信号与系统（MATLAB版 微课视频版 第2版） 课件 2-2 连续时间系统的响应

2.2连续时间系统的响应1.齐次解

n阶线性时不变系统的微分方程的一般表达式：

2.2.1微分方程的经典解微分方程的经典解法是将微分方程的完全解

分解为齐次解和特解后再分别求解。齐次解满足方程右端的激励及其各阶导数项为零的齐次方程齐次解的形式是形如的函数的线性组合代入并化简得微分方程的特征方程特征方程的n个根称为微分方程的特征根。设齐次解中的常数Ai在求得全解后，将由初始条件确定。⑴特征根均为单根若其中的是微分方程的k阶重根，则重根部分用k项表示⑵特征根有重根例

求微分方程的齐次解。解：系统的特征方程为

特征根

(重根)

微分方程的齐次解

2.特解特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励代入方程的右端得到的函数式称为自由项，根据自由项的函数形式，选择相应的特解函数形式。将其代入微分方程左端，根据等式两端同类项系数相等的原则求出特解函数式中的待定系数，即可得到方程的特解。教材P57表2-2-1列出了几种典型的自由项函数相应的特解函数式，其中B、D是待定系数。例

求微分方程在下列两种情况下的特解。该方程有一个特征根为-1,α等于特征根，查表，该方程特解的函数式应为将特解代入微分方程左端，得解得待定系数B0=1，因此特解

⑴⑵

解：⑴将代入方程右端，自由项函数为将特解代入微分方程，得解得待定系数因此特解

⑵将代入方程右端，自由项函数为。查表，该方程特解的函数式应为其中的待定系数将根据系统的初始条件求出。3.完全解将齐次解和特解相加，可得到有待定系数的微分方程的完全解，即

微分方程是描述系统的输入输出关系方程，微分方程的完全解是系统的完全响应，齐次解是系统的自由响应，其函数形式只取决于系统的特性，其中特征方程的特征根称为系统的固有频率，而系统自由响应的幅度由初始条件与激励共同决定；特解是系统的强迫响应，其函数形式只取决于激励函数。因此系统的完全响应可以分解为

完全响应=自由响应+强迫响应用这n个初始条件即可确定完全解中的待定系数。2.2.2起始点的跳变——0-到0+状态的转换设激励信号接入系统的时间为t=0时刻，响应区间即微分方程求解的区间为，则称t=0时刻电路换路。换路之前的终了时刻（0-时刻）系统的状态称为起始状态（0-状态）。对于n阶线性微分方程，用n个起始条件表示系统的起始状态，即

起始条件描述的是系统的起始储能情况，包含了为计算区间内系统未来响应的全部过去信息。在换路的瞬间，这组状态有可能发生跃变。换路之后的最初时刻（0+时刻）系统的状态称为初始状态（0+状态）。对于n阶线性微分方程，用n个初始条件表示系统的初始状态，即在换路的瞬间，这组状态是否发生跃变，根据换路定律确定。如果没有冲激电流或阶跃电压强迫作用于电容，则电容电压不会发生跃变。如果没有冲激电压或阶跃电流强迫作用于电感，则电感电流不会发生跃变。总之，若没有奇异信号作用于系统，电容电压和电感电流就不会发生跃变；若有冲激信号及其各阶导数作用于系统，系统的响应变量及其各阶导数在换路的瞬间有可能发生跃变。对于n阶线性微分方程，代人t=0时的等效激励后，若方程右端的自由项中包含有冲激信号及其各阶导数，则由于冲激信号及其各阶导数仅在t=0瞬间作用于系统，而在t>0时为零，因此可以认为，正是由于冲激信号及其各阶导数的作用，系统的响应变量及其各阶导数在换路的瞬间有可能发生跃变，用奇异函数系数平衡法，或称为冲激函数匹配法可以求出。例

微分方程在t=0时接入激励，求在换路瞬间的跃变值。

即

解：例

电路如图所示，已知R1=1Ω，L=1/4H，R2=3/2Ω，C=1F，e1(t)=2V，e2(t)=4V，t<0开关S处于1的位置而且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。建立电流i(t)的微分方程并求解i(t)在t≥0+时的响应。解：建立微分方程，列回路方程、结点方程系统的特征方程⑴求齐次解特征根

齐次解消去变量并代入电路参数，得在（-∞<t<∞）时间内描述系统的微分方程⑵求特解时因此设特解特解系统的完全响应⑶求初始条件在换路过程中激励信号的变化量，从换路前t<0时的2V变为换路后t>0时的4V，即系统在t=0时的等效激励为：换路前所得结果同上例。代入微分方程，初始条件为得到以待定系数为未知数的方程组为解得待定系数得电路的完全响应为2.2.3零输入响应和零状态响应1.零输入响应零输入响应是输入为零，也就是激励为零时，仅由起始时刻系统的储能引起的响应。n阶线性时不变系统的零输入响应满足的微分方程一般表达式：及起始条件零输入响应的形式与自由响应的形式相同，是自由响应中的一部分，即LTI系统的完全响应也可以分解为零输入响应和零状态响应分别求解。如果响应变量是除了电容电压或电感电流之外的变量，则初始状态有可能发生跃变，这要看换路时即t=0时方程右端的自由项中是否出现函数及其各阶导数项。

对于具体电路，如果响应变量是电容电压或电感电流，若没有冲激电流（冲激电压）或阶跃电压（阶跃电流）强迫作用于电容（电感），则电容电压（电感电流）不会发生跃变，初始状态等于起始状态不会发生跃变。

此时中的系数由确定。对于n阶线性微分方程，因为没有外接激励的作用，所以例

对上例求解在时的零输入响应。

换路前起始状态

其零输入响应表达式为解：在（-∞<t<∞）时间内描述系统的微分方程用函数匹配法得零输入响应的初始条件为

激励信号在换路过程中，由换路前t<0时的2V变化到换路后t>0时的0V，因此在t=0时的激励为V。

代入零输入响应的表达式求出待定系数，得电路的零输入响应为

2.零状态响应零状态响应是系统的起始状态等于零即起始时刻系统的储能为零，由系统的外加激励信号所产生的响应。n阶线性时不变系统的零状态响应满足的微分方程一般表达式：及起始条件零状态响应的形式与完全响应的形式相同，零状态响应是强迫响应与一部分自由响应的合成。初始状态有可能发生跃变，这要看换路时即t=0时方程右端的自由项中是否出现函数及其各阶导数项，以及响应变量是什么量。只有在没有冲激电流或阶跃电压强迫作用于电容、没有冲激电压或阶跃电流强迫作用于电感时，作为响应变量的电容电压、电感电流不会发生跃变。式中的待定系数由确定。例

对上例求解在时的零状态响应。激励信号在换路过程中的变化量从换路前t<0时的0V变为换路后t>0时的4V，因此在t=0时的激励为V。零状态响应表达式为

起始状态为零解：在（-∞<t<∞）时间内描述系统的微分方程

用函数匹配法得零状态响应的初始条件为将初始条件及特解代入，得零状态响应为

完全响应的另一种重要的分解方法是将完全响应分解为暂态响应和稳态响应。完全响应=暂态响应+稳态响应暂态响应是随时间的增加响应强度衰减，最终完全消失的响应分量，而最终保留下来的响应分量称之为稳态响应。2.2.4MATLAB实现lsim(sys,x,t,zi)：求零输入响应或全响应，其中sys必须是状态空间形式的系统函数，zi是系统的起始状态。MATLAB的lsim()函数能计算并绘制连续时间系统在指定的任意时间范围内、给定任意输入的响应，其调用格式为：lsim(sys,x,t)：求零状态响应，其中sys可以是利用命令tf、zpk或ss建立的系统函数，x是系统的输入，t定义的是时间范围。例

已知系统的微分方程当激励，起始值时，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：MATLAB程序如下：a=[1,3,2];b=[2,1];[ABCD]=tf2ss(b,a);sys=ss(A,B,C,D)