2019高三数学（人教A版理）一轮教师用书第4章第1节　平面向量的概念及线性运算

第章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算[考纲](教师用书独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．(对应学生用书第69页)[基础知识填充]1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[知识拓展]1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)).()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)已知a，b是两个非零向量，当a，b共线时，一定有b＝λa(λ为常数)，反之也成立．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，那么四边形ABCD为()A．平行四边形 B．菱形C．长方形 D．正方形B[eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD为菱形，故选B．]3．D是△ABC的边AB的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))A[如图，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).]4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．b－a－a－b[如图，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.]5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.－eq\f(1,3)[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))](对应学生用书第70页)平面向量的概念给出下列四个命题：【导学号：97190145】①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②④A[①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A．][易错警示](1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量．[跟踪训练]设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3D[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算(1)(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．(1)A(2)－2[(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A．(2)因为D为边BC的中点，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，与eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))比较，得λ＝－2.][规律方法]1平面向量的线性运算方法①不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.②含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.③比较、观察可知所求.3选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则.4|a＋b|与|a－b|的几何意义：以向量a，b为边所作平行四边形的两条对角线的长度.[跟踪训练](1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))(2)(2017·河南三市联考)在锐角△ABC中，eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(x,y)＝________.【导学号：97190146】(1)D(2)3[因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).(2)由题设可得eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝3(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))，即4eq\o(AM,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，亦即eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).故eq\f(x,y)＝3.]共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴keq\s\up12(2)－1＝0，∴k＝±1.[规律方法]共线向量定理的三个应用1证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线.2证明三点共线：若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ\o(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线.3求参数的值：利用共线向量定理及