题，其中正确的是()

(1A

A.若方程=A有两个不同的实数根，则丘—,0；

B.若方程4(X)=f恰好只有一个实数根，则欠<0；

C.若%>W>0，总有机[g(xj_g(x2)]>/(xj_/(x2)恒成立，则加2/；

(1、

D.若函数/(力=/(力一勿火(工)有两个极值点，则实数〃£。,不「

X乙)

【答案】ACD

【分析】

利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为y=/(x)与y=%有两个不同的交

点，即可判断A选项；易知x=l不是该方程的根，当xwl时，将条件等价于y=%和

Y

y=—只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断

\nx

B选项；当天时，将条件等价于加以王）一/（与）>盛（X2）一/（为2）恒成立，即函

数丁=冲（幻-/（幻在（0,+8）上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区

间，即可求出加的范围，即可判断C选项；尸（x）=Hnx-G：2（x>0）有两个不同极值

点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.

【详解】

解：对于A,的定义域（0,+oo）,r（x）=lnx+l,

令f'（x）>0,有即x>L

e

可知f（x）在（0,1）单调递减，在（L+8）单调递增，所以极小值等于最小值，

ee

=/（-）=-->且当XfO时/（幻一>。，又/（1）=。，

ee

从而要使得方程/W=k有两个不同的实根，

即y=f（x）与》=%有两个不同的交点，所以上£（一乙0）,故A正确：

e

对于B,易知X=1不是该方程的根，

当xwi时，/。）工0,方程仔（V）=/有且只有一个实数根，

X

等价于y=々和y=L只有一个交点,

inx

,Inx-1一八

y=5x)2'又工〉0且工工1，

令y'>0,即lnx>l,有x>e,

知丁二上在（0,1）和（1,e）单减，在（e,4w）上单增,

Inx

X=1是一条渐近线，极小值为一

X

由），=—大致图像可知％<0或攵=6,故B错误；

Inx

对于c,当％>%>。时，〃心（石）一g（/）］>/a）-/（々）恒成立，

等价于〃2g（M）-/U1）>）一/（%）恒成立，

即函数》=mg（x）-/（X）在（0,4-00）上为增函数，

即y'=mg'（x）-ra）=g-ln—lNO恒成立，

即m>小担在（0,+oo）上恒成立，

X

,/、lnx+1,,,，/、-Inx

令”x）=------,W!）r（x）=——,

x

令r'(x)>0得InxvO,有Ovxvl,

从而r(x)在(0,1)上单调递增，在(Lx。)上单调递减，

则”x)1mx=r(l)=1,于是621,故C正确；

对于D,/(乃二/口工一向^*〉。)有两个不同极值点,

等价于k(x)=Inx+l-2ar=0有两个不同的正根，

即方程2。=也上!■有两个不同的正根，

x

由C可知，Ov加<1,即Ovav],则D正确.

2

故选：ACD.

【点睹】

关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解

决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个

函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力.

13.设函数/@)=1+奴+伏々SER),下列条件中，使得)，=/(冷有且仅有一个零点

的是()

A.a=\,b=2B.a=-3,b=-3c.a>0,b<2D.a<0,b>0

【答案】ABC

【分析】

求导/<幻=3/+〃，分。之0和avO进行讨论，当。20时，可知函数单调递增，有且

只有一个零点；当。<0时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极

大值与极小值与。的关系，再验证选项即可得解.

【详解】

3

Qf(x)=x+cuc+bf求导得r(x)=3/

当aNO时，r(x)A0,.•./(幻单调递增，当XT—8时，/(x)^-oo.当xf”

时，/(')->+8;由零点存在性定理知，函数/(%)有且只有一个零点，故A,C满足题

意；

当。<0时，令/。)=0,即3/+々=0,解得％=-、但，x2=J—

D选项，«<0,/?>0,不一定满足，故D不符合题意;

故选：ABC

【点睛】

思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数y=/(x)在区间切上的图像是连续不

断的一条曲线，并且有〃。卜〃b)<0,那么，函数y=/O)在区间内有零点,

即存在C£(4,6),使得/(C)=O,这个C也就是方程/(戈)=0的根，考查学生的逻辑推

理与运算能力，属于较难题.

14.对于定义域为R的函数/(X),/'")为了。)的导函数，若同时满足：①/(0)=0；

②当X£R且"0时，都有0''")>()：③当王<0<工2且|%|=同时，都有

/a)</(W)'则称/(")为"偏对称函数".下列函数是"偏对称函数〃的是()

2xxx

A./(x)=e-e-xB.f2(x)=e+x-\

px-l,x>0f2x,x>0

&△(")={nD.=]

-x,x<0[ln(l-x),x<0

【答案】ACD

【分析】

结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可

得到所求结论.

【详解】

条件①/(。)=。；

由选项可得：/(0)=e°一0=0,6(0)=。°+0-1=0,人(0)=/一1=0,

/；(x)=ln(l-0)=0,即ABCD都符合；

_八[x>0fx<0

条件②矿(x)>0o《，或《；

[fM>01/3<0

即条件②等价于函数/(X)在区间(TO,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增；

2xx

对于ft(x)=/X_d_X,则/Q)=2e-e-l=(2/+1)(/-1),

fxx

由x>0可得，f；(x)=(2e+l)(e-l)>0f即函数工(乃单调递增:

由x<0可得，/'(x)=(2F+l)e—1)<0,即函数/*)单调递减：满足条件②;

对于人(幻=，+]一1,则人'(万=产+1>0显然恒成立，所以人(工)=d+%—1在定义

域上单调递增，不满足条件②；

e"—1%>0

对于力(x)=〈'~，当x<0时，/(3)=7：显然单调递减：当X20时，

-x,x<0

人(幻="-1显然单调递增；满足条件②；

八2x,x>0「

对于力(幻=<八、八，当xWO时，力(x)=ln(l—x)显然单调递减；当工>0

ln(l-x),x<0

时，力(冗)=2不显然单调递增，满足条件②；

因此ACD满足条件②；

条件③当XvOv/且凶=同时，一百=々，都有/(%)</(%)，即

/(々)一〃占)=〃“2)-/(一七)>0，

对于工a)=e"-e*-x,

工(冗2)一/(%)=6%-1+%-七

=(/必一行2，_(*_厂)_2&=(*乂产+「)-29,

因为©0+0』N2G6』=2,当且仅当6必="电，即/=0时，等号成立，

又看>0,所以炉2+6一电>2，

则工(%)—工(X)>2卜电一G}-2X2=2卜々_一毛)

令g(x)="-er一无，x>0,

所以g<x)="+/一1>2〃"。—"-1=1>0在x>0上显然恒成立,

因此g(x)=，一""一次在尤>0上单调递增，所以g(x)>g(O)=O,

即/(工2)_/(M)>2(炉2_"5_9)>0,所以工(9)>/(%)满足条件③；

对于力(")={'~，入住)一人(%)=*一1+%=*一%-1,

-x,x<0

令/z(x)=e"-％—1,x>0，则/(x)=e'-l>0在x>0上显然恒成立，

所以力(%)>"0)=0,则力优)一力(石)=*一/一1>0,即以(《)>后(%)满足条

件③；

2xx>0

对于力(幻=',力(々)一力(％)=2w-ln(l-%)=2W一1"1+9)，

in(i-x)^xsu

令〃(x)=2x-ln(l+x),x>0.

则〃'(力=2-上>2-1=1>0在冗>0上显然恒成立，所以〃(x)>〃(())=0,

则力(W)-&(%)=2/-1"1+W)>0,即力(匹)>力(%)满足条件③;

综上，ACD选项是"偏对称函数"，

故选：ACD.

【点睛】

思路点睛：

求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利

用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.(有时也需要构造新

的函数，进行求解.)

15.关于函数/⑴=e'+sinx,xw(一肛y),下列结论正确的有()

A.〃用在（0,+8）上是增函数

B./（x）存在唯一极小值点与

C./（用在（一4,+o。）上有一个零点

D.f（x）在（-肛+0。）上有两个零点

【答案】ABD

【分析】

根据函数/（"）求得/（幻与尸（X）,再根据/〃（X）〉。在（一乃,+8）恒成立，确定,（幻在

（一肛+OO）上单调递增，及xw（0,+8）f'Cx）>0,且存在唯一实数/£（-¥，一］）,使

r（Xo）=O,从而判断A,B选项正确；再据此判断函数/（1）的单调性，从而判断零点个数.

【详解】

xx

由己知/（x）=e+sinx,xe（一4,+8）得f\x）=e+cosx»/"（幻=e"一sinx,

xe（一4,+oo）,f\x）>0恒成立，

/'*）在（一肛+8）上单调递增，

又f（~）=e与一半<0,/'（-争=/>0,/（0）=2>0

.•.x£（o,+<x）时ra）>r（o）>o,且存在唯一实数/e（一弓使r（x°）=o,即

e"=一cos/,

所以/*）在（0,+8）上是增函数，且/（幻存在唯一极小值点与，故A,B选项正确.

且在（一肛与）单调递减，（%+8）单调递增，

又/(-4)=6-1+0>0,—5/2sin(x——)v0»

/(x0)=e/+sin工=sinx0-cosx0o

/（0）=l>0,所以/（x）在（—肛收）上有两个零点，故D选项正确，C选项错误.

故选：ABD.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识

点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析

几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参

数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应

用.

16.定义在（0,+8）上的函数“制的导函数为/（X）,且/'（X）〈号，则对任意当、

X2e（0,+oo）,其中X工々，则下列不等式中一定成立的有（）

A./（%+W）v/（X）+/（X2）B./（^1）+/（^2）＜T'/（^1）+TL/（X2）

X\X2

C./（2r1）＜2V（DD./阮卜/⑷/⑸

【答案】ABC

【分析】

构造g*）=J史，由r（x）＜/也有g'*）vO,即g*）在（0,+8）上单调递减，根据各

XX

选项的不等式，结合g（x）的单调性即可判断正误.

【详解】

由人用＜幽知：w）-/w＜0＞

XX

令g（X）=Z^,则g，（『”文。,

XX

g（M）—g*2）二//㈤一天/⑷

g。）在（0,+8）上单调递减,即<0

中2（为一工2）

当百一工2