2025届高考数学一轮复习第九章概率统计与统计案例第六节统计图表用样本估计总体教师文档教案文北师大版

PAGE第六节统计图表、用样本估计总体授课提示：对应学生用书第184页[基础梳理]1．常用统计图表(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，确定组数和组距，组距＝eq\f(极差,组数)；其次步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最终一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．如图：横轴表示样本数据，纵轴表示eq\f(频率,组距)，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．(3)茎叶图的画法：第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；其次步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．2．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但明显它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些状况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点续表数字特征定义与求法优点与缺点平均数假如有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时牢靠性降低(2)标准差、方差①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]).②方差：标准差的平方s2叫作方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中xi(i＝1，2，3，…，n)是样本数据，n是样本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是样本平均数．1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.[四基自测]1．(基础点：频率分布表)某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：日需求量n/件1415161820频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为()A．16件 B．16.2件C．16.6件 D．16.8件答案：D2．(基础点：平均数与方差)甲、乙两名篮球运动员5场竞赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，则下列结论正确的是()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙；乙比甲得分稳定B.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙；甲比乙得分稳定C.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙；乙比甲得分稳定D.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙；甲比乙得分稳定答案：A3．(基础点：样本方差的计算)已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为()A．1 B．2C．3 D．4答案：B4．(基础点：频率分布直方图)某校100名学生期中考试数学成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中a的值为________．答案：0.005授课提示：对应学生用书第186页考点一简洁统计图表的应用挖掘图与表的统计意义/自主练透[例](1)(2024·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入削减B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半[解析]设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a新农村建设前新农村建设后新农村建设后改变状况结论种植收入60%a37%×2a＝74%增加A错其他收入4%a5%×2a＝10%增加一倍以上B对养殖收入30%a30%×2a＝60%增加了一倍C对养殖收入＋第三产业收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2＝116%a超过经济收入2aD对故选A.[答案]A(2)(2024·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的改变规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．依据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，改变比较平稳[解析]依据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是削减，所以A错误．[答案]A(3)某旅游城市为向游客介绍本地的气温状况，绘制了一年中各月平均最高气温柔平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃A．各月的平均最低气温都在0℃B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃[解析]由题图可知，0℃在虚线圈内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；易知B，C正确；平均最高气温高于[答案]D[破题技法]依据统计图表(或图像)分析其意义时(1)明确图表(图像)中各数字的意义及作用．(2)分析数字或图像的改变趋势对实际结果的影响．(3)常常用到的有扇形图、条形图、频率分布直方图、茎叶图、频数(频率)折线图、等势线图等．考点二频率分布直方图及综合应用挖掘1作频率分布直方图/自主练透[例1](2024·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未运用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和运用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未运用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)频数13249265运用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)频数151310165(1)在下图中作出访用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭运用节水龙头后，日用水量小于0.35m3(3)估计该家庭运用节水龙头后，一年能节约多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)[解析](1)如图所示．(2)依据以上数据，该家庭运用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×因此该家庭运用节水龙头后，日用水量小于0.35m3(3)该家庭未运用节水龙头50天日用水量的平均数为－x1＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭运用了节水龙头后50天日用水量的平均数为－x2＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计运用节水龙头后，一年可节约水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．[破题技法]频率、频数、样本容量的计算方法(1)eq\f(fi,Δxi)×Δxi＝fi.(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．挖掘2应用频率分布直方图估计总体/互动探究[例2](1)(2024·山西四校联考)某学校组织学生参与数学测试，成果的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45B．50C．55D．60[解析]∵[20，40)，[40，60)的频率和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是eq\f(15,0.3)＝50.故选B.[答案]B(2)(2024·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C①求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；②分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解析]①由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.②甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.[破题技法]利用频率分布直方图估计样本的数字特征的思路(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应当相等，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．考点三茎叶图及应用挖掘1茎叶图与样本数字特征/自主练透[例1](1)(2024·湖北孝感模拟)某校高三年级10个班参与合唱竞赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值为()12359723a58bA.1 B.eq\f(3,2)C．2 D.eq\f(5,2)[解析]依据茎叶图知，这组数据的平均数是eq\f(1,10)×[12＋13＋15＋19＋17＋23＋(20＋a)＋25＋28＋(20＋b)]＝20，∴a＋b＝8，∴eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))(a＋b)＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9＋\f(9a,b)＋\f(b,a)))≥eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(9a,b)·\f(b,a))))＝2，当且仅当b＝3a＝6时取“＝”，∴eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值为2.故选C.[答案]C(2)(2024·河北石家庄教学质量检测)某学校A、B两个班的爱好小组在一次对抗赛中的成果如茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班爱好小组成果的平均值及标准差．①A班爱好小组的平均成果高于B班爱好小组的平均成果；②B班爱好小组的平均成果高于A班爱好小组的平均成果；③A班爱好小组成果的标准差大于B班爱好小组成果的标准差；④B班爱好小组成果的标准差大于A班爱好小组成果的标准差．其中正确结论的编号为()A．①④ B．②③C．②④ D．①③[解析]A班爱好小组的平均成果为eq\f(53＋62＋64＋…＋92＋95,15)＝78，其方差为eq\f(1,15)×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6，则其标准差为eq\r(121.6)≈11.03；B班爱好小组的平均成果为eq\f(45＋48＋51＋…＋91,15)＝66，其方差为eq\f(1,15)×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2，则其标准差为eq\r(169.2)≈13.24.故选A.[答案]A[破题技法]茎叶图的绘制需留意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不须要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特殊是“叶”的位置上的数据．挖掘2用茎叶图进行总体估计/互动探究[例2](2024·唐山高三年级摸底考试)某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223，228]内(单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品．在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶