2024-2025学年高中数学第一章推理与证明1.1归纳推理课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE第一章推理与证明[A组基础巩固]1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2，n∈N＋)，a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.eq\f(2,n＋12) B.eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(2,2n－1) D.eq\f(2,2n－1)解析：由Sn＝n2·an(n≥2，n∈N＋)可以分别求出a2，a3，a4，然后猜想an，也可以取n为特别值进行验证．答案：B2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大解析：由图可知，三白二黑，为一周期进行排列，因为36＝5×7＋1，则第36颗珠子与第1颗颜色相同，为白色．答案：A3．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2解析：由所给的四项可知第k项的第一个因式为ak－1，最终一个因式为a2k－2.答案：D4．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)，(2) B．(1)，(3)C．(2)，(4) D．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：A表示竖线，B表示大矩形，C表示横线，D表示小矩形，所以A*D是(2)，A*C是(4)，故选C.答案：C5．视察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.规律为从第三组起先，其结果为前两组结果的和．答案：C6．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律接着下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中●的个数是________．解析：由1＋2＋3＋…＋12＝78个白圈，78＋12＝90.依规律再出现13个白圈，所以前100个圈中“●”的个数为12.答案：127．视察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________________________________________．解析：∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．给出若干数：eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，eq\r(5＋\f(5,24))，…，由此猜想第n个数为________．解析：依据已经给出的前4个数的规律，可归纳得第n个数为eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1)).答案：eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1))9．设Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出Sn的结果．解析：当n＝1,2,3,4时，计算原式的值分别为S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，S4＝eq\f(4,5)，视察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母小1，归纳猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1).10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．解析：当n＝1时，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N＋.[B组实力提升]1．甲、乙、丙、丁四位小挚友做换位嬉戏，起先时，甲、乙、丙、丁分别坐在1、2、3、4号座位(如图)．第一次前后排小挚友互换座位，其次次左右列小挚友互换座位，第三次再前后排小挚友互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2016次互换座位后，小挚友丁的座位号是()A．1 B．2C．3 D．4解析：从题中所给换位方法及图示可知，每交换4次回复到起先位置，故第2016次互换座位后与第四次互换座位后相同．答案：D2．视察下列数表规律2→36→710→11↑↓↑↓↑↓0→14→58→912→…则数2015的箭头方向是()A．↑→ B．↓→C．→↑ D．→↓解析：因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2015在上行，则2015＝3＋(n－1)·4⇒n＝504∈N＋.故2015在上行，又因为在上行奇数的箭头为→↓，故选D.答案：D3．已知数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析：由前面的几个数对不难发觉，数对中两数之和为2的有1个，为3的有2个，为4的有3个，…，为11的有10个，则依据数对规律可推出第56个数对为(1,11)，往下的数对依次为(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，(6,6)，….答案：(5,7)4．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，视察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……依据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：分母中x前的系数为2n－1，常数为2n.答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)5．已知a、b为正整数，设两直线l1：y＝b－eq\f(b,a)x与l2：y＝eq\f(b,a)x的交点为P1(x1，y1)，且对于n≥2的自然数，两点(0，b)，(xn－1,0)的连线与直线y＝eq\f(b,a)x交于点Pn(xn，yn)．(1)求点P1、P2的坐标；(2)猜想点Pn的坐标公式．解析：(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝b－\f(b,a)x，,y＝\f(b,a)x，))得P1(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．过(0，b)，(eq\f(a,2)，0)两点的直线方程为eq\f(2x,a)＋eq\f(y,b)＝1，与y＝eq\f(b,a)x联立，解得P2(eq\f(a,3)，eq\f(b,3))．(2)由(1)可猜想Pn(eq\f(a,n＋1)，eq\f(b,n＋1))．6．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)所示，为她们刺绣中最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越美丽；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并依据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解析：(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上述规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))，∴eq\f(1