江苏省南通市“名校联盟”2025届高三上学期模拟演练性联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省南通市“名校联盟”2025届高三上学期模拟演练性联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足zz−1=1+i，则z=A.1 B.2 C.2 D.2.已知cosαcosα−sinαA.23+1 B.23−13.设x,y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤x2yA.27 B.24 C.12 D.324.锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若ba+abA.2 B.4 C.6 D.85.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T9,m的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(A.(1,0) B.−1,0 C.0,−1 D.(0,1)6.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值为A.e B.2e2+12e7.由m×n个数排成一个m行n列的数表A=a11&a12aijm×n.定义矩阵的乘法如下：设A=aijm×s，B=bijAB.其中cij=k=1saikbkjA.−3&3−4&33&4 B.3&−33&−44&3 C.8.定义：已知数列ann∈N∗的首项a1=1，前n项和为Sn.设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有Sn+11k−Sn1k=λaA.3×4n−2 B.1(n=1)3×4n−2(n≥2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)的定义域为R，且f(12)≠0，若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy，则A.f(−12)=0 B.f(12)=−2

C.函数f(x−10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点EA.存在点E，使AE⊥DB1

B.当A1EEB1=3时，经过点A，C，E的平面将正方体分成体积比为3:1的大小两部分

C.当FA=FB时，点F11.记f′x,g′x分别为函数fx,gx的导函数.若存在x0∈R，满足fx0=gx0且f′xA.函数fx=x与gx=x2+2x−2不存在“S点”

B.若函数fx=ax2−1与gx=lnx存在“S点”，则a=e2

C.对于函数fx=−x2+a与gx=bexx.对于任意的a>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.以maxM表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，则maxb−a,c−b,1−c的最小值为

．13.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M∼数列”.已知数列bn(n∈N∗)的前n项和为Sn，且满足b1=1，1Sn=2bn−2bn+1.设m14.设数列{an}:1,−2,−2,3,3,3,−4,−4,−4,−4,⋯，(−1)k−1k,…,(−1)k−1kk个,…，即当k−1k2<n≤kk+12(k∈N∗)时，an=(−1)k−1k.记Sn四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F分别为AB，(1)证明：A1C(2)若AB=1，AB⊥AC，B1D⊥A1F，求点16.(本小题12分)已知O为坐标原点，抛物线的方程为x2=2pyp>0，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，过F的直线l

(1)求kOM(2)若OP2(3)在(2)的条件下，若S△OMNS△OPQ的最小值为1，求抛物线的方程(其中S△OMN，S▵OPQ分别是▵OMN和17.(本小题12分)已知函数fx=xe(1)若a∈2π,+∞，讨论f(2)若a=1，且方程π2fx−mx=e18.(本小题12分)“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．(1)利用恒等式sin2θ+cos2θ=1和(2)在▵ABC中，角A、B、C对应的边为a、b、c．(i)求证：cos(ii)已知实数x,y满足x2+y219.(本小题12分)解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件a11a22(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中x1,x2的系数a11、a22、a12、a21所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表a11&a(i)用二阶行列式表示方程组a11(ii)对于三元一次方程组a11x1+a(3)若存在x∈0,π，使得sinx&−mcosx&m>参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.BCD

11.ABD

12.1513.5

14.5；1008

15.【解答】(1)证明：

因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE为△ABC的中位线，

所以DE/​/AC，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC/​/A1C1，

所以A1C1/​/DE，

因为DE⊂平面B1DE，A1C1⊄平面B1DE，

所以A1C1//平面B1DE；

(2)解：由(1)可知，A1C1/​/DE，

因为A1C1⊂平面A1C1F，DE⊄平面A1C1F，

所以DE/​/平面A1C1F，

所以点E到平面A1FC1的距离为点D到平面A1FC1的距离，

由(1)可知，AC/​/A1C1，因为AB⊥AC，所以A1C1⊥AB，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，

因为A1C1⊂平面A1B1C1，

所以A1C1⊥AA1，

因为A1C1⊥AB，A1C1⊥AA1，AB，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩A16.解：(1)设直线OM的斜率为k1(k1>0)由题可知，直线MN的斜率不为0，设M(x设直线MN：  y=kx+p则由y=kx+p2x易知Δ>0，且x1则k1(2)设P(x由题可知，lOM: y=k联立方程y=k1x因为：|OP=2=2=2=2b因为|OP|2+|OQ所以当32b4=a4+16b所以椭圆的方程为x2(3)因为S△OMN由(2)可知，当a2x3S故p22=1⇒p=此时抛物线方程为x2

17.解：(1)fxf′=e因为x∈2π,a，a∈所以eax⋅所以f′(x)<0，所以fx在2(2)当a=1时，fx=xe则π2设ℎ(t)=πet则ℎ′(t)=π设m(t)=π则m′(t)=π因为t∈0,π2，所以π所以m(t)在0,π又m(0)=π−2eπ所以当t∈0,π2时，m(t)<0所以ℎ(t)在0,π2上单调递减，ℎ(0)=0，当t→π所以πet−πcost−2teπ

18.解：(1)设x=cosθ，θ∈0,π因为θ∈0,π，所以θ+π4∈π即y1=x−当cosθ>0时，===表示点2tanθ,0到点0,2和所以y2当cosθ<0时，=−=−表示点2tanθ,0到点0,2和所以y2综上，y2的最小值为：(2)(i)因为cosC=所以co=co=co=1+2=1+2=1+2=1−2cos(ii)在(i)中，令C=π4，则cos因为x2+y2+所以f可得fA则f=====其表示点2cosA,sinA到点2,−2所以fA当且仅当sinA−0即cosA=4

19.解：(1)该方程组的两个解为x1(2)(i)由(1)得x所以该方程组的两个解为x1(ii)类比二元一次方程组，将三元一次方程组中x1,x2,令D=a11&即得该三元一次方程组有唯一一组解的

条件为a11用三阶行列式表示该方程组的解为x1=b1&(3)sinx&−m令sinx+cosx=t其中t=sin因为x∈