天津市和平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题

和平区20172018学年度第一学期高二年级数学（理）学科期末质量调查试卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“双曲线的离心率为”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵双曲线的离心率为，∴，∵，∴。∴“”是“双曲线的离心率为”的充要条件。选C。2.在空间直角坐标系中，已知，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由空间中两点间的距离公式得。选B。3.已知双曲线的一个焦点坐标为，且经点，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设双曲线的方程为双曲线的一个焦点坐标为，且经过点，双曲线的标准方程为，故选A.4.若双曲线（）的离心力为，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】双曲线（）的，则离心率，解得，则双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.5.已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】抛物线的焦点为；抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，故，故，故该椭圆的离心率为，故选B.6.已知向量，，分别是直线、的方向向量，若，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】∵∥，∴∥，∴，∴。选D。7.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设这条弦的两端点为斜率为，则，两式相减再变形得，又弦中点为，可得，所以这条弦所在的直线方程为，整理得，故选C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.8.已知椭圆：（），点，为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点，使，则离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，设，则，可得，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用构造出关于的不等式，最后解出的范围.二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9.若双曲线（）的左焦点在抛物线的准线上，则__________．【答案】4【解析】双曲线的左焦点，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，可得，解得，故答案为.10.已知斜率为的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于、两点，则的长为__________．【答案】【解析】椭圆的右焦点为，直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有交点为，则弦长为，故答案为.11.已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点，作于，若直线的倾斜角为，则__________．【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点，准线的方程为直线的倾斜角为直线的方程为，联立，解得，于代入抛物线的方程可得，解得，，故答案为.12.空间四边形，，，则的值为__________．【答案】0【解析】∵，∴∴。答案：13.设椭圆与双曲线有公共焦点，，是两条曲线的一个公共点，则等于__________．【答案】【解析】由题意得。设是两条曲线在第一象限内的交点，则，解得。在中，由余弦定理的推论得。答案：点睛：椭圆（双曲线）上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆（双曲线）的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常运用圆锥曲线的定义，并结合利用正弦定理、余弦定理进行，解题时要注意通过变形将和看做一个整体，以减少运算量．14.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线右志于，两点，且，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出之间的关系，求出离心率．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知平面上的三点、、.（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；（2）设点、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出，从而可得，进而可得椭圆的标准方程；（2）点、、关于直线的对称点分别为、、.设所求双曲线的标准方程为（，）其半焦距，由双曲线定义得，得，从而可得，进而可得、为焦点且过点的双曲线的标准方程.试题解析：（1）由题意知，焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为（）其半焦距由椭圆定义得∴∴故椭圆的标准方程为.（2）点、、关于直线的对称点分别为、、.设所求双曲线的标准方程为（，）其半焦距，由双曲线定义得∴，∴，故所求的双曲线的标准方程为.16.已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：(1)因为点在抛物线上，且，由抛物线的定义，可得，解可得，代入标准方程，即可得抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线的方程，消去得，设，由一元二次方程根与系数的关系可得，结合拋物线的几何性质，可得的长，由点到直线距离公式可得到直线，进而由三角形面积公式计算可得答案.试题解析：（1）∵在抛物线上，且，∴由抛物线定义得，∴∴所求抛物线的方程为.（2）由消去，并整理得，，设，，则，由（1）知∴直线过抛物线的焦点，∴又∵点到直线的距离，∴的面积.17.如图，三棱柱中，侧棱于底面垂直，，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，利用向量的运算证明。（1）由题意得为平面的一个法向量，根据可得，从而可得平面。（2）证明与平面的法向量平行即可。试题解析：（1）证明：依题意，，，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，∴,,，由题意得平面，∴为平面的一个法向量。∵，∴，又平面。∴平面.（2）证明：连接，由（1）得，，设平面的一个法向量为由，得，令，得，∴，∴平面。点睛：（1）利用空间向量证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内．（2）利用空间向量证明直线和平面垂直时，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线即可。18.已知椭圆：（）的离心率为，为椭圆上位于第一象限内的一点.（1）若点的坐标为，求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上一点，且，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为得到，再根据点在椭圆上得到，由以上两式可得，从而可得椭圆的方程。（2）由题意可得椭圆的方程为，设直线的方程为（），,解方程组可得，同样可求得，根据可得，由解得后即可得到直线的斜率。试题解析：（1）∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴①∵点在椭圆上，∴②由①②解得，，∴椭圆的方程为。（2）由（1）可知，即∴椭圆的方程为，即，∴点，设直线的方程为（），,由解得，∵，∴。∵，∴，于是设直线的方程为（）由消去整理得，解得或（舍去）∴。又，∴，∴，即，∴（）解得，∴。即直线的斜率为。19.如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，.（1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系：则，，，，所以，，．设平面的法向量为，由，，得且．取，得，，所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以，即试题解析：（1）以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，由，，得且．取，得，，所以是平面的一个