2025届甘肃兰化一中高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

2025届甘肃兰化一中高二上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为A. B.C. D.2．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.3．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量，，，则的最小值为（）A. B.C. D.4．在下列函数中，最小值为2的是（）A. B.C. D.5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B.C. D.6．设命题，，则为（）.A.， B.，C.， D.，7．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（）A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和8．若、且，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.9．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.10．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（）A.1 B.2C.3 D.411．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.12．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A.24 B.18C.12 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正三角形边长为a，则该三角形内任一点到三边的距离之和为定值.类比上述结论，在棱长为a的正四面体内，任一点到其四个面的距离之和为定值_____.14．若，满足约束条件，则的最大值为_____________15．根据如下样本数据34567402.5-0.50.5-2得到的回归方程为若，则的值为___________.16．“直线和直线垂直”的充要条件是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为（1）求抛物线C的标准方程；（2）若AB是过抛物线C的焦点F的弦，以弦AB为直径的圆与直线的位置关系是什么？先给出你的判断结论，再给出你的证明，并作出必要的图形18．（12分）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.19．（12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直（1）求直线的一般式方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程20．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围21．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，为的中点，为的中点（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值22．（10分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先根据离心率得，再根据抛物线定义得最小值为（为抛物线焦点），解得，即得结果.【详解】因为双曲线的离心率，所以，设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，即双曲线的方程为，选B.【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.2、B【解析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).3、C【解析】由，得到，根据正弦、余弦定理定理化简得到，化简得到，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，向量，，因为，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因为，所以，由，所以，因为是锐角三角形，且，可得，解得，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：C4、C【解析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，时，为负数，A错误.对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.故选：C5、D【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D考点：利用导数研究函数的单调性.6、B【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.【详解】因为命题，，所以为，.故选：B.7、D【解析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项，进行分析求解即可【详解】由题意可得，第个括号内有个数，对于A，由题意得前9个括号内共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，所以A错误，对于C，前10个括号内共有个数，所以C错误，对于B，令，得，所以2021为数列的第1011项，由AC选项的分析可得2021在第10个括号内，所以B错误，对于D，因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和为，所以D正确，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项，考查分析问题的能力，属于较难题8、B【解析】构造函数，利用函数在上的单调性可判断AB选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断CD选项.【详解】对于AB选项，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，因为、且，则，即，A错B对；对于CD选项，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故函数在上不单调，无法确定与的大小关系，故CD都错.故选：B.9、A【解析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.设，,，由抛物线定义得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以抛物线的方程为.故选：A10、C【解析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离【详解】抛物线方程为，则，由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，即，所以线段的中点到准线的距离为.故选：C11、D【解析】利用抽样的性质求解【详解】所有学生数为，所以所求概率为.故选：D12、C【解析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解.【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用正四面体内任一点可将正四面体分成四个小四面体，令它们的高分别为，由体积相等即可求得；【详解】正三角形边长为a，则该三角形内任一点到三边的距离分别为，即有：，解得同理，棱长为a的正四面体内，任一点到其四个面的距离分别为，即有：，解得故答案为：【点睛】本题考查了利用空间几何体的等体积法求高的和为定值，属于简单题；14、6【解析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.15、-1.4##【解析】分别求出的值，即得到样本中心点，根据样本中心点一定在回归直线上，可求得答案.【详解】，则得到样本中心点为，因为样本中心点一定在回归直线上，故，解得，故答案为：16、或【解析】利用直线一般式方程表示垂直的方法求解.【详解】因为直线和直线垂直，所以，解得或；故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）相切，证明过程、图形见解析.【解析】（1）根据抛物线的准线方程，结合抛物线标准方程进行求解即可；（2）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合圆的性质进行求解即可.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，所以设抛物线C的标准方程为：，因为该抛物线的准线方程为，所以有，所以抛物线C的标准方程；小问2详解】以弦AB为直径的圆与直线相切，理由如下：因为AB是过抛物线C的焦点F的弦，所以直线AB的斜率不为零，设椭圆的焦点坐标为，设直线AB的方程为：，则有，设，则有，因此，所以弦AB为直径的圆的圆心的横坐标为：，以弦AB为直径的圆的直径为：所以弦AB为直径的圆的半径，以弦AB为直径的圆的圆心到准线的距离为：，所以以弦AB为直径的圆与直线相切.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键.18、（1）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为,……3分∴∴抛物线方程为……6分

由题意知直线AD的方程为…7分即代入得=0设，则，……11分∴【解析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.【详解】（1）设抛物线方程为，圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴.抛物线方程为：；（2）依题意直线的方程为设，，则，得，，.【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.19、（1）（2）【解析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程【小问1详解】解：由题意知，解得，直线和的交点为；设直线的斜率为，与直线垂直，；直线的方程为，化为一般形式为；【小问2详解】解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为，由垂径定理得，解得，圆的标准方程为20、（1）的减区间为，增区间为（2）【解析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以在区间递减；在区间递增.所以的减区间为，增区间为.【小问2详解】，恒成立.构造函数，，，构造函数，，所以在上递增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范围是.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接交于，连接，，由平面几何得，再根据线面平行的判定可得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得结果.【小问1详解】取的中点，连接交于，连接，在三棱柱中，为的中点，，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；【小问2详解】平面，，平面，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则即取，则，，又是平面的一个法向量，，故平面和平面夹角的余弦值为22、（