2020-2021年人教版八年级数学下勾股定理优生辅导训练题含答案

人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》优生辅导训练题

1.为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，学校计划在空

地上种植草皮，经测量，ZADC=90°,CD=3米，AD=4米，AB=\?＞米，BC=

12米.

(1)求出空地A8CO的面积.

(2)若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？

2.如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△

ABC的顶点都在格点上.

(1)通过计算判断aABC的形状.

(2)ZVIBC的面积为.

(3)求A8边上的高.

3.如图，已知A8=10,BC=24,CD=26,D4=20,ABLBC,求四边形ABC。的面

4.四边形ABC。中，A3=12,BC=3,CO=4,AO=13,ZC=90°.

(1)求证：ZABD=90°；

(2)求四边形A8CO的面积.

1

D

5.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面

CD）,升起云梯到火灾窗口8.已知云梯A8长17米，云梯底部距地面的高1.5

米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？

6.如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，

该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木

质平台的主视图.小敏经过现场测量得知：CO=1米，40=15米，于是小敏大胆猜

想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，

如果错误，请求出立柱AB段的正确长度.

7.随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品.某防疫物品储藏室的截面是由

如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCO,上面是半圆形，其中AB=1.8,〃,

BC=2m,一辆装满货物的运输车，其外形高23”，宽16",它能通过储藏室的门吗？

请说明理由.

2

8.如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒ABCD,竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽AB

还要长2c”，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘A8距离为6c〃?，求铅笔盒的宽

AB的长度.

9.如图，在四边形ABCD中，AB=lcm,AD=24cm,ZBAD=90°,BC=20m,CD

—15cm.

(1)连接BD,求8。的长;

(2)求四边形ABC。的面积.

10.如图，学校有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE

和△E0C,分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉.经测量，NEDC=

90°,DC=6m,CE=10m,BD=]4m,AB=]6m,AE=2m.

(1)求OE的长；

(2)求四边形的面积.

3

A

11.如图，一棵高10加的大树倒在了高8〃?的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，

如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题.

(1)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m,那么大树的另一端点是否也向左滑动

了2m?说明理由，

(2)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am,那么大树的另一端点是否也向左滑动

了am?说明理由.

12.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=\Ocm,AC=6cm,动点P从点B出发沿

射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.

(1)求8c边的长；

(2)当△A8P为直角三角形时，求f的值；

(3)当AABP为等腰三角形时，求f的值.

13.如图，铁路上A,8两点相距23h”,C,。为两村庄，DAIAB^A,于5,

已知£H=15hw,CB=8km.现在要在铁路A8上建一个土特产品收购站E,使得C,

D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

4

14.阅读下面的情景对话，然后解答问题:

(1)①根据“奇异三角形”的定义，请判断小红提出的命题是否正确，并填空

(填“正确”或“不正确”)；

②若某三角形的三边长分别是2、4、710,则该三角形(是或不是)奇异三

角形；

(2)若RtAABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2&,则第三边边长为；

且此直角三角形的三边之比为(请按从小到大排列，不得含有分母)；

(3)在RtZ\A8C中，ZACB=90°.AB=c,AC=b,BC=a,且若

是奇异三角形.求a：b：c.

15.如图，距学校A的正南方向240机的8处有一列火车，且该火车正以80w/s的速度

沿北偏东30°的方向往C移动，火车在行进的过程中发出巨大的噪音，若火车周围

200,”以内认为受到噪音的影响，请问：

(1)该学校是否受到噪音影响？请说明理由；

(2)若会受到噪音影响，求噪音影响该学校的持续时间有多长？

B

5

16.已知点A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3).

(1)求A,8两点之间的距离；

(2)求点C到x轴的距离；

(3)求三角形ABC的面积；

(4)观察线段A3与x轴的关系，若点。是线段AB上一点(不与A,B重合)，则

点D的坐标有什么特点？

17.如图，建筑物BC上有一个旗杆A8,小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度,

测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树”，小芳沿CQ后退，发

现地面上的点E、树顶尸、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的

点G、树顶尸、建筑物顶端8恰好在一条直线上，已知旗杆AB=3米，/。=4米，

OE=5米，EG=1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上,

AC.F£＞均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高8C.

6

18.在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b.如图1,若/C=90°时，根据勾股定理有

(1)如图2,当△A8C为锐角三角形时，类比勾股定理，判断/+必与02的大小关

系，并证明；

(2)如图3,当aABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与C2的大小关

系，并证明；

(3)如图4,一块四边形的试验田A8C。，已知NB=90°,A8=80米，8c=60米，

CD=90米，AO=UO米，求这块试验田的面积.

A

图1图2图3图4

19.如图，在aABC中，AB=AC,8c=15,。是48上一点，BD=9,CD=12.

(1)求证：CDLAB；

20.如图，在四边形A8CO中，NA8C=9()°,A8=6,BC=8,CD=10,AO=10j，.

(1)求四边形ABC。的面积.

(2)求对角线3。的长.

7

21.如图，小东将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到

离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度.

22.如图，秋千。4静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（E3

=10尺），此时踏板升高离地五尺（8。=5尺），求秋千绳索（OA或。8）的长度.

23.如图，湖的两岸有A,B两点,在与A3成直角的8c方向上的点C处测得AC=6（）

米，8C=48米.

（1）求A,B两点间的距离；

（2）求点3到直线AC的距离.

24.如图，某工厂A到直线公路/的距离AB为3千米，与该公路上车站。的距离为5

千米，现要在公路边上建一个物品中转站C,使CA=C。，求物品中转站与车站之间

的距离.

8

25.如图，武汉市七一中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化

施工，已知AB=3米，BC=4米，ZAfiC=90°,A£>=12米，C£>=13米，学校欲

在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费

多少元？

26.一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港

口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘

船的航行方向.

27.去年某省将地处4、8的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、8两地师生

的交往，学校准备在相距2切?的A、6两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，

如所示图中的线段48）,经测量，在A地的北偏东60°方向、8地的北偏西45°方

向的C处有一半径为0.1km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，

为什么？

9

参考答案

1.解：（1）连接AC,

在Rt/XACO中，AC2=CD2+Af)2=32+42=52,

在△A8C中，AB2=132,8(5=122,

而52+122=132,

即AC2+BC2=AB2,

-8=90°,

S四边形148co=SAACB-S/\ACD——C*BC-1AD*CD

22

=JLX5X12-」X4X3=24(ZM2).

22

(2)需费用24X300=7200(元)，

答：总共需投入7200元.

2.解：(1)ZXABC是直角三角形，

理由：VA(-1,5),8(-5,2),C(-3,1),

：.AB=d32+42=5,BC={12+22=5/^,AC=yj2^+

.".AC2+8(^=(2遥)2+(旄)2=25=AB1,

...△ABC是直角三角形，Z/lCB=90o；

(2)..•△A5C是直角三角形，NACB=90°,

S^ABC=-1AC・BC=工X2泥X旄=5.

22

故答案为：5；

(3)设A8边上的高为〃，

则SA/1BC=—X5/7=5,

2

：.h=2,

...AB边上的高为2.

10

3.解：连接AC,过C作CEJ_A。于E,

VABIBC,

AZB=90°，

在RtZ\ABC中，由勾股定理得：AC={BC2+AB2=6,2+102=26,

VCD=26,

：.AC=CD,

"：DA=20,CELAD,

.•.A£=DE=LO=1（）,

2

由勾股定理得：CE=（AC2-AE2=,2-102=2%

...四边形ABCD的面积是S=SAABC+SAACZ>=^-X10X24+J-X20X24=360.

22

4.解：（1）VZC=90°,BC=3,8=4,

BD=VBC2-K：D2=VS2+42=5'

在△A3。中，：AB2+B£>2=122+52=144+25=169=A。2，

...△A3。是直角三角形，ZABD=9Q°；

（2）由图形可矢口：S四边形A8CO=SZ\A5O+SA5CD

B£）+」BUCZ）=JLX12X5+工X3X4=30+6=36.

2222

5.解：VAC±BC,

ZACB=90°；

根据勾股定理，得

BC=V172-82=15（米），

/.BD=15+1.5=16.5（米）；

答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米.

6.解：不正确；

11

理由：如答图，延长PC交AB于点G,

贝CGJ_A8,AG=C£)=1米，GC=A£>=15米，

设3G=x米，则8C=(26-1-x)米，

在RtABGC中，

VBG2+CG2=CB2,

.,.X2+152=(26-1-x)2,

解得x=8,

：.BA=BG+GA=S+}=9(米)，

•••小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米.

7.解：能通过；

理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EP的长

度，

如图，设点。为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，

贝UOP=0.8"?,OE^\m,NOPE=90°,

在RtZ\OPE中，由勾股定理得，E/?2=OE2-0^=1-0.82=0.36,

.•."=0.6(w),

.,.£F=0.6+1.8=2,4Cm),

V2.4>2.3,

.•.运输车通过储藏室的门.

12

8.解：设铅笔盒的宽A3的长度为xc/n,则笔长为（x+2）cm,

根据题意得，X2+62=（X+2）2,

解得：x=8,

答：铅笔盒的宽A3的长度8cm.

9.解：（1）连接8D,

•:AB=1cm,A。=24cm,ZBAZ)=90°,

B£>=VAB2+AD2=V72+242：=25(C/W);

(2)'：BC=20m,CD=\5cm,BD=25cm,

.,.202+152=252,

.'.BC^+CD^^DB2,

...△38是直角三角形，

，四边形ABCD的面积=/AB・ADVDOBC

=yX7X24+yX20X15=84+150=234(c/n2).

10.解：(1)在RtaEDC中，NEDC=9Q°,DC=6m,CE=Wm,

ED=V102-62=*1'

(2)如图，连接BE,

在Rt/XEBO中，BD=i4m,ED=Sm,

13

BE1=BD^+ED2=142+82=260,

'：AB=\6m,AE=2m,

AB2+AE^=162+22=260,

：.AB2+AE1=BE1,

...△ABE是直角三角形，/A=90°,

**-AB-AE=—16X2=16(").

22

又^BDDE」X14X8=56(/n2).

22

•••四边形ABDE的面积=S^ABE+S^BDE=72(w?).

由题意可知，^ABC是直角三角形，

"：AC=Sm,AB=DE=lQnt,

由勾股定理得，BC=VAB2-AC2=V102-82=6(m),

AD=2m,

：.CD=AC-AD=8-2=6(m),

C£=VDE2-CD2=7102-62=8(W7),

：.BE=CE-BC=8-6=2(w),

.•.大树的另一端点也向左滑动了2m；

(2)不一定，理由如下：

\*AD=am,

：.CD=AC-AD=(8-a)m,

AC£=VDE2-CD2=V102-(8-a)2=V36+16a-a2(/n)

...BE=CE-BC=(V36+16a-a2-6)w'

当时,V36+16a_a2=a，

14

解得：4=2或4=0（舍去），

...只有当。=2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了卬"，那么大树的另一端点也向左

滑动了am.

12.解：(1)在RtAABC中,-Ad=102-62=64,

.\8C=8(c/n)；

(2)由题意知8P=2fc”,

①当/APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=8cm,即f=4；

②当/BAP为直角时，BP=2tcm,CP=(2r-8)cm,AC=6cm,

在RtAACP中,

AP2^62+(2t-8)2,

在RtZ\BA尸中，AB2+AP2=BP2,

即：102+[62+(2t-8)2]=(2f)2,

解得：f=空，

4

故当△A8P为直角三角形时，£=4或/=至；

4

(3)①当时，t=5；

②当AB=AP时，BP=2BC=16cm,f=8；

③当BP=AP时，AP=BP=2tcm,CP=\2t-S\cm,AC=6cm,

在RtzMCP中，AP1=AC1+CP1,

所以(2f)2=62+(2r-8)2,

解得：r=.25,

8

综上所述：当△ABP为等腰三角形时，/=5或f=8或尸空.

图③图④图⑤

15

A

13.解：•.•使得C,。两村到E站的距离相等.

：.DE=CE,

,.•QA_LA8于A,C6_LAB于8,

ZA=ZB=90°,

.,.A£2+A£>2=£)£2,BE2+BC2=EC2,

.'.A^+ADr^BE^+BC2,

设AE=x,贝IJBE=AB-AE=（23-x）,

,：DA=\5km,CB=8km,

/.A152=（23-x）2+82,

解得：x=8,

：.AE=Skm.

答：E站应建在离A站处.

14.解：（1）①设等边三角形的一边为a,则

•••符合“奇异三角形”的定义；

故答案为：正确.

②•••22+42=2X（行）2，

•••符合“奇异三角形”的定义.

故答案为：是.

⑵：22+（2加）2=2X&爪产

.•.第三边的边长为2«；

此直角三角形的三边之比为2：2加：2相=1：圾：加,

故答案为：2M；1：V2：V3.

(3)VZC=90°,

16

则a2+b2=c2',

;□△ABC是奇异三角形，且。>a,

•'.a2+c2=2Z>2,

♦•b=J^p,

.".a：h：c—1：y[2：5/3.

15.解：（1）该学校受到噪音影响，理由如下：

如图：过点A作AOJ_BC,

VZABC=30°,AB=240米，

...AO=120米，

故该学校受到噪音影响；

（2）过点A作AE=AF=200〃?，

由勾股定理得：DE=yJAE2-AD2=,20（）2-1202=160（米）,

则OF=160米，

则E『=320米，

则影响时间：3204-80=4（秒）.

答：噪音影响该学校的持续时间有4秒.

B

16.解：(1)二,点A(-2,3),B(4,3),

二^B=V(-2-4)2+(3-3)2=6；

(2)•.•点C坐标为(-1,-3),

...点C到x轴的距离为|-3|=3；

(3)过C作CO_LAB,

(-2,3),B(4,3),C(4,3),

/.C£>=|-2-4|=6,AB=4-(-2)=4+2=6,

17

.*.SAABC=i4fi*C£>=Ax6X6=i8;

22

(4)VA(-2,3),B(4,3),

.•.A8〃x轴，

•.•点。在线段A8上，

...点。横坐标的范围是-2Vx<4,纵坐标为3.

17.解：由题意可得，ZACF=Z£DF=90°,ZAFC=ZEFD,

，CD=5EC-5,

4

由题意可得，/BCG=NEDG=90°,NBGC=NEGD,

，8C=14,

.•.这座建筑物的高BC为14米.

18.解：（1）a1+h2>c1,

理由如下：过点A作A£），BC于。,

设CD=x,则BD=a-x,

由勾股定理得，b2-x1=AD2,c2-(a-x)2=AD2,

22

：.b2-X=c2

整理得：a2+/?2=c2+2ar,

*/2ar>0,

.*.a2+/>2>c2；

(2)aW<c2,

18

理由如下：作A£J_BC交BC的延长线于E,

设CE=x,

贝(Ic2-(a+x)2=AE1=b2-x2,

整理得：a2+b2=c2-2ax,

*/2ax>09

：.a2+b2<c2；

(3)连接AC,作OF,AC于尸，

由勾股定理得，AC=^AB2+BC2=100,

由(1)可知，AD2-AF^^DC1-CF2,ER1102-(100-CF)2=902-CF2,

解得，C尸=30,

则DF=^j-)Q2_^p2=60-\/2>

•\BD^+CD2=92+122=152=BC2,

88=90°,

CD±AB；

(2)解：-：AB=AC,

：.AC=AB=AD+BD=AD+9,

'：ZADC^90°,

：.AC2=AD2+CD2,

/.(AD+9)2=AD2+122,

:.AD=L,

2

19

，AC=2_+9=空.

22

20.解：⑴连接AC,

VZABC=90°,AB=6,8c=8,

/MC=VAB2+BC2=V62+82=10,

'：CD=W,AZ)=10&,

CD^+AC2=102+102=200,AD2=(10我)2=200,

:.CD2-+AC1=AD2,

...△AC。是直角三角形，

...四边形ABC。的面积是：而'BCAOCD=6X81°X10=24+50=74,

2222

即四边形ABCD的面积是74；

(2)作。8c交8c的延长线于点E,则/。EC=90°,

•..△AC。是直角三角形，ZACD=90°,

：.ZDCE+ZACB=90°,

VZABC=90°,

：.ZCAB+ZACB=90°,

，NDCE=NCAB,

在aABC和△CEO中，

"ZABC=ZCED

<ZCAB=ZDCE>

AC=CD

:.△ABgXCED(AAS),

：.AB=CE,BC=ED,

'：AB=6,BC=8,

：.CE=6,ED=8,

：.BE=6C+CE=8+6=14,

•••B£)=7BE2+ED2=V142+82=2痴.

20

D

21.解：设旗杆的高度为x米，

根据勾股定理，得/+122=(x+4)2,

解得：x=16；

答：旗杆的高度为16米.

22.解：设。4=O8=x尺，

尺，AC=1尺，

.".EA—EC-AC=5-1=4(R).0E=OA-AE=(x-4)尺,

在RtZ\OEB中，0E=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺,

根据勾股定理得：?=(x-4)2+102,

整理得:8x=116,

即2x=29,

解