【经典含解析及考点卡片】2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之三角形和四边形

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之三角形和四边形

一.选择题（共6小题）

1.（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

A.四条边相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

2.（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2

的正方形ABC。的边A8在x轴上，A8的中点是坐标原点。，固定点A,B,把正方形沿

箭头方向推，使点力落在y轴正半轴上点。'处，则点C的对应点C'的坐标为（）

A.（V3-1）B.（2,1）C.（1,愿）D.（2,V3）

3.（2017•河南）如图，在“ABCD中，对角线AC,8。相交于点O,添加下列条件不能判

A.AC1BDB.AB=BCC.AC=BDD.Z1=Z2

4.（2019•河南）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,/。=90°,AD=4,BC=3.分别

以点4,C为圆心，大于2AC长为半径作弧，两弧交于点E,作射线交于点F,

2

交4c于点。.若点。是AC的中点，则CO的长为（）

B

A.25/2B.4C.3D.^/7o

5.（2020•河南）如图，在△ABC中，AB=BC=gNB4C=30°,分别以点A,C为圆

心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为（）

6.（2020•河南）如图，在△ABC中，ZACB=90°,边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分

别为（-2,6）和（7,0）.将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在A8边上时，

二.填空题（共2小题）

7.如图，ZMAN=90°，点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,△

A'8c与△ABC关于BC所在直线对称，点。，E分别为AC,BC的中点，连接OE并

延长交A'B所在直线于点F,连接A'E.当aA'EF为直角三角形时，AB的长

8.（2020•河南）如图，在边长为2圾的正方形A8CZ）中，点E,尸分别是边A8,8c的中

点，连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点，连接GH,则GH的长度为

9.(2021•河南)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请

仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,(1)分别在射线OA,08上截取OC=。。，OE=OF(点C,E不重合);

(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线/I,11,交点为P,垂足分别为点G,H；(3)

作射线OP,射线OP即为NAOB的平分线.

简述理由如下：

由作图知，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtaPGO&RtZ\P”。，

则/POG=NPOH,即射线。尸是/AO8的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,(1)

分别在射线OA,上截取OC=。。，OE=O尸(点C,E不重合)；(2)连接OE,CF,

交点为P;(3)作射线OP.射线OP即为NAOB的平分线.

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤”L

(2)小军作图得到的射线OP是/AOB的平分线吗？请判断并说明理由.

(3)如图3,已知乙4。8=60°,点E,尸分别在射线OA,08上，且。E=。产=技1.点

C,。分别为射线04,08上的动点，且OC=O。，连接。E,CF,交点为P,当/CPE

=30°时，直接写出线段OC的长.

10.(2017•河南)如图，在等边三角形ABC中，AC=4,点。，E分别是边AC,BC的中

点，点Q,E同时沿射线。E的方向以相同的速度运动，某一时刻分别运动到点M,N处,

连接CM,CN,AM,BN.

(1)写出图1中的一对全等三角形；

(2)如图2所示，当点M在线段QE延长线上时，画出示意图，判断(1)中所写的一

对三角形是否仍然全等，并说明理由；

(3)在点。运动的过程中，若△ACM是直角三角形，直接写出此时线段CN的长度.

11.(2020•河南)将正方形A8CD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为a,连

接BB',过点力作OE垂直于直线88,，垂足为点E,连接。B',CE.

(1)如图1,当a=60°时，ADEB'的形状为，连接BD,可求出些一的值

CE

为;

(2)当0°VaV360°且aW90°时，

①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成

立，请说明理由；

②当以点B',E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值.

B'E

如图1,在△OAB和△OCQ中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,连接AC,

8。交于点M.填空：

①此的值为:

BD

②NAM8的度数为

(2)类比探究

如图2,在△Q4B和△0C。中，/AOB=/COO=90°,/04B=/OC£)=30°,连接

AC交B。的延长线于点M.请判断柜的值及N4WB的度数，并说明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将△OCO绕点。在平面内旋转，AC,8。所在直线交于点M,若。£)

=1,OB=H请直接写出当点C与点例重合时AC的长.

B

'B

图1图2备用图

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之三角形和四边形

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

1.（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

A.四条边相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

【考点】菱形的性质；轴对称图形.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案.

【解答】解：A.菱形的四条边相等，正确，不符合题意，

B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，

C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，

D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，

故选：B.

【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的基本性质并能正确分析推理是解题的关

键.

2.（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2

的正方形A8C。的边A3在x轴上，A8的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿

箭头方向推，使点。落在y轴正半轴上点£»'处，则点C的对应点C'的坐标为（）

A.（«,1）B.（2,1）C.（1,«）D.（2,«）

【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；勾股定理.

【分析】由已知条件得到AD1=AD=2,4O=LB=1,根据勾股定理得到OD'=

2

,虹），~2_0=V3，于是得到结论.

【解答】解：=AD=2,

A0=AA8=1,

2

:"0D,=VAD?2-OA2=^

,:C'D'=2,C'D'//AB,

：.C（2,遍），

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是

解题的关键.

3.（2017•河南）如图，在。ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,添加下列条件不能判

定nABCD是菱形的只有（）

A.ACLBDB.AB=BCC.AC=BDD.Nl=/2

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的性质.菱形的判定方法即可一一判断.

【解答】解：A、正确.对角线垂直的平行四边形的菱形.

8、正确.邻边相等的平行四边形是菱形.

C、错误.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形.

。、正确.可以证明平行四边形ABC。的邻边相等，即可判定是菱形.

故选：C.

【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形

的判定方法.

4.（2019•河南）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZD=90°,AD=4,BC=3.分别

以点A,C为圆心，大于上AC长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AO于点F,

交AC于点O.若点。是AC的中点，则CD的长为（)

E

A.2&B.4C.3D.^/lQ

【考点】勾股定理；作图一基本作图；等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形.

【分析】连接FC,根据基本作图，可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出AF

=FC.再根据ASA证明△FOA丝△8OC,那么AF=BC=3,等量代换得到FC=AF=3,

利用线段的和差关系求出FD=AD-AF^\.然后在直角△尸DC中利用勾股定理求出CD

的长.

【解答】解：如图，连接FC,则OE垂直平分AC,

贝ijAF=FC.

'：AD//BC,

：.ZFAO=ZBCO.

在△FOA与△BOC中，

"ZFAO=ZBCO

-OA=OC，

ZAOF=ZCOB

：./\FOA^/\BOC(ASA),

；.AF=8C=3,

；.FC=AF=3,F0=AO-AF=4-3=1.

在△F£»C中，VZD=90°,

ACD2+DF2=FC2,

.".CD2+12=32,

:.CD=2®.

故选：A.

E

胪

【点评】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等

三角形的判定与性质，难度适中.求出C尸与。尸是解题的关键.

5.（2020•河南）如图，在△ABC中，AB=BC=EZBAC=30°,分别以点A,C为圆

心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为（）

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【分析】连接BO交AC于。，根据已知条件得到8。垂直平分AC,求得BOLAC,AO

=C。，根据等腰三角形的性质得到乙4c8=/8AC=30°,根据等边三角形的性质得到

ZDAC=ZDCA=60°,求得A。=8=愿48=3,于是得到结论.

【解答】解：连接BO交AC于O,

\"AD=CD,AB=BC,

垂直平分AC,

：.BDLAC,40=CO,

.•.NACB=NBAC=30°,

\'AC=AD=CD,

...△4C£）是等边三角形，

：.ZDAC=ZDCA=60°,

:.NBAD=NBCD=90°,NADB=NCDB=30°,

,:AB=BC=M，

：.AD=CD=y/^\B=3,

，四边形A8CO的面积=2X£x3X、/§=3«，

故选：D.

【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和

性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.

6.(2020•河南)如图，在△A8C中，ZACB=90Q,边3c在x轴上，顶点A,B的坐标分

别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，

【考点】正方形的性质：坐标与图形变化-平移.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【分析】根据已知条件得到AC=6,OC=2,OB=7,求得BC=9,根据正方形的性质

得至IJDE=OC=OE=2,求得O‘E'=0,C=2,根据相似三角形的性质得到BO'

=3,于是得到结论.

【解答】解：如图，设正方形。‘C'O'E'是正方形OCZJE沿x轴向右平移后的正方

形，

•.•顶点A,8的坐标分别为(-2,6)和(7,0),

：.AC=6,OC=2,08=7,

：.BC=9,

.•四边形OCQE是正方形，

,.DE=OC=OE=2,

'.O'E'=0'C=2,

：E'O'J_BC,

"B0'E'=ZBCA=90",

\E'O'//AC,

•△BO'E'sXBCA,

•E'O'=B0'.

AC-BC

.•-2-1一BO'9

69

:BO'=3,

\OC=7-2-3=2,

,.当点E落在A8边上时，点。的坐标为（2,2）,

方法二：设直线AB的解析式为y^kx+b,

:顶点A,8的坐标分别为(-2,6)和(7,0).

.[-2k+b=6

17k+b=0'

.•N4CB=90°,边8c在x轴上，，C点的坐标为(-2,0),

•.正方形OCQE的边长为2,

-.E(0,2),设点E沿x轴平移后落在48边上的坐标为(a,2),

由尸一全号得,2=货+学

・•〃=4,

当点E落在48边上时，点。的坐标为(2,2),

故选:B.

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确

的识别图形是解题的关键.

二.填空题（共2小题）

7.如图，ZMAN=90a，点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接8C,△

A'8C与aABC关于所在直线对称，点£>,E分别为AC,BC的中点，连接。E并

延长交A'3所在直线于点F,连接A'£当△△'EF为直角三角形时,AB的长为」点

【考点】三角形中位线定理；轴对称的性质；勾股定理.

【专题】推理填空题；分类讨论.

【分析】当△/!'EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当/A，EF=90°时，如图1,根据对称的性质和平行线可得：4C=AE=4,根据直角

三角形斜边中线的性质得：BC=24E=8,最后利用勾股定理可得AB的长；

②当NAFE=90°时，如图2,证明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

【解答】解：当£F为直角三角形时，存在两种情况：

①当/4EF=90°时，如图1,

'BC与△ABC关于BC所在直线对称，

."C=4C=4,ZACB=ZA'CB,

:点。，E分别为AC,BC的中点,

：.D.E是△ABC的中位线，

J.DE//AB,

：・NCDE=NMAN=9U°,

:・NCDE=ZA'EF,

：.ZACB=ZA'EC,

l

：.ZA'CB=ZAECf

・・・AC=A'E=4,

8△4C8中，YE是斜边BC的中点，

・・・8C=2A'E=8,

222

由勾股定理得：AB=BC-AC9

：・AB=\82_42=4我;

②当NA'FE=90°时，如图2,

VZADF=ZA=ZDFB=90°,

/.ZABF=90°,

「△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称,

AZABC=ZCBA,=45°,

:•△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC=4；

综上所述，A8的长为4y或4；

故答案为：4。^或4；

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形

的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题.

8.（2020•河南）如图，在边长为2圾的正方形ABCD中，点E,尸分别是边AB,8C的中

点，连接EC,FD,点G,H分别是EC,尸。的中点，连接G",则G”的长度为1.

【考点】全等三角形的判定与性质：勾股定理：正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.

（分析】方法一:连接CH并延长交AD于P,连接PE,根据正方形的性质得到N4=90°,

AD//BC,AB=AO=8c=2。5，根据全等三角形的性质得到PD=CF=M，根据勾股定

理和三角形的中位线定理即可得到结论.

方法二：设。凡CE交于O,根据正方形的性质得到NB=/r>CF=90°,BC=CD=AB,

根据线段中点的定义得到BE=CF,根据全等三角形的性质得到CE=DF,NBCE=N

CDF,求得OFLCE,根据勾股定理得到CE=DF=q6⑥2+2=万,点G,

H分别是EC,PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：方法一：连接CH并延长交AZ）于尸，连接尸E,

•.•四边形ABC。是正方形，

AZA=90°,AD//BC,AB=AD=BC=2^

,:E,尸分别是边A8,8c的中点,

AE=CF=/X2料=如，

'JAD//BC,

:.NDPH=NFCH,

:2DHP=NFHC,

,:DH=FH,

:ZDH乌△CFH(A4S),

：.PD=CF=y/2>

:.AP=AD-PD=®,

P£=VAP2+AE2=V(V2)2+(V2)2=2

•.•点G,”分别是EC,CP的中点，

.•.G”=&P=1；

2

方法二：设。F,CE交于0,

:四边形A8CZ)是正方形，

:.NB=NDCF=90°,BC=CD=AB,

•点E,尸分别是边AB,BC的中点，

:.BE=CF,

:.△CBEmADCF(SAS),

：.CE=DF,NBCE=NCDF,

VZCDF+ZCFD=90°,

:.NBCE+NCFD=90°,

：.ZC0F=90°,

：.DF±CE,

；•CE=DF=d(2&)2+(&)2=VT5,

•.•点G,，分别是EC,PC的中点，

：.CG=FH=J^-,

2

；NDCF=90°,C0±DF,

：.ZDCO+ZFCO=ZDCO+ZCDO=90°,

:・/FCO=/CDO,

9：ZDCF=ZCOF=90Q,

：./\COF^/\DOC,

ACF=OF,

**DFCF，

:.C产=0尸•。尸，

...np-CF2-（V2）2-VW

DFV105

QH^,0£）=Wlo.,

105

VZCOF=ZCOD=90°,

:.△COFs^DCF,

••---O-F--=:--O-C-,

OCOD

：.Od=OF*OD,

OG=CG-0C=^^--2vl^=2/1^,

2____5_10

'"G={OG240H2=梏*=\,

故答案为：1.

9：

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别

图形是解题的关键.

三.解答题（共4小题）

9.（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请

仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,（1）分别在射线OA,OB上截取OC=。。，OE=OF（AC,E不重合）;

（2）分别作线段CE,OF的垂直平分线/1,12,交点为P,垂足分别为点G,H；（3）

作射线。尸，射线OP即为NAQB的平分线.

简述理由如下：

由作图知，NPGO=/PHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtZXPGOgRtZXP”。，

则/POG=NPOH,即射线OP是NA03的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,（1）

分别在射线0A,上截取0C=。。，0E=0尸（点C,E不重合）；（2）连接DE,CF,

交点为P;（3）作射线0P.射线0P即为NA08的平分线.

（2）小军作图得到的射线0P是/A08的平分线吗？请判断并说明理由.

（3）如图3,已知/AOB=60°,点E,尸分别在射线0A,。8上，且0匹=。/=心1.点

C,。分别为射线0A,08上的动点，KOC=OD,连接。E,CF,交点为P,当NCPE

=30°时，直接写出线段OC的长.

【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；应用意识.

【分析】（1）由作图得，NPGO=NPHO=90°,OG=OH,OP=OP,可知RtAPGO

会n△P”。的依据”L；

（2）由作图得，OC=OC,OE=OF,再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明△

DOEQCOF、/\CPE^/\DPF.从而得至【JNPOE=NPOR所以。尸

是NAOB的平分线；

（3）连接OP,由已知条件可证明NOPC=NOCP=75°,从而得OP=OC,再过点P

作OA的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系求出OC的长.

【解答】解：(1)如图1,由作图得，OC=OD,OE=OF,PG垂直平分CE,PH垂直

平分。F,

:.NPGO=NPHO=90°,

OE-OC=OF-OD,

：.CE=DF,

vCG=ACE,DH=LDF,

22

：.CG=DH,

OC+CG=OD+DH,

:.OG=OH,

"：OP=OP,

；.RtAPGO注RtAPHO(HL),

故答案为：⑤.

(2)射线OP是NAOB的平分线，理由如下：

如图2,VOC=OD,ZDOE=ZCOF,OE=OF,

.•.△OOE丝△CO尸(SAS),

：.ZPEC^ZPFD,

；NCPE=NDPF,CE=DF,

.".△CPfi^ADPF(AAS),

：.PE=PF,

VOE=OF,NPEO=NPFO,PE=PF,

:.△OPE^AOPF(SAS),

Z.ZPOE=ZPOF,即ZPOA=ZPOB,

射线OP是NAOB的平分线.

(3)如图3,OC<OE,连接OP,作PM_LO4,则/PMO=/PME=90°,

由(2)得，OP平分NAOB,ZPEC=ZPFD,

：.ZPEC+300=ZPFD+300,

VZAOB=60Q,

：.ZPOE=ZPOF^^ZAOB=30°,

2

：/CPE=30°,

ZOCP=ZPEC+ZCPE=ZPEC+300,ZOPC=ZPFD+ZPOF=ZPFD+300,

：.ZOCP=ZOPC=1.(180°-ZPOE)=Ax(180°-30°)=75°,

22

：.OC=OP,ZOPE=75°+30°=105°,

・・・NOPM=90°-30°=60°,

：.ZMPE=105°-60°=45°,

ZMEP=90°-45°=45°,

；・MP=ME,

设则OM=MP・tan60°=正优，

由OE=J§+1,得m+J0%=«+1,解得〃?=1,

：.MP=ME=\,

：.OP=2MP=2,

JOC=OP=2；

如图4,OOOE,连接OP,作PMJLOA,则/PMO=NPMC=90°,

同理可得，ZPOE=ZPOF=^ZAOB=30°,ZOEP=ZOPE=15°,NOPM=60°,

2

ZMPC=ZMCP=45°,

・•・OE=OP=4^-\,

MC=MP=-1OP=』OE=丫々+1,

222_

.•・OM=MP・tan600=返ilx丘士运

22

OC=OM+MC=3+^+6+1=2+西

22

综上所述，OC的长为2或2+“.

oDB

图4

A

图3

【点评】此题重点考查角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数

值、解直角三角形、二次根式的化简等知识与方法，根据三角形全等的判定定理证明三

角形全等是解题的关键，解第（3）题需作辅助线构造含特殊角的直角三角形，且需要分

类讨论，求出所有符合条件的值.

10.（2017•河南）如图，在等边三角形ABC中，AC=4,点D,E分别是边4C,BC的中

点，点D,E同时沿射线QE的方向以相同的速度运动，某一时刻分别运动到点M,N处,

连接CM,CN,AM,BN.

（1）写出图1中的一对全等三角形；

(2)如图2所示，当点"在线段DE延长线上时，画出示意图，判断(1)中所写的一

对三角形是否仍然全等，并说明理由；

(3)在点。运动的过程中，若△ACM是直角三角形，直接写出此时线段CN的长度.

【考点】三角形综合题.

【专题】三角形.

【分析】(1)根据全等三角形的判定得出即可；

(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定解答即可：

(3)根据直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：(1)全等三角形有：AADM经/\CEN；△COM四△BEN；△ACM丝△CBM

(2)全等，以△(?£■村为例，理由如下:

•••△ABC为等边三角形,

：.CA=CB,ZACB=60°,

•.•点。，£分别为AC,BC的中点,

:.CD=AD=1AC,CE=^BC,

22

：.CD=CE=AD,

VZACB=60°,

•**/\CDE是等边二角形,

：.ZCDM=ZCED=60o,

ZADM=ZCEN=120°,

•：DM=EN,AD=CEf

：.AADM^ACEN(SAS)；

(3)当△ACM是直角三角形时，当NACM=90°时，CN=AM=24i；

当N4MC=90°时，CW=AM=2加,

故综上所述，C7V的值为2y或21.

【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定

和性质解答.

11.(2020•河南)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至，记旋转角为a,连

接88,，过点。作OE垂直于直线8B',垂足为点E,连接OB',CE.

(1)如图1,当a=60°时，△OE8'的形状为等腰直角三角形，连接8。，可求出

理二的值为—以；

CE

(2)当0°<a<360°且a790°时，

①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成

立，请说明理由；

②当以点夕，E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出—心的值.

BzE

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力.

【分析】(1)由旋转的性质得出AB=AB',NBA8'=60°,证得△ABB，是等边三角形，

可得出是等腰直角三角形.证明△8。8s得出些二典、乃.

(2)①得出NEOB'=/EB7)=45°,则△OEM是等腰直角三角形，得出证

DE

明AB'DBsAEDC,由相似三角形的性质可得出BB'=BD7^.

CECD。N

②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案.

【解答】解：(1)如图1,

D

E

--------------*C

图1

TAB绕点A逆时针旋转至A次，

：.AB=AB\NBAB=60°,

•••△AB8是等边三角形，

/.ZBB'A=60°,

AZDAB'=ZBAD-ZBAB'=90°-60°=30°,

,,

\AB=AB=AD9

：.ZAB'D=ZADB\

：.ZAB'Z>=1800~30°=75°，

2

...N£)BE=180°-60°-75°=45°,

■:DELB'E,

.•./8£>E=90°-45°=45°,

...△OE8是等腰直角三角形.

:四边形ABC。是正方形，

：.ZBDC^45°,

,♦,B前D一增厂’

同理里工坛，

DE

•BDBzD

"DC=DE

:NBDB'+NB，DC=45°,ZEDC+ZB'DC=45°,

：.ZBDB'=ZEDC,

.♦.△BDB'sACDE,

•BB，BD一二

CE=DC

故答案为：等腰直角三角形，至二〜后.

CE弋2

(2)①两结论仍然成立.

证明：连接8£>,

：AB=AB',ZBAB'=a,

*.ZAB'B=9O0--,

2

：ZB'AD=a-90°,AD=AB',

,.乙4B7)=135°-

2

\ZEB'D=NAB'D-NAB"135_£")=45。,

：DEX.BB',

:NEDB'=NEB，D=45°,

..△OEM是等腰直角三角形,

•DB?r-

.•四边形48C£>是正方形，

•.现"用，NBDC=45°,

CD

•BD=DB'.

"CD=DE

；NEDB'=NBDC,

：.ZEDB'+ZEDB=ZBDC+ZEDB,

即NB'£>B=NEDC,

:.△B，DBS/\EDC,

Z

•BBBDr

②-理.=3或1.

B'E

如图3,若CO为平行四边形的对角线,

点B在以A为圆心，AB为半径的圆上，取C。的中点.连接8。交OA于点

过点D作DELBB”交B8的延长线于点E,

由（1）可知△比EQ是等腰直角三角形,

:.B'D=4QP'E,

由（2）①可知△BOB'S△CDE,且8£=&CE.

B+B'E=X+|=返生+]=、历B'D+|=&x亚+1=3.

BzEB'EBzEB'EB'E

若CO为平行四边形的一边，如图4,

图4

点E与点A重合，

•BE-

B'E

综合以上可得BE=3或i.

B'E

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，

旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相

似三角形的判定与性质是解题的关键.

12.（2018•河南）（1）问题发现

如图1,在△0A8和△OCQ中，0A=08,OC=OD,/AOB=NCOQ=40°,连接AC,

BD交于点、M.填空：

①柜的值为1；

BD

②/AM8的度数为40°.

(2)类比探究

如图2,在△OAB和△OCQ中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接

4c交8。的延长线于点M.请判断处的值及/AM8的度数，并说明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将△OCO绕点。在平面内旋转，AC,8。所在直线交于点M,若OD

=1,。8=被，请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

图1图2备用图

【考点】三角形综合题；旋转的性质.

【专题】几何综合题.

【分析】(1)①证明△COA名△DOB(&4S),得AC=8。，比值为1；

②由△C。4g/XOOB,得/C40=/£>80,根据三角形的内角和定理得：ZAMB=180°

-(ZDBO+ZOAB+ZABD}=40°；

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOCs则旭江=正，由全等三角

BD0D

形的性质得NAMB的度数；

(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4,同理可得：△AOC

s^BOD,则NAMB=90°,柜■、用，可得AC的长.

BDr3

【解答】解：(1)问题发现

①如图1,VZAOB=ZCOD=40°,

：.ZCOA=ZDOB,

・：OC=OD,OA=OB,

.,.△COA^ADOB(SAS),

：.AC=BD,

•・A•C_iif

BD

②'：△COA@l\DOB,

：.ZCAO^ZDBO,

VZAOB=40°,

：.ZOAB+ZABO=\40°,

在△AM8中，NAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+AABD)=180°-(ZDBO+ZOAB+

ZABD)=180°-140°=40°,

故答案为：①1;②40°；

(2)类比探究

如图2,迫=如,ZAMB=90Q,理由是：

BD

RtZ\C。。中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

•0D+如

_=

••T7Ttan30二门'

0C3

同理得：ee=tan30。二巨，

0A3

•ODOB

••-二一，

OCOA

；NAOB=NCOO=90°,

NAOC=NBOD,

△AOCS/XB。。，

...空①=遍，NCAO=NDBO,

BDOD

在△AMB中，ZAMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)

=90。；

(3)拓展延伸

①点C与点M重合时，如图3,同理得：△AOCSZ\B。。，

AZAMB=90°,£、行，

BD°s

设BO=x,则4C=Q,

RtZ\C。。中，ZOCD=30°,0D=\,

:.CD=2,BC=x-2,

RtAAOB中，ZOAB=30°,OB=y[j,

：.AB=2OB=247,

在RtZXAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2^AB2,

(V3X)2+(X-2)2=(24产

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

xi=3,X2=-2,

：.AC=3^

②点C与点M重合时，如图4,同理得：ZAMB=90°,&

BD

设BD=x,则AC=V3r,

在RtZXAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(ax)2+(x+2)2=(2⑺2

f+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

xi=-3,%2=2,

・・・AC=2«；

综上所述，AC的长为3会或2y.

D

图4B

【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变

换问题，解题的关键是能得出：△AOCS^BOD,根据相似三角形的性质，并运用类比

的思想解决问题，本题是一道比较好的题目.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵

坐标有关，到），轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

2.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

3.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中

任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

4.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相

等、角相等的重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、

底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，

有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖

全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

5.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

(2)此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的

相关问题中常用来求边的长度和角的度数.

(3)注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理，非直角三角

形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30。的角所对的直角边，点明斜边.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长