第03讲图形的旋转

第03讲图形的旋转知识点1：旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。知识点2：旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。注意：（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。知识点3：旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.考点剖析考点一：生活中的旋转现象【典例1】（2023秋•玉州区期中）下列现象属于旋转的是（）A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车【答案】C【解答】解：A、电梯的上下移动是平移，故此选项不符合题意；B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项不符合题意；C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项符合题意；D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车属于平移，故此选项符合题意．故选：C．【变式11】（2023春•杞县期末）如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（）A．顺时针旋转90°，向右平移 B．逆时针旋转90°，向右平移 C．顺时针旋转90°，向左平移 D．逆时针旋转90°，向左平移【答案】A【解答】解：由图可知，把又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处．故选：A．【变式12】（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是．故选：D．【变式13】（2022秋•惠东县期末）下列现象中属于旋转的是（）A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头 C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降【答案】B【解答】解：A．汽车在急刹车时向前滑动，是平移现象，故本选项不合题意；B．拧开水龙头，是旋转现象，故本选项符合题意；C．雪橇在雪地里滑动，是平移现象，故本选项不合题意；D．电梯的上升与下降，是平移现象，故本选项不合题意．故选：B．考点二：利用旋转的性质求角度【典例2】（2023•泸县校级模拟）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（）A．80° B．50° C．40° D．10°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝40°，∠CAD＝10°，∴∠BAD＝40°+10°＝50°，∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，∴∠BAD为旋转角，∴旋转角的度数为50°．故选：B．【变式21】（2022秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC＝（）A．19° B．20° C．21° D．22°【答案】B【解答】解：由旋转得：AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵AB＝AC，∠ACB＝70°，∴AB＝AD，∠ACB＝∠ABC，∴∠CAB＝180°﹣2∠ACB＝40°，∠BAD＝∠CAD﹣∠CAB＝60°﹣40°＝20°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣20°）÷2＝80°，∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝80°﹣60°＝20°．故选：B．【变式22】（2023秋•蒙阴县期中）如图，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的B′处得△A'B'C，若∠A＝35°，则∠ACB′的度数为（）A．70° B．55° C．35° D．20°【答案】D【解答】解：根据旋转的性质可得CB＝CB'，∴∠B＝∠CB'B，∵∠A＝35°，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CB'B＝55°，∴∠BCB'＝70°，∴∠ACB'＝90°﹣70°＝20°．故选：D．【变式23】（2023秋•嘉祥县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C′），连接CC'，若∠CC'B'＝22°，则∠B的大小是（）A．63° B．64° C．66° D．67°【答案】D【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，∴∠ACC'＝45°，∵∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'，∴∠AB'C'＝45°+22°＝67°，∴∠B＝67°，故选：D．考点三：利用旋转的性质求线段长度【典例3】（2022秋•岱岳区期末）如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．【答案】（1）6；（2）150°．【解答】解：（1）连接PP′由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形，所以PP′＝BP＝BP′＝6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，可求∠APB＝90°+60°＝150°．【变式31】（2023春•渭滨区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若，DE＝2，则线段BD的长为（）A．6 B． C． D．【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，DE＝2，∴AD＝AB，BC＝DE＝2，∠DAB＝90°，∴△DAB为等腰直角三角形，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝2，∴，∴，所以B符合题意，故选：B．【变式32】（2022秋•新会区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（）A．4 B．2 C．3 D．【答案】B【解答】解：如图，连接BB'，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，∵∠A＝60°，∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，∴∠BCB'＝60°，∴△BCB'是等边三角形，∴BB'＝BC，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BC＝＝＝2，∴BB'＝2，故选：B．【变式33】（2023•东方一模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝4，∴BE＝4．故选：B．考点四：旋转对称图形【典例4】（2023春•青羊区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意；B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意；C、正五边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项符合题意；D、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项不符合题意；故选：C．【变式41】（2023•朝阳区校级一模）观察如图所示的图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①旋转120°后，图形可以与原来的位置重合，故正确；②旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误；③旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误；④旋转120°后，图形与原来的位置重合，故正确．故选：B．【变式42】（2023•南关区校级四模）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45 B．60 C．72 D．144【答案】C【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【变式43】（2023•二道区校级模拟）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母）要想与原来图形重合，则绕圆心至少旋转（）A．36° B．60° C．72° D．90°【答案】C【解答】解：∵360°÷5＝72°，∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合．故选：C．考点五：作图旋转变换【典例5】（2022秋•天长市校级期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；（3）如果△A2B2O，通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．【答案】（1）作图见解答；（4，4）．（2）见解答．（3）（3，﹣2）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．点A1的坐标为（4，4）．（2）如图，△A2B2O即为所求．（3）如图，连接A1A2，B1B2，作A1A2与B1B2的垂直平分线，相交于点P，则点P即为△A2B2O与△A1B1C1的旋转中心，∴旋转中心P的坐标为（3，﹣2）．【变式51】（2022秋•任城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标．【答案】（1）画图见解答；点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）．（2）见解答．（3）（5，0）．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）．（2）△A2B2C2如图所示．（3）如图，点P即为所求的旋转中心，∴旋转中心的坐标为（5，0）．【变式52】（2022秋•任城区期末）如图在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1；（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为（﹣3，﹣1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）如图，△A2B2C2可以看作△ABC绕P点旋转得来，旋转中心P的坐标为（﹣3，﹣1）．故答案为（﹣3，﹣1）．【变式53】（2023秋•柳南区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4），B（1，2），C（5，3）．（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在所给图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，并直接写出A2，B2的坐标．【答案】（1）图形见解答；（2）图形见解答；点A2的坐标为（﹣1，1），点B2的坐标为（1，﹣1）．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C1即为所求；点A2的坐标为（﹣1，1），点B2的坐标为（1，﹣1）．过关检测一．选择题（共10小题）1．（2022春•武冈市期末）下列运动属于旋转的是（）A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动 C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动【答案】D【解答】解：A、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转，故此选项不符合题意；B、火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意；C、汽车在急刹车时向前滑行，是平移，故此选项不符合题意；D、钟表的钟摆的摆动的过程，是旋转，故此选项符合题意；故选：D．2．（2022•玉林模拟）观察下列图案，其中旋转角最大的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、旋转角是120°；B、旋转角是90°；C、旋转角是72°；D、旋转角是60°．故选：A．3．（2022秋•新会区期末）△AOB绕点O逆时针旋转65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，则∠BOC的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．65°【答案】C【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∵∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°，故选C．4．（2023春•通道县期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则说法正确的是（）A．绕点P逆时针旋转60° B．绕点N逆时针旋转90° C．绕点Q顺时针旋转180° D．绕点M顺时针旋转180°【答案】B【解答】解：如图，由图形可知，三角形乙是三角形甲绕点N逆时针旋转90°得到的，故说法正确的是：B，故选：B．5．（2023•香坊区二模）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．6．（2022秋•海阳市期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（）A．55° B．45° C．42° D．40°【答案】B【解答】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝40°，OA＝OD，∠B＝∠C，∴∠A＝70°，∵∠AOC＝105°，∴∠AOB＝65°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°70°﹣65°＝45°，∴∠C＝45°，故选：B．7．（2022秋•河口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．1 B． C． D．【答案】C【解答】解：连接AA′，如图，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AC＝BC＝，∠B＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝＝，∴点A到直线A'C的距离为，故选：C．8．（2023•庐江县模拟）如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．64° B．52° C．42° D．36°【答案】B【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝64°，∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝64°，∴∠CAC′＝180°﹣∠ACC′﹣∠AC′C＝180°﹣2×64°＝52°，∴旋转角为52°．故选：B．9．（2022秋•温岭市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A． B．4 C． D．5【答案】A【解答】解：如图，连接AA'，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，根据勾股定理得：AB＝＝5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝1，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝＝，故选：A．10．（2022秋•宁阳县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解答】解：由旋转的性质可知：AB＝AB′，∠BAB′＝80°，∴∠B＝∠AB′C′，∵AB＝AB′，∴∠B＝∠BB′A＝50°．∴∠BB′C′＝50°+50°＝100°．∴∠CB′C′＝180°﹣100°＝80°，故选：D．二．填空题（共4小题）11．（2022秋•上海期末）如图，△AOB绕点O顺时针旋转30°后与△COD重合．若∠AOD＝130°，则∠COB＝70°．【答案】70°．【解答】解：∵△AOB绕点O顺时针旋转30°后与△COD重合，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∵∠AOD＝130°，∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD＝130°﹣30°﹣30°＝70°，故答案为：70°．12．（2023春•舞钢市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝5，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，∴BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°，∴AA′＝＝5．故答案为：5．13．（2023春•渠县校级期末）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变；④四边形PMON的面积不变，其中正确的为①③④（请填写正确结论前面的序号）．【答案】①③④．【解答】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，∴OM+ON为定值，故③②正确，在旋转过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形，∵PM的长度是变化的，∴MN的长度是变化的，故错误，故答案为：①③④．14．（2022秋•东营区期末）如图，在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②得到点P2，…，按此规律继续旋转，直到得到点P2023为止（P1，P2，P3…在直线l上）．则：AP2023＝8093．【答案】8093．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝5；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝5+4＝9；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝5+4+3＝12；又∵2023÷3＝674•••••1，∴AP202+3＝674×12+5＝8093，故答案为：8093．三．解答题（共4小题）15．（2023•庐江县模拟）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．（1）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．（2）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为（0，1）．【答案】（1）见解答；（2）（0，1）．【解答】解：（1）如图所示，△D1EF1即为所求．（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（0，1）．故答案为：（0，1）．16．（2023秋•海门市期中）如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当∠AOC＝105°，∠BOC＝150°时，试判断△AOD的形状，