甘肃省高台一中2025届高二上数学期末复习检测试题含解析

甘肃省高台一中2025届高二上数学期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（）A.2或12 B.2或18C.18 D.22．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.3．命题“，”的否定形式是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”4．用这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342”（）A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件C.是对立事件 D.是不可能事件5．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（）A.3 B.4C.9 D.216．已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（）A. B.C. D.7．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③8．120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，则CD的长为()A. B.C. D.9．已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.10．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（）A. B.C. D.11．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.12．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点，为抛物线：上不同于原点的两点，且，则的面积的最小值为__________.14．已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为______.15．在一平面直角坐标系中，已知，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为___________.16．长方体中，，，已知点H，A，三点共线，且，则点H到平面ABCD的距离为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率18．（12分）已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点（1）若，证明：直线必过坐标原点；（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程19．（12分）设点P是曲线上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率（1）求k的取值范围；（2）求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程20．（12分）已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围21．（12分）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.（1）求C的方程；（2）O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.22．（10分）已知函数在处取得极值（1）若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围；（2）讨论函数的零点个数

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用双曲线的定义求.【详解】解：由双曲线定义可知：解得或（舍）∴点到的距离为18，故选：C.2、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A3、C【解析】由全称命题的否定是特称命题即得.【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.命题“，”的否定形式是“，”.故选：C.4、B【解析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶数有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.故选：B.5、A【解析】由直接可得.【详解】由题知，所以，因为，所以.故选：A6、C【解析】求AB的中点坐标，根据直线所过的两点坐标求直线方程即可.【详解】由已知，AB中点为，又，∴所求直线斜率为，故直线方程为，即故选：C.7、B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.故选：B.8、B【解析】由，把展开整理求解【详解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故选：B9、A【解析】利用对数的性质可得，，再构造函数，利用导数判断，再构造，利用导数判断出函数的单调性，再由单调性即可求解.【详解】由题意可得均大于，因为，所以，所以，且，令，，当时，，所以在单调递增，所以，所以，即，令，，当时，，所以在上单调递减，由，，所以，所以，综上所述，.故选：A10、D【解析】设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出关系，求得离心率【详解】易知共线，共线，如图，设，则.因为，所以，则，则，又因为，所以，则,在中，，即，所以.故选：D11、D【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】由得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.12、D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，，利用可得即可求得，利用两点间距离公式求出、，面积，利用基本不等式即可求最值.【详解】设，，由可得，解得：，，，，，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设，坐标，采用设而不求的方法，将转化为，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求的最值.14、【解析】先求出中点坐标，再由距离公式得出过B点的中线长.【详解】由中点坐标公式可得中点，则过B点的中线长为.故答案为：15、【解析】平面直角坐标系中，沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，通过用向量的数量积转化求解距离即可.【详解】在直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，所以,所以，所以,故答案为：16、【解析】在长方体中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点H的坐标作答.【详解】在长方体中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因点H，A，三点共线，令，点，则，又，则，解得，所以点到平面ABCD的距离为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟（2）【解析】（1）由频率分布直方图频率之和为，建立方程求解即可；设中位数为，利用频率分布直方图中位数定义列出方程即可求解；（2）频率分布直方图频率得到第三组和第五组的人数，从而列出所有样本点，再根据题意利用古典概率模型求解即可.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：，解得．设中位数为，由题意得，解得所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟【小问2详解】由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，所以从名学生中抽取名的样本空间，共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”则，共有个样本点，所以这名学生中，两组各有名的概率18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程【小问1详解】设，则，即因为，，所以因为，所以，所以.同理可证.因为，，所以四边形为平行四边形，因为为的中点，所以直线必过坐标原点【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立，整理得，则，，.因为，所以，因为，解得或.当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；所以直线的方程为，所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.故直线过定点.因为为的中点，为的中点，所以过定点.因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，该圆的半径，圆心坐标为，故动点的轨迹方程为．19、（1）（2）【解析】（1）先求导数再求最值即可求解答案；（2）由（1）确定切点，从而也确定的斜率就可以求切线.【小问1详解】设，因为，所以，所以k的取值范围为【小问2详解】由（1）知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为20、（1）；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；（2）问题转化为，利用导函数求出的最大值，求出的范围即可.【小问1详解】因为，所以，则切线的斜率为，又因为，则切点为，所以曲线在点处的切线方程为，即【小问2详解】当时，令得，列表得x001↘极小值↗所以当时，的最大值为由题意知，故，解之得,所以实数的取值范围为.21、（1）；（2）.【解析】(1)列出关于a、b、c的方程组求解即可；(2)直线l斜率不存在时，易得λ的值；斜率存在时，设l方程为，联立直线l与椭圆C的方程，求出；求出OP方程，联立OP方程与椭圆C的方程，求出；代入即可求得λ.【小问1详解】由已知可得，解得，∴椭圆C的标准方程为.【小问2详解】若直线的斜率不存在时，，∴；当斜率存在时，设直线l的方程为.联立直线l与椭圆方程，消去y，得，∴.∵，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于弦长公式的运用，AB斜率为k，，M(1，0)，则，，，将弦长之积转化为韦达定理求解.22、（1）（2）答案见解析.【解析】（1）根据极值点求出，再利用导数求出的最大值，将不等式恒成立化为最大值成立可求出结果；（2）利用导数求出函数的极大、极小值，结合函数的图象分类讨论可得结果.【小问1详解】函数的定义域为，因为