空间向量及其运算练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算练习一、单选题1．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（

）A． B． C． D．2．如下图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则（）A． B．C． D．3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（

）．A．若，，则 B．C．若，则，的夹角是钝角 D．6．直三棱柱中，若，则（

）A． B．C． D．二、多选题7．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（

）A．当P为底面的中心时，B．当时，长度的最小值为C．当时，长度的最大值为6D．当时，为定值8．下面四个结论正确的是（

）A．已知向量，，若，则为钝角B．已知，，则向量在向量上的投影向量是C．若直线经过第三象限，则，D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面三、填空题9．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则.10．已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点满足是正方体的一条棱，则的最小值为.四、解答题11．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点．(1)用表示；(2)证明：四点共面．12．．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．参考答案1．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体中，不共面，而则所以故选：D2．B【分析】由题意可得，即可得答案.【详解】解：因为是的中点，所以.故选：B.3．A【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意向量，故，，则向量在向量上的投影向量为.故选：A.4．B【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可.【详解】因为向量的夹角为锐角，则，得，当时，，得，∴的取值范围为．故选：B.5．B【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误；【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，由数量积的运算律可知，故B正确；对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误；对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误；故选：B.6．D【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】.故选：D．7．BCD【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A，当为底面的中心时，由，则故，故A错误；对于B，当时，当且仅当，取最小值为，故B正确;对于C，当时，，则点在及内部，而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，当时，，当时，，可得最大值为，故C正确；对于D，，，而，所以，则为定值，故D正确.故答案选：BCD.8．BD【分析】取可得，进而得到A错误；由投影向量的计算可得B正确；令可得C错误；由空间向量共面定理可得D正确；【详解】对于A，当时，，，，此时为，故A错误；对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C，令，则直线为，且经过第三象限，但此时，故C错误；对于D，因为，，所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确；故选：BD.9．【分析】根据向量数量积公式，计算出，进而求出模长.【详解】.故答案为：10．【分析】作图相应图形，利用空间向量的线性运算与数量积的运算法则求得，进而得到点的轨迹，再利用空间向量数量积的定义即可得解.【详解】依题意，取的中点，则，则，所以，则在以为球心，为半径的球面上，如图，可知在上的投影数量最小值为，所以的最小值为.故答案为：.11．(1)，．(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；（2）根据空间向量的基本运算，证明即可.【详解】（1）因为分别为的中点，所以，．（2）因为，，所以，故四点共面．12．(1)，(2)【分析】（1）借助空间向量的线