2024-2025学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式学案含解析新人教A版选修4-5

PAGE3三个正数的算术­几何平均不等式考纲定位重难突破1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用三个正数的算术－几何平均不等式解决简洁的实际问题.重点：1.了解三个正数的算术－几何平均不等式．2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．难点：会用不等式解决实际中的应用问题.授课提示：对应学生用书第6页[自主梳理]一、三个正数的算术—几何平均不等式1．假如a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3：假如a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．二、基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．[双基自测]1．已知a，b，c为正数，则eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)有()A．最小值3 B．最大值3C．最小值2 D．最大值2解析：∵a，b，c∈R＋，∴eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)≥3eq\r(\f(a,b)·\f(b,c)·\f(c,a))＝3，故选A.答案：A2．已知a，b，c>0，则(eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a))(eq\f(b,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c))≥____________.解析：(eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a))(eq\f(b,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c))＝3＋eq\f(bc,a2)＋eq\f(ac,b2)＋eq\f(ab,c2)＋eq\f(a2,bc)＋eq\f(b2,ca)＋eq\f(c2,ab)≥3＋6eq\r(6,\f(bc,a2)·\f(ac,b2)·\f(ab,c2)·\f(a2,bc)·\f(b2,ca)·\f(c2,ab))＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号．答案：93．函数y＝x＋eq\f(1,2x2)(x>0)的最小值为________．解析：∵x>0，y＝x＋eq\f(1,2x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(1,2x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)×\f(x,2)×\f(1,2x2))＝eq\f(3,2)，∴函数y＝x＋eq\f(1,2x2)的最小值为eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)授课提示：对应学生用书第6页探究一用平均不等式证明不等式[例1]设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f(1,a＋c)))≥eq\f(9,2).[证明]∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3eq\r(3,a＋bb＋cc＋a)>0，eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋c)≥3eq\r(3,\f(1,a＋b)·\f(1,b＋c)·\f(1,a＋c))>0，∴(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f(1,a＋c)))≥eq\f(9,2).当且仅当a＝b＝c时，等号成立．三个正数的算术－几何平均不等式定理，是依据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以干脆应用比较法证明，只是在具备条件时，干脆应用该定理睬更简便．若不干脆具备“一正、二定、三相等”的条件，要留意经过适当的恒等变形后再运用定理证明．连续多次运用平均不等式定理时要留意前后等号成立的条件是否保持一样．1．已知a，b，c∈R＋，证明：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＋\f(1,c2)))(a＋b＋c)2≥27.证明：因为a，b，c∈R＋，所以a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)>0.所以(a＋b＋c)2≥9eq\r(3,a2b2c2).又eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)≥3eq\r(3,\f(1,a2b2c2))>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＋\f(1,c2)))(a＋b＋c)2≥3eq\r(3,\f(1,a2b2c2))·9eq\r(3,a2b2c2)＝27.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＋\f(1,c2)))(a＋b＋c)2≥27.探究二用平均不等式求最值[例2](1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)(1<x<eq\f(3,2))的最大值；(2)求函数y＝x＋eq\f(4,x－12)(x>1)的最小值．[解析](1)∵1<x<eq\f(3,2)，∴3－2x>0，x－1>0，y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤(eq\f(x－1＋x－1＋3－2x,3))3＝(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x等号成立，即x＝eq\f(4,3)∈(1，eq\f(3,2))时，ymax＝eq\f(1,27).(2)∵x>1，∴x－1>0，y＝x＋eq\f(4,x－12)＝eq\f(1,2)(x－1)＋eq\f(1,2)(x－1)＋eq\f(4,x－12)＋1≥3eq\r(3,\f(1,2)x－1·\f(1,2)x－1·\f(4,x－12))＋1＝4，当且仅当eq\f(1,2)(x－1)＝eq\f(1,2)(x－1)＝eq\f(4,x－12)，即x＝3时等号成立，即ymin＝4.用平均不等式求最值的条件(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式，要留意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值．其中定值条件确定着平均不等式应用的可行性，获得定值须要肯定的技巧，如：配系数、拆项、分别常数、平方变形等．(3)当不具备运用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．解析：∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)x＋y≥3eq\r(3,\f(1,4)x2y)＝3eq\r(3,\f(1,4)×4)＝3，当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(x,2)＝y时等号成立．又∵x2y＝4.∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.探究三平均不等式的实际应用[例3]如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中心上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍旧是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝keq\f(sinθ,r2)，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么原委应当怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？[解析]∵r＝eq\f(2,cosθ)，∴E＝k·eq\f(sinθcos2θ,4)(0<θ<eq\f(π,2))，①∴E2＝eq\f(k2,16)·sin2θ·cos4θ＝eq\f(k2,32)·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤eq\f(k2,32)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos2θ＋2sin2θ＋cos2θ,3)))3＝eq\f(k2,108)，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝eq\f(1,2)，tanθ＝eq\f(\r(2),2)，∴h＝2tanθ＝eq\r(2)，即h＝eq\r(2)时，E最大．∴灯的高度h为eq\r(2)时，才能使桌子边缘处最亮．1．实际问题，应找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，且依据题意注明自变量的取值范围．如本例得到的关系式及范围．2．把问题转化为求函数的最值问题．依据函数关系式的特点配凑成可以用平均不等式的形式．如本例通过平方凑成和为定值．3．若符合条件“一正、二定、三相等”即可干脆求解．如本例三个条件均满意，故可求出灯的高度．3．已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．解析：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相像三角形的性质可得eq\f(H－h,H)＝eq\f(r,R)，∴r＝eq\f(R,H)(H－h)．∴V圆柱＝πr2h＝eq\f(πR2,H2)(H－h)2h(0<h<H)．依据平均不等式可得V圆柱＝eq\f(4πR2,H2)·eq\f(H－h,2)·eq\f(H－h,2)·h≤eq\f(4πR2,H2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(H,3)))3＝eq\f(4,27)πR2H.当且仅当eq\f(H－h,2)＝h，即h＝eq\f(1,3)H时，V圆柱最大＝eq\f(4,27)πR2H.因构造定值时拆分不合理致误[典例]当x>0时，求y＝x2＋eq\f(3,x)的最小值．[解析]∵x>0，∴y＝x2＋eq\f(3,x)＝x2＋eq\f(3,2x)＋eq\f(3,2x)≥3eq\r(3,x2·\f(3,2x)·\f(3,2x))＝3eq\r(3,\f(9,4)).当且仅当x2＝eq\f(3,2x)，即x＝eq\r(3,\f(3,2))时，ymin＝3eq\r(3,\f(9,4)).[规律探究]应用均值不等式求最值时，往往须要通过拆分构造定值条件，这时若需把其中一项拆分成两项时，需平均拆分，只有确定拆分的两项相等，才有可能使最终的等号成立，最值才能取到.[随堂训练]对应学生用书第8页1．函数f(x)＝3x＋eq\f(12,x2)(x>0)的最小值为()A．8 B．9C．10 D．11解析：∵x>0，∴f(x)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2)x＋eq\f(12,x2)≥3eq\r(3,\f(3,2)2×12)＝9.当且仅当eq\f(3,2)x＝eq\f(12,x2)，即x＝2时，f(x)min＝9.答案：B2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3eq\r(3,6) B．2eq\r(2)C．12 D．12eq\r(3,5)解析：∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z≥3eq\r(3,2x·4y·8z)＝3eq\r(3,2x＋2y＋3z)＝3eq\r(3,26)＝12，当且仅当x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝eq\f(2,3)时，等号成立．答案：C3．若a>b>0，则a＋eq\f(1,a－bb)的最小值为________．解析：∵a>b>0，∴a－b>0.∴a＋eq\f(1,a－bb)＝(a－b)＋b＋eq\f(1,a－bb)≥3eq\r(3,a－b·b·\f(1,a－bb))＝3，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝b,b＝\f(1,a－bb)))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b,b3＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1))时等号成立，∴当a＝2，b＝1时原式有最小值3.答案：34．设三角形三边长为3,4,5，P