专题03 勾股定理应用（十二大类型）（题型专练）（解析版）-A4

第页专题03勾股定理应用（十二大类型）【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】【题型6应用勾股定理解决航海问题】【题型7应用勾股定理解决风吹荷花模型】【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】【题型12面展开图-最短路径问题】【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】1．（2023春•益阳期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．故选：A．2．（2023秋•峄城区期中）如果梯子的底端离建筑物底部8米，则17米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】D【解答】解：如图；梯子AC长是17米，梯子底端离建筑物的距离AB长为8米；在Rt△ABC中，AC＝17米，AB＝8米；根据勾股定理，得BC＝（米）；故选：D．2．（2023秋•海淀区校级期末）如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了8米．【答案】8．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，∴AC＝＝24（米），∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），∵DE＝AB＝25米，∴CD＝＝15（米），∴BD＝CD﹣BC＝8（米），∴梯子底端B向右滑动了8米．故答案为：8．3．（2023秋•南关区期末）如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB的长为2.5米，梯子的底部离墙的距离BC为0.7米．若梯子的顶部向下滑0.4米到D处，此时梯子的底部向外滑到E处，求梯子的底部向外滑出多少米？【答案】0.8米．【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝＝2.4（米），∴CD＝AC﹣AD＝2.4﹣0.4＝2（米），∵DE＝AB＝2.5米，∴CE＝＝1.5（米），∴BE＝CE﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（米），∴梯子的底部向外滑出0.8米．【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】4．（2023•定西模拟）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【答案】D【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，AB＝＝＝13（m），所以旗杆折断之前高度为BC+AB＝13+5＝18（m）．故选：D．5．（2023春•济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为9米．【答案】9．【解答】解：设滑轮到地面的高度为x米，根据勾股定理，得x2+122＝（x+6）2，解得：x＝9；答：滑轮到地面的高度为9米．故答案为：9．6．（2023秋•吉安期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着冉冉升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，AD为旗杆AE上用来固定国旗的绳子，点D距地面的高度DE＝1m．将绳子AD拉至AB的位置，测得点B到AE的距离BC＝3m，到地面的垂直高度BF＝2m，求旗杆AE的高度．【答案】6m．【解答】解：∵BF＝2m，∴CE＝2m，∵DE＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝1m，设AD＝x，则AB＝x，AC＝AD﹣CD＝x﹣1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，解得：x＝5，即AD＝5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE＝5+1＝6m．【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】7．（2022秋•婺城区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10m．故选：C．8.（2022秋•兴庆区校级期末）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【解答】解：如图，设大树高为AB＝15m，小树高为CD＝7m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10m，故小鸟至少飞行10m．故选：C．9．（2022•三穗县校级模拟）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高11m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要时间5s才能赶回巢中．【答案】5s．【解答】解：如图，由题意知AB＝3m，CD＝11﹣1＝10（m），BD＝24m．过A作AE⊥CD于E．则CE＝10﹣3＝7（m），AE＝24m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝25（m），∴25÷5＝5（s），答：它至少需要5s才能赶回巢中．故答案为：5s．【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】10．（2023秋•公主岭市期末）如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米 B．8米 C．9米 D．12米【答案】B【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+3＝8（米）．故选：B．11．（2022秋•辉县市校级期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【答案】B【解答】解：设大树在折断之前的高是xm，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），∴大树在折断之前的高是18m；故选：B．12．（2023秋•汝州市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【答案】D【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故选：D．13．（2022秋•达川区校级期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【答案】D【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC＝＝＝10（m），∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故选：D．14．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【答案】D【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．15．（2023秋•金水区期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．（1）求旗杆距地面多高处折断；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】（1）3米；（2）6米．【解答】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米，∵∠A＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，又∵AB＝4米，∴AC＝3（米），BC＝5（米），故旗杆距地面3米处折断；（2）如图，∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75（米），∴B'D＝8﹣1.75＝6.25（米），∴AB′＝（米），∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】16．（2022秋•陵水县期末）如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13【答案】C【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：AB＝＝＝13cm，故h＝24﹣13＝11cm．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：C．17．（2022秋•蒲城县期末）将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的最小值为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝16cm，∴，此时h＝24﹣20＝4cm，∴h的最小值是4cm，故选：B．18．（2022秋•宁化县期中）如图，将一根长为20cm的吸管，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是7≤h≤8．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB＝＝13，故h最短＝20﹣13＝7（cm）；当吸管竖直插入水杯时，h最大，此时h最大＝20﹣12＝8（cm）．故答案为：7≤h≤8．【题型6应用勾股定理解决航海问题】19．（2023春•武江区期中）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（）A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里【答案】A【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32（海里），12×2＝24（海里），根据勾股定理得：＝40（海里）．故选：A．20．（2023春•仁化县期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口2小时后两船相距40海里．【答案】40．【解答】解：∵远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，∴∠RPS＝∠QPS＝45°，∴∠RPQ＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里，航行时间为2小时，∴PQ＝16×2＝32海里，PR＝2×12＝24海里，∴由勾股定理得海里，∴它们离开港口2小时后两船相距40海里，故答案为：40．21．（2023秋•开封期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，求此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离．【答案】30海里．【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝＝＝30（海里）．22．（2023秋•茂南区期中）如图，两艘轮船M和N分别从港口A出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，MN两船的距离多少海里？【答案】25海里．【解答】解：连接MN如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠MAN＝90°，在Rt△AMN中，AM＝4×5＝20（海里），AN＝3×5＝15（海里），根据勾股定理得（海里）．答：两船的距离是25海里．23．（2023春•湘潭县期末）已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以15km/h的速度向东航行；船B以10km/h的速度向北航行．它们离开港口2h后，相距多远？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵船A以15km/h的速度向东航行，船B以10km/h的速度向北航行，它们离开港口2h后，∴AO＝30km，OB＝20km，在Rt△AOB中，AB＝＝＝10（km），答：离开港口2h后，两艘船相距10km．24．（2023春•庆云县期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．【答案】客船航行的方向为北偏东10°．【解答】解：客船的速度为4x海里/小时，则货船的速度为3x海里/小时，由题意得4x﹣3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度为20海里/小时，则货船的速度为15海里/小时，∵货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，∴AC＝20×2＝40（海里），AB＝15×2＝30（海里），∠BAE＝80°，又∵BC＝50海里，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∴客船航行的方向为北偏东10°．25．（2023春•梁山县期末）某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】“海天”号沿北偏西45°方向航行．【解答】解：由题意可得：RP＝18海里，PQ＝24海里，QR＝30海里，∵182+242＝302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴∠RPS＝45°，∴“海天”号沿北偏西45°方向航行；【题型7应用勾股定理解决风吹荷花模型】26．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10 B．12 C．13 D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．27．（2023秋•肃州区校级期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为12尺．【答案】12．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．28．（2023秋•乳山市期中）一根离河岸边1.5m远的芦苇，芦苇高出水面0.5m，将芦苇拉向河岸边，芦苇顶端与水面刚好齐平，则芦苇处河水的深度为2m．【答案】2．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝1.5cm．AB﹣BC＝0.5m.设河深BC＝xm，则AB＝（0.5+x）米．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x2＝（x+0.5）2，解得：x＝2，故答案为：2．29．（2023秋•石景山区期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？【答案】水深12尺；芦苇长13尺．【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．由题意得x2+52＝（x+1）2．解得x＝12．∴x+1＝13．答：水深12尺；芦苇长13尺．【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】30．（2023秋•银川期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方60米B处，过了5秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？【答案】这辆小汽车没有超速．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝60m，AC＝100m，且AC为斜边，根据勾股定理得：BC＝80（m）；∵80÷5＝16（m/s），平均速度为：16m/s，16m/s＝57.6km/h，57.6＜70，∴这辆小汽车没有超速．31．（2023秋•市北区期中）某条东西走向的道路限速70公里/时．如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到C处，C处位于车速检测仪A处的正北方30米．2秒钟后，这辆小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪之间的距离是50米，请通过计算说明这辆小汽车是否超速．【答案】超速了，计算见解析．【解答】解：由题意知，AC＝30米，OB＝50米，∴BC＝＝40（米），∵2秒钟后，这辆小汽车到达B处，40÷2＝20（米/秒），∴小汽车行驶的速度＝20米/秒＝72公里/时，∵72＞70，∴这辆小汽车超速了．32．（2023春•新会区校级期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过70km/h，则这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）【答案】超速了．【解答】解：在RtABC中，AC＝30cm，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝72（km/h）；∵72km/h＞70km/h，∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．33．（2023春•崆峒区校级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．（1）求BC的长．（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．【答案】（1）40m；（2）这辆小汽车超速了，理由见解析．【解答】解：（1）根据题意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，∴BC＝＝＝40（m），答：BC的长为40m；（2）这辆小汽车超速了，理由如下：∵该小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h，∴这辆小汽车超速了．【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】34．（2023秋•秦州区期末）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．（2）若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？【答案】（1）会受到台风的影响，理由见解析；（2）台风影响该农场持续时间为5.6h．【解答】解：（1）会受到台风的影响．理由：如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D．图1因为在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB＝400km，AC＝300km，所以BC＝＝＝500（km），因为AD⊥BC，所以，所以AD＝＝＝240（km）．因为AD＜250km，所以农场A会受到台风的影响．（2）如图2，假设台风在线段EF上移动时，会对农场A造成影响，图2所以AE＝AF＝250km，AD＝240km，由勾股定理，可得，因为台风的速度是25km/h，所以受台风影响的时间为140÷25＝5.6（h）．答：台风影响该农场持续时间为5.6h．35．（2022秋•秦安县校级期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．36．（2023秋•武侯区校级月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案】（1）会受到这次台风的影响；（2）12小时；（3）6.6级．【解答】解：（1）A城市会受到这次台风的影响，理由如下：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝320千米，∴AD＝AB＝160千米，∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为：25×（13﹣5）＝200（千米），∵160千米＜200千米，∴A城市会受到这次台风的影响；（2）如图2，以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F，则AE＝AF＝200千米，∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝2＝240（千米），∴台风影响该市的持续时间t＝240÷20＝12（小时），（3）∵AD＝160千米，∴160÷25＝6.4（级），∴13﹣6.4＝6.6（级），∴该城市受到这次台风最大风力为6.6级．37．（2023春•公安县期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠OPN＝30°，点A处有一所学校．AP＝240m．假设汽车在公路MN上行驶时，周围150m以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为18m/秒．）【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点A作AB⊥PN于点B，∵∠QPN＝30°，AP＝240m，∴，∵120m＜150m，∴学校会受到噪音的影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则AE＝AF＝150m，又∵AB⊥MN，∴BE＝BF，由勾股定理得：，∴EF＝2BE＝180m，∵汽车的速度为18m/s，∴受影响的时间为：180÷18＝10（s）．【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】38．（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．由折叠的性质可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．∴BE＝4，∠DEB＝90°．设DC＝x，则BD＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴CD＝3．39．（2023秋•青岛期中）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．（1）请你直接写出点A的坐标；（2）求FC，AE的长；（3）求四边形EOFD的面积．【答案】（1）A（0，9）；（2）CF＝12，AE＝5；（3）．【解答】解：（1）∵DA⊥y轴，DC⊥x轴，∠AOC＝90°，∴四边形AOCD是矩形，∵D的坐标为（15，9），∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9，∴A（0，9）；（2）∵将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．∴DF＝AD＝15，∴CF＝＝12，∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3，设AE＝x，则EF＝x，OE＝9﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得，OE2+OF2＝EF2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，∴AE＝5；（3）由（2）知AE＝5，∴OE＝9﹣5＝4，由折叠的性质可知，S△AED＝S△DFE，∴四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED＝＝＝．【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】40．（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为10．【答案】见试题解答内容【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10