江西省临川区第一中学2025届高二上数学期末综合测试试题含解析

江西省临川区第一中学2025届高二上数学期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（）A.2或12 B.2或18C.18 D.22．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A. B.C.﹣1 D.13．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）A.在轴上 B.在轴上C.当时在轴上 D.当时在轴上4．若直线与平行，则实数m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或45．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）A. B.C. D.6．为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（）A. B.C. D.7．已知为圆：上任意一点，则的最小值为（）A. B.C. D.8．曲线在处的切线如图所示，则（）A. B.C. D.9．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）A.圆 B.两个圆C.椭圆 D.两个椭圆10．若等差数列，其前n项和为，，，则（）A.10 B.12C.14 D.1611．在中，内角所对的边为，若，，，则（）A. B.C. D.12．已知空间向量，且与垂直，则等于（）A.－2 B.－1C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____.14．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为______15．不等式是的解集为______16．已知等差数列的前n项和为公差为d，且满足则的取值范围是_____________，的取值范围是_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角的对边分别是，且（1）求角的大小（2）若，且，求的面积18．（12分）年世界人工智能大会已于年月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠距离点为米.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．（12分）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.20．（12分）设函数（1）求在处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.22．（10分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为.离心率为，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，是椭圆上异于长轴端点的两点（斜率不为0），已知直线，且，垂足为，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用双曲线的定义求.【详解】解：由双曲线定义可知：解得或（舍）∴点到的距离为18，故选：C.2、A【解析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.3、B【解析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置【详解】渐近线方程为，，平方，两边除，，，双曲线的焦点在轴上.故选B.【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力4、A【解析】由两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线与平行，所以，解得，故选：A.5、B【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C：上一点，则有，又，所以，故选：B.6、B【解析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、，因此，这组数据的中位数为.故选：B.7、C【解析】设，则的几何意义为圆上的点和定点连线的斜率，利用直线和圆相切，即可求出的最小值；【详解】圆，它圆心是，半径为1，设，则，即，当直线和圆相切时，有，可得，，的最小值为：，故选：8、C【解析】由图可知切线斜率为，∴.故选：C.9、A【解析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆【详解】是焦点为、的椭圆上一点为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点，如图，，，，由题意知是△的中位线，，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆故选：A10、B【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，，即，得.故选：B.11、B【解析】利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.【详解】，，由余弦定理得：，，.故选：B.12、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.【详解】∵∴∴，解得，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求点A1到平面D1EF的距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案.【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.设平面D1EF的法向量为，则，令x=1，则y=0，z=2，所以平面D1EF的一个法向量.点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为.故答案为：.14、【解析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.【详解】依题意，作图如下，取的中点G，连结，∵是正三角形，∴，，又∵是正三棱柱，∴底面，∴，即平面，，与平面的夹角=，在中，，故答案为：.15、【解析】由可得，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由可得，整理可得：，则，解可得：.所以不等式是的解集为:.故答案为：.16、①.②.【解析】通过判断出，进而将化为基本量求得答案；然后用基本量将化简，进而通过的范围求得答案.【详解】由，，，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据，通过余弦定理求解.（2）根据，通过正弦定理，把角转化为边得，再根据，得．再代入的面积公式求解.【详解】（1）∵，∴由余弦定理得，又，∴.（2）∵，∴由正弦定理得，∵，∴，又，∴∴面积【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、（1）；（2）没有.【解析】（1）设机器鼠位置为点，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，分析取值，即得解双曲线的方程，由可得P点坐标.（2）转化机器鼠与直线最近的距离为与直线平行的直线与双曲线相切时，平行线间的距离，设的方程为，与双曲线联立，求出的值，再利用平行线间的距离公式，即得解【详解】（1）设机器鼠位置为点，、，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，设其方程为：（，），则、、，则的轨迹方程为：（），时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；（2）由题意，直线，设直线的平行线的方程为，联立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.19、（1）；（2）证明见解析，的最小值为.【解析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线的方程，联立直线的方程求得的坐标，由此判断出动点在定直线上.求得的表达式，利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.20、（1）（2），【解析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值【小问1详解】，，，所以在点处的切线方程为，即.【小问2详解】，因为，所以与同号，令则，由，得，此时为减函数，由，得，此时为增函数，则，故，在单调递增，所以，21、（1）（2）存在，【解析】（1）根据离心率及短轴长，利用椭圆中的关系可以求出椭圆方程；（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.【小问1详解】，，，，椭圆的标准方程为.【小问2详解】由已知可得，，，∴，∵，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，，则，，∵，∴.即，因为，，即..所以，或.又时，直线过点，不合要求，所以.故存在直线：满足题设条件.22、（1）（2）面积的最大值为【解析】（1）由离心率为