新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲长度定值问题(原卷版+解析)

第15讲长度定值问题一、解答题1．已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点．（1）求证：O到直线AB的距离为定值．（2）求0AB面积的最大值．2．已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）．（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程；（2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；（3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．3．已知椭圆.（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.4．已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由5．设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．6．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．7．已知椭圆，离心率，点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值．8．已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、Ｆ两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.9．如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OM·ON为定值.10．已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证：为定值.11．已知椭圆：（）经过与两点.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足.求证：为定值.12．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.13．已知椭圆：在右、上顶点分别为、，是椭圆的左焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相切于点（在第二象限），过作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.14．已知点F1为椭圆1（a＞b＞0）的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.15．已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.16．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由．第15讲长度定值问题一、解答题1．已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点．（1）求证：O到直线AB的距离为定值．（2）求0AB面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：y＝kx+m，联立椭圆方程，由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝0，化简整理，再由点到直线的距离，即可得到定值；若AB的斜率不存在时，显然成立；（2）运用弦长公式，化简整理，再由基本不等式，即可得到最大值，当斜率不存在时，经检验|AB|＜2也成立即可．【详解】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若AB的斜率k存在，则设直线AB：y＝kx+m．由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，则x1+x2＝﹣，①由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，将①代入，得4m2＝3k2+3，即有m2＝（k2+1），则有原点到直线AB的距离d＝＝，当AB的斜率不存在时，|x1|＝|y1|，可得|x1|＝＝d，依然成立．所以点O到直线AB的距离为定值．（2）|AB|2＝（1+k2）（x1﹣x2）2＝（1+k2）[（）2﹣4×]＝＝3+＝当且仅当9k2＝，即k＝时等号成立．当AB的斜率不存在时，经检验|AB|＜2．所以S△OAB≤，即有△OAB面积的最大值为．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．2．已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）．（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程；（2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；（3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）可设直线l1的方程为y＝k（x+2），由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得；（2）设椭圆的方程为1（a＞b＞0），易得a＝1或b＝1，分别可得b和a值，可得方程；（3）可设直线l2的方程为y（x+2）和椭圆联立可得5x2+8x+2＝0，由弦长公式可得．【详解】（1）∵点到直线的距离为.设的方程为，∴，∴.∴的方程为.（2）设椭圆方程为，半焦距为，则.，，∴.∴所求椭圆方程为.（3）设切点为，则由题意得，椭圆方程为，在中，，，则，∴的方程为，代入椭圆中，整理得.设，，则，.∴.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．3．已知椭圆.（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用点差法解决中点弦问题中求直线方程；（2）分类讨论切线斜率不存在与存在，利用两向量垂直其向量的数量积为零，可证明，进而在中，由与相似，得求得答案.【详解】解：（1）设，，，即，解得.两点在椭圆上，，两式相减，得，则，故直线的方程为，即.（2）当切线斜率不存在时，不妨设的方程为，由椭圆的方程可知，，则，，即.当切线斜率存在时，可设的方程为，，即，联立和椭圆的方程，得，则，

，.综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.在中，由与相似，得.【点睛】本题考查椭圆中利用点差法解决中点弦问题，还考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于较难题.4．已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在；.【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，求解出的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件可得，当直线的斜率不存在时，直接计算即可；当直线的斜率存在时，设，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理形式表示出，由此确定出是否存在满足条件.【详解】解：（1）由题意可得，解得.故椭圆C的标准方程为.（2）由（1）可知.当直线l的斜率不存在时，，则.当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为.联立，整理得，则，从而故由题意可得.则.因为，所以.综上，存在实数，使得恒成立.【点睛】易错点睛：利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点：（1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在；（2）利用公式或不仅可以求解弦长，同时还可以求解两点之间的距离.5．设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．【答案】（1）（2）或（3）定值【分析】（1）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y＝k（x﹣1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论．【详解】（1）抛物线的焦点为∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合∴椭圆的一个顶点为，即∵，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，），∴，不合题意．②设存在直线l为y＝k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，，，所以，故直线l的方程为或（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）由（2）可得：|MN|．由消去y，并整理得：，|AB|，∴为定值【点睛】本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．6．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明．（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大．7．已知椭圆，离心率，点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率，点在椭圆上，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆C的标准方程；（2）设，根据三点共线斜率相等，可分别求出的坐标，利用两点间的距离公式可将用表示，结合点在椭圆上消去即可得结果.试题解析：（1）依题意得，设，则，由点在椭圆上，有，解得，则，椭圆C的方程为：设，，，则，由APM三点共线，则有，即，解得，则，由BPN三点共线，有，即，解得，则=又点P在椭圆上，满足，有，代入上式得=，可知为定值．【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、椭圆的离心率、直线的斜率公式以及圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.8．已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、Ｆ两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值1【分析】(1)由题意可知,,结合，可求出椭圆方程.(2)设,则直线AP的方程为，求出，同理得出，将点在椭圆上这个条件代入，可得到答案.【详解】（1）由题意可知又因为且，解得，所以椭圆C的方程为；（2）为定值1.由题意可得：，设，由题意可得：，所以直线AP的方程为，令，则，即；同理：直线BP的方程为，令，则，即；所以而，即，代入上式得，所以为定值1.【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题.9．如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OM·ON为定值.【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）两点确定一条直线，所以只需再确定A点坐标即可，这可利用A在椭圆上及AB中点在直线上联立方程组解得：A（，），从而根据两点式求出直线AB的方程为．（2）本题涉及的条件为坐标，所以用分别表示M点、N点坐标就是解题方法：由A，P，M三点共线，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，由B，P，N三点共线，点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标．所以OM·ON==＝2=，又，所以OM·ON====．试题解析：解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．代入椭圆方程得，即，解得或（舍）．3分所以A（，），故直线AB的方程为．6分（2）设，则，即．设,由A，P，M三点共线，即，∴，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，9分设，由B，P，N三点共线，即，∴，点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标．12分所以OM·ON==＝2====．16分考点：直线与椭圆位置关系10．已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可知，，即可求得的值，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得，及，由此即可求证为定值．【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴且，，∴.故椭圆E的标准方程为：.（2）设、，线段AC的中点为M，联立，消去y，得.由，解得，，，，∴.∴.又直线l与x轴的交点，∴，∴，故为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．11．已知椭圆：（）经过与两点.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足.求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）椭圆过与两点，利用待定系数法求、即可得椭圆方程；（2）根据直线的斜率情况分类讨论，当斜率不存在或时易证定值，当斜率存在且时联立直线方程与椭圆方程，结合有定值，整合结论为定值即得证【详解】（1）椭圆过与两点，则解得∴椭圆的方程为（2）过原点的直线与椭圆交于、两点：当直线的斜率不存在或时，有当直线的斜率存在且时，令直线：，代入椭圆方程有若，，即又椭圆上一点满足，知：垂直平分，可令直线：∴同理可得：或即故综上，知：为定值得证【点睛】本题考查了椭圆，利用椭圆过两定点，应用待定系数法求椭圆方程，根据直线与椭圆的位置关系，及动点与它们的交点关系证明定值问题12．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【分析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】（1）证明：∵椭圆经过点，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，，则，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.13．已知椭圆：在右、上顶点分别为、，是椭圆的左焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相切于点（在第二象限），过作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）为定值；.【分析】（1）由已知建立方程，解之求得，可得椭圆的方程；（2）设切点，求得切线方程，以及直线的方程，直线的方程，联立与的方程可解得交点，再表示，可得定值.【详解】解：（1）由题可知，所以椭圆：；（2）由题，设切点，则，切线：，而，且过原点，所以：，而直线：，联立与的方程可解得，则，所以，为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系之定值问题，关键在于将所求的量转化到曲线上的点的坐标的关系，化简可得结论．14．已知点F1为椭圆1（a＞b＞0）的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为【分析】（1）由PF1⊥x轴可得c＝1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a的值，由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）将直线l与椭圆的方程联立求出两根之积，由OA⊥OB，可得0，可得k，m的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值.【详解】（1）令焦距为2，依题意可得F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），，所以，所以椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，.所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2kmm2，由，得3m2＝2（k2+1），所以原点O到直线l的距离为，为定值.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题.15．已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值