第1章直角三角形的边角关系 同步单元达标测试题 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》同步单元达标测试题（附答案）一、单选题（满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则tanA的值为（A．35 B．45 C．432．在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=15,sinA=13A．5 B．102 C．45 D．3．如果锐角α的正切值是32A．30°<α<45° B．45°<α<60° C．α=60° D．α=30°4．在△ABC中，若2cosA−22+A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．cos30°−sin45°A．12 B．13 C．1 6．若tanA=0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（

）A．

B．

C．

D．

7．如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，则

A．2+23 B．3+3 C．48．如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．59．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．则A，A．102km B．52km C．10．两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（

）A．a米 B．atanα米 C．atanβ米二、填空题（满分30分）11．如果α是锐角，sinα=cos44°，那么α的大小为12．已知tanα=2，则2sinα+13．在正方形ABCD中，点E在直线BC上，AB=6，tan∠AEB=3.则CE的长为14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BC=17，AD=9，cos∠BAD=35，则线段15．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=22，AB=3，则AC的长为16．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．则AC的长的值为．17．等腰△ABC中，AB=AC，tan∠ABC=34，D为AB的中点，BE⊥BC交射线CD于E，若BC=8，则线段BE18．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上点A为80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度BC为（结果保留根号）．

19．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了海里．（精确到1海里，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，20．如图，在Rt△ABO中，AO=2，将△ABO绕点O旋转至△A′B′O的位置，且A′是OB的中点，B三、解答题（满分60分）21．计算：(1)3(2)2sin22．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，点E为线段BC的中点，AD=2(1)求AB的长；(2)求sin∠EDC23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）上有一点A(−3,m)，且与直线y=−2x+4交于另一点

(1)求k与m的值；(2)过点A作直线l∥x轴与直线y=−2x+4交于点C，求sin∠OCA24．如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．(1)若AB=2①求EC的长；②若P，Q分别是线段AE，AD上的动点，求(2)若AE−DE=2EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+25．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台AB的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着BC方向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得CE=2.4 m，小海眼睛到地面的距离DE为1.6m；然后，小江沿CB方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的仰角为45°，此时，测得CG=11.5 m，测角仪的高度FG也为1.6m．已知点B，G，C，E在同一水平直线上，且AB,FG,DE均垂直于BE，求该上天台的高度26．图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆CD的长度．（结果保留根号）(2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=34（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果精确到127．如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．(1)求证：∠DBG=90°．(2)若BD=6，DG=2GE．①求菱形ABCD的面积．

②求tan∠BDE(3)若BE=AB，当∠DAB的大小发生变化时0°<∠DAB<180°，在AE上找一点T，使GT为定值，并求出此定值．28．【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE,CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF．【特例感知】（1）如图1，当α=60°时，则AF与BE的数量关系为；【尝试探究】（2）如图2，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由．【拓展应用】（3）如图4，当α=30°，且点B，E，F三点共线时，若BC=47，BD=15参考答案：题号12345678910答案DAADCADAAD1．解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=A∴tanA=故选：D．2．解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°∴sinA=∵AB=15，∴BC∴BC=5，故选：A．3．解：∵tan30°=33，，tanα=32，tan45°=1而13∴tan2∴tan30°<∴30°<α<45°，故选：A．4．解：∵2∴2cosA−∴cosA=2∴∠A=45°，∠B=45°∴∠C=180°−∠A−∠B=90°．∴△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．5．解：cos==1．故选：C．6．解：在计算器中按下0.1890，然后找到tan−1的按键符号，即2ndf按下2ndf键，再按tan键，A项符合题意故选：A．7．解：如下图，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2∴CD=12AC=在Rt△BCD中，tan∴3∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5，故选：D．8．解：连接AC交MN于点F，设AB=2m，则BC=2AB=4m，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AC=∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，∴点C与点A关于直线MN对称，∴AM=CM，MN垂直平分AC，∴BM=BC−CM=4m−AM，∠AFM=90°，AF=CF=1∵AB∴2m∴AM=5∴MF=∴tan∠AMN=故选：A．9．解：由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°∵.∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°，∵AB=BC=10km∴AC=A故选：A．10．解：如图，作DE⊥AB于点E，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴ED=BC，BE=DC，在直角△AED中，ED=BC=a，∠ADE=α，∵tan∴AE=DE⋅tan同理：AB=a⋅tan∴DC=BE=AB−AE=a⋅tan故选：D．11．解：∵sinα=∴α=90°−44°=46°；故答案为：46．12．解：∵sinα=∴tanα=∵tanα=2∴sinα=2∴2故答案为：5．13．解：∵在正方形ABCD中，∠B=90°，∵AB=6，tan∠AEB=3∴BE=AB当点E在边BC上时，如图1，

则CE=BC−BE=6−2=4；当点E在CB的延长线上时，如图2，

则CE=BC+BE=6+2=8，故答案为：4或8．14．解：∵cos∠BAD=ADAB∴AB=15，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ABD=90°，∴BD=A∴CD=BC−BD=17−12=5，故答案为：5．15．解：过A作AD⊥BC，如图所示：在Rt△ABD中，sinB=1∴AD=AB⋅sinB=1在Rt△ACD中，tan∴ADDC=2∴BC=BD+CD=32由勾股定理得AC=A∴S故答案为：3，3216．解：如图，延长BC，AD交于E，∵∠B=90∴∠E=30°，∴AE=2AB=8,BE=AB·tan∵AD=5，∴DE=3，∵∠ADC=∠CDE=90∴CE=DE∴BC=BE-CE=23∴AC=A故答案为：217．解：作AF⊥BC交BC于F，交EC于G，如图：∵等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∴BF=CF=1∵tan∴AF∴AF=3∵BE⊥BC，∴BE∥∴△CGF∽△CEB，∴GF∴GF=1∵D为AB的中点，∴BD=AD，在△BED和△AGD中，∠EBD=∠GADBD=AD∴△BED≌△AGDASA∴AG=BE，∴AF=AG+GF=BE+1解得：BE=2，故答案为：2．18．解：如图所示：

过P作PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，∴QH=BC，BH=CQ，由题意可得：AP=80米，∠PAH=60°，∠PCQ=30°，AB=70米，∴PH=APsin60°=80×3∴CQ=BH=70−40=30米，∴PQ=CQ⋅tan∴BC=QH=403大楼的高度BC为303米．故答案为：30319．解：由题意得：AB=30（海里），AC⊥CE,在Rt△ACD中，∠CAD=45°∴AC=CD∴BC=AC−AB=80−30=50（海里），在Rt△BCE中，∠CBE=70°∴CE=BC⋅tan∴DE=CE−CD=137.5−80=57.5≈58（海里），即乙船向正东方向航行了58海里，故答案为：5820．解：作B′H⊥x轴，∵A′是OB∴O∴OA=∴∴∠AOB=60°,∵△ABO绕点O旋转至△∴△ABO≌△∴∠BO∴∠∵OA=2,∴BO=∴OH=2,B∴k=2×23故答案为：421．（1）解：原式=3×=2=33（2）解：2sin=2×=1+6−=6.5．22．（1）解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵AD=2，tan∴BD=AD∴AB=A（2）解：∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠BDC=∠ABC=90°，∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，∵点E为线段BC的中点，∴DE=CE=1∴∠EDC=∠C，∴∠EDC=∠ABD，∴sin∠EDC=23．（1）解：∵点B(n,6)在直线y=−2x+4图象上，∴−2n+4=6，解得n=−1，∴B(−1,6)，∵B(−1,6)在反比例函数图象上，∴k=−6，∴反比例函数解析式为y=−6∵点A(−3,m)在反比例函数图象上，∴m=−6∴m=2．（2）解：在函数y=−2x+4中，当y=2时，x=1，∴C(1,2)，∴OC=5∴sin

24．（1）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=23，BC=AD=4由折叠性质得AF=AD=4，DE=EF，在Rt△ABF中，BF=在Rt△CEF中，FC=BC−BF=2，EF=DE=2由勾股定理得EC2+C解得EC=2②连接DF，根据折叠性质得AE垂直平分DF，∵P，Q分别是线段AE，∴PD+PQ=PF+PQ，如图，当F、P、Q共线，且FQ⊥AD时，PD+PQ最小值，最小值为FQ的长，∵∠C=∠ADC=∠DQF=90°，∴四边形CDQF是矩形，∴FQ=CD=23（2）解：∵∠AFE=∠ADE=∠B=∠C=90°，∴∠BAF=∠CFE=90°−∠AFB，∴△ABF∽△FCE，∴EFAF∴tanα+tan===BC设AB=CD=a，AF=AD=BC=b，DE=EF=x，∴BF=AF2∵AE−DE=2EC，∴AE=DE+2EC=x+2a−x∵AD∴b2+x由CFAB=CE∴a2即14整理，得16a4−24∴4a2=3∴tanα+25．该解：如图，过点F作FH⊥AB于点H，则FH=BG，FG=BH=1.6 m在△AHF中，AHHF∴AH=FH=BG．设BG=x，根据题意得，∠DCE=∠ACB，∵∠ABC=∠DEC=90°，∴△DCE∽△ACB，∴CEBC∴2.4x+11.5=1.6∴AB=AH+BH=18.2+1.6=19.8 m答：该上天台的高度AB为19.8米．26．（1）解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，由题意得：AB=CE=10cm，BC=AE=20∵AD=50cm∴ED=AD−AE=50−20=30cm在Rt△CED中，CD=∴可伸缩支撑杆CD的长度为1010（2）解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点解：由题意得：AB=FG=10cm，AG=BF，∠AGD=90°在Rt△ADG中，tan∴设DG=3xcm，则AG=4x∴AD=A∵AD=50cm∴5x=50，解得：x=10，∴AG=40cm，DG=30∴DF=DG+FG=30+10=40cm∴BF=AG=40cm∵BC=20cm∴CF=BF−BC=40−20=20cm在Rt△CFD中，CD=∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为45cm27．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=DC，AB∥CD，∴∠BDC=∠CBD，∠BDC=∠ABD，∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC∵BG平分∠CBE交DE于点G，∴∠CBG=∠EBG=12∠CBE∴∠CBD＋∴∠DBG=90°；（2）解：①如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴OD=12BD=3∴∠DOC=90°，在Rt△DOC中，OC=C∴AC=2OC=8，∴S菱形即菱形ABCD的面积是24．②如图，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠DBG=90°∴BG⊥BD，∴BG∥AC，∴DHDG∴DH=HG，DG=2DH，∵DG=2GE，∴EG=DH=HG，∴DHEH∵AB∥CD，∴∠DCH=∠EAH，∠CDH=∠AEH，∴△CDH∽△AEH，∴CHAH∴CH=13AC=8∴OH=OC−CH=4−8∴tan∠BDE=（3）解：如图，过点G作GT∥BC交AE于点T，此时GT=5理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG∥AC，∴EGGH∵AB=BE=5，∴EG=GH，同理可得，OH∥BG，∴DHGH∵BO=DO，∴DH=GH=EG，∵GT∥BC，∴GT∥AD，∴△EGT∽△EDA，∴GTAD∵AD=AB=5，∴GT=528．解：（1）∵α=60°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵