河北省邢台市部分高中高三下学期二模试题数学

数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列集合关系不成立的是（）A． B．C． D．2．若，则的虚部为（）A． B． C． D．3．已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（）A． B． C．或1 D．或14．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（）A．1 B． C． D．5．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A． B． C． D．6．已知函数，则下列结论中正确的是（）A．的最小正周期 B．的图像关于点中心对称C．的图像关于直线对称 D．在区间上单调递增7．已知实数，满足，则的最小值与最大值之和为（）A．4 B．5 C．6 D．78．设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为17B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．用比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和210．若关于的不等式在上恒成立，则的值可以是（）A． B． C． D．211．把底面为椭圆且母线与底面均垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中椭圆长轴，短轴，，为下底面椭圆的左、右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为线段上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），则（）A．当平面时，为的中点B．三棱锥外接球的表面积为C．若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的射影，且，与下底面所成角分别为，，则的最大值为D．三棱锥体积的最大值为8第II卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知，则________．13．如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________．14．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是________．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．16．（15分）已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求证：．17．（15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，记表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值．18．（17分）将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为．记，，过点的直线与交于不同的两点，，直线，与的另一个交点分别为，．（1）求的方程；（2）设直线，的倾斜角分别为，．当时．（i）求的值；（ii）若有最大值，求的取值范围．19．（17分）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：①且（或，）；②在点的附近区域内两者都可导，且；③（可为实数，也可为）．则．（1）用洛必达法则求；（2）函数（，），判断并说明的零点个数；（3）已知，，，求的解析式．参考公式：，．参考答案及解析一、选择题1．D2．D3．B4．B5．B6．D7．C8．B二、选择题9．BCD 10．AB 11．ACD三、填空题12．3 13．1000 14．四、解答题15．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为直径，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则所以令，则，，所以．设平面的法向量为，则取．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．16．（1）解：由，得当时，，两式相减得，当时，，因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）证明：由（1）知．当时，；当时，，所以，所以，所以当时，．综上，．17．解：（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123．（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则．设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，则，由，，，得，则，又，所以．设，所以，，由二次函数可知当时取得最大值，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为．18．解：（1）设所求轨迹上的任意点为，与对应的点为，根据题意可得即代入方程，可得，整理得，所以曲线的轨迹方程为．（2）（i）设直线的方程为，，，，，联立方程组整理得，则，且，，可得，所以，可得，所以，同理可得．又因为，，三点共线，可得，即，所以，所以．（ii）设直线的方程为，其中，由（i）知，直线的斜率为，则，当且仅当，即时等号成立，联立方程组整理得，则，解得．