2024-2025学年贵州省六盘水市高三（上）第一次诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省六盘水市高三（上）第一次诊断数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x+1≤3}，N={0,1,2,3,5}，则M∩N=(

)A.{1,2} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3,5}2.已知复数z=3+i(i是虚数单位)，则|z−2i|=A.1 B.2 C.2 D.3.“对任意实数x∈(0,+∞)都有x+4x≥a”是“a<4”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知角α的终边过点P(3,1)，则tan2α=(

)A.−45 B.−35 C.5.若a=log352，b=(15)−0.1，c=(25A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a6.函数y=|cosx|+cos|x|的值域为(

)A.[−2,2] B.[−1,1] C.[0,2] D.[0,1]7.已知a>0>b且a+b>0，则(

)A.a3<b3 B.a2<8.已知抛物线E：y2=2px(p>0)上的点M(x0,3)到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A.3 B.2 C.62二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,0<φ<π2,0<ω<π)的最大值为3，且f(0)=32，A.f(x)=3cos(2x+π3) B.f(x)图象的一条对称轴是x=π12

C.f(x)在[−π10.图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图(2)和图(3)表示，则(

)

A.图(1)中乘客量为1.5单位时，收支持平

B.图(1)中当乘客量为0时，亏损1单位

C.图(2)的建议可能为：提高票价并降低成本

D.图(3)的建议可能为：降低成本而保持票价不变11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)=f(2−x)，f(x+2)的图象关于(0,0)对称.当x∈[0,1]时，f(x)=aex+b，若f(2)+f(3)=1−e，则下列说法正确的是A.f(x)的周期为4 B.f(x)的图象关于(4,0)对称

C.f(2025)=1−e D.当x∈(1,2]时，f(x)=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α为锐角，且sin(3π2+α)=−3513.函数f(x)=f′(1)x2−lnx的图象在点(1,f(1))14.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[3.01]=3，[−1.68]=−2，则满足方程[x+2]=x2的所有实数x组成的集合为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K、Ca、Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”.某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术，2017年至2023年的年利润y与年份代号x的统计数据如下表(已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系)．年份2017201820192020202120222023年份代号x1234567年利润y(单位：千元)29333644485259(1)求y关于x的线性回归方程，并预测该果农2024年的年利润；

(2)当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年.现从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，求恰有1年为甲级利润年的概率．

参考公式：回归方程y​=b​x+a​中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=116.(本小题15分)

已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanC=3tanB．

(1)若a=2b，求C；

(2)若a=6，b+c=3，求△ABC的面积．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，且PB=AB=BC=1，AD=12，M为PA中点．

(1)求点M到直线PC的距离；

(2)求平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值．18.(本小题17分)

近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=π3，OM=30米，设∠COM=α．

(1)求扇形OMN的面积；

(2)求矩形ABCD的面积S(α)；

(3)当α为何值时，S(α)取得最大值，并求出这个最大值．19.(本小题17分)

设ℎ′(x)为ℎ(x)的导函数，若ℎ′(x)在区间D上单调递减，则称ℎ(x)为D上的“凸函数”.已知函数f(x)=−sinx+ax2+ax．

(1)若f(x)为[0,π2]上的“凸函数”，求a的取值范围；

(2)证明：当a=−1参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.C

7.D

8.C

9.AC

10.ABD

11.AB

12.4513.y=x

14.{−1,15.(1)根据表中的数列，计算可得y−=17i=17yi=17×301=43，x−=1+2+3+4+5+6+77=4，

所以b=i=17(xi−x−)(yi−y−)i=17(xi−x−)2=14028=5，

故a=y−−bx−=43−5×4=23，

所以y关于x的线性回归方程为y=5x+23，

当16.解：(1)因为tanC=3tanB，

所以sinCcosC=3sinBcosB，则sinCcosB=3sinBcosC，

因为a=2b，由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

所以2sinB=4sinBcosC，由B为三角形内角，故sinB≠0，

所以cosC=12，又0<C<π，

故C=π3；

(2)由(1)知，sinCcosB=3sinBcosC，

则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

由正弦定理可得a=4bcosC，

由a=6，且cosC=a2+b2−c22ab=6+b2−c226b17.解：(1)因为AB⊥AD，AD//BC，所以AB⊥BC，

因为PB⊥平面ABCD，AB、BC⊂平面ABCD，

所以PB⊥AB且PB⊥BC，

所以可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，

则由题意，M(12,0,12),P(0,0,1),C(0,1,0)，

A(1,0,0),D(1,12,0),B(0,0,0)，

所以MP=(−12,0,12),PC=(0,1,−1),PA=(1,0,−1)，

AB=(−1,0,0),AD=(0,12,0)，

所以PC|PC|=12(0,1,−1)，

MP⋅PC|PC|=(−12,0,12)⋅12(0,1,−1)=−122，又MP2=12，

故点M到直线PC的距离为MP2−(MP⋅PC|PC|)2=(1218.解：扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，

点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=π3，OM=30米，设∠COM=α；

(1)由题意，∠MON=π3，扇形半径即OM=30米，

则扇形OMN的面积为12×π3×302=150π平方米；

(2)在Rt△OBC中，BC=30sinα，OB=30cosα，

在Rt△OAD中，AD=BC=30sinα，则OA=AD3=33×30sinα，

∴AB=OB−OA=30cosα−103sinα，

则停车场面积：

S(α)=AB⋅BC=30sinα(30cosα−103sinα)

=3003(3sinαcosα−sin2α)=1503(3sin2α+cos2α−1)19.解：(1)由f(x)=−sinx+ax2+ax，则f′(x)=−cosx+2ax+a．

由题意可知，f(x)为x∈[0,π2]上的“凸函数”，

则f′(x)在区间x∈[0,π2]上单调递减，设φ(x)=f′(x)，

则φ′(x)=sinx+2a，所以sinx+2a≤0在x∈[0,π2]恒成立，

则2a≤−sinx在x∈[0,π2]恒成立，

又当x=π2时，函数y=−sinx取最小值，且最小值为−1，

所以有2a≤−1，解得a≤−12，

即a的取值范围为(−∞,−12]．

(2)证明：当a=−1时，由f(x+1)=−sin(x+1)−(x+1)2−(x+1)得

g(x)=−sin(x+1)−(x2+2x+1)−(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2=−sin(x+1)+ln(x+2)．

令H(x)=g(x−1)=−sinx+ln(x+1)，x>−1，其中H(0)=0，

则H′(x)=−cosx+1x+1，其中H′(0)=0．

①当x≥2时，H(x)=−sinx+ln(x+1)≥−1+ln3>0，

故H(x)在[2,+∞)无零点；

②当π2≤x<2时，由−cosx≥0,1x+1>0，则H′(x)>0，

故故H(x)在[π2,2)单调递增，

H(π2)=−sinπ2+ln(π2+1)<0，且H(2)=−sin2+ln3>