2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.3.1.2等比数列的性质学案含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE第2课时等比数列的性质必备学问·素养奠基1.假如x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=±QUOTE.2.等比数列的项之间的关系等比数列{an},m,n,p,q∈N+两项关系an=amqn-m三项关系若m+n=2p,则an·am=QUOTE四项关系若m+n=p+q,则am·an=ap·aq等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=QUOTE.3.等比数列的单调性递增数列a1>0q>1a1<00<q<1递减数列a1>00<q<1a1<0q>1当q=1,q<0时,分别是什么数列?提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摇摆数列.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)等比数列{an}中a2·a6=QUOTE. ()(2)若G是a与b的等比中项,则G=QUOTE. ()(3)若a,G,b满意G2=ab,则a,G,b肯定是等比数列. ()提示:(1)×.a2·a6=QUOTE.(2)×.G=±QUOTE.(3)×.如0,0,0满意02=0×0,但不是等比数列.2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________.

【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b=QUOTE=4.答案:43.在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________.

【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,所以a8·a9·a10·a11=102=100.答案:100关键实力·素养形成类型一等比中项及其应用【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-QUOTE,c=3+QUOTE,则b= ()A.2 B.-2 C.±2 2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于 ()A.2 B.4 C.6 【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,则b2=ac=(3-QUOTE)(3+QUOTE)=9-5=4,则b=±2.2.选B.因为an=(n+8)d,又因为QUOTE=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【内化·悟】等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.【类题·通】应用等比中项解题的两个关注点(1)假如出现等比数列两项的乘积时,就要留意考虑是否能转化为等比中项表示;(2)等比中项一般不唯一,但是假如在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.【习练·破】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________.

【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加练·固】已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求QUOTE的值.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d=QUOTE×[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以QUOTE=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.类型二等比数列性质的应用【典例】1.若数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11A.5 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.已知各项都为正数的等比数列{an}满意:a3a7=2QUOTE,a3=1,则a2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【思维·引】1.利用a2a5=a1a62.利用a3a7=QUOTE求出q,进而求出a2.【解析】1.选C.因为数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,且a1<a6,解得a1=4,a6=5,所以q5=QUOTE,a11=a1q10=4×QUOTE=QUOTE.2.选B.各项都为正数的等比数列{an}满意:a3a7=2QUOTE,所以QUOTE=2QUOTE,所以q=QUOTE,因为a3=1,所以a2=QUOTE=QUOTE.【内化·悟】用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?提示:须要用数列项的下标关系,即项数的关系.【类题·通】1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.(2)优缺点:适用面广,入手简洁,思路清楚,但有时运算稍繁.2.利用等比数列的性质解题(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有肯定的思维含量.【习练·破】(2024·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则QUOTE= ()A.5 B.10 C.25 D.5【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q.因为数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5所以QUOTE解得a1=2,q=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=q10=25.【加练·固】(2024·惠州高二检测)已知数列{an}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零点是a1,a5,则a3= ()A.1 B.-1 C.±QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a3>0,且QUOTE=a1·a5=3,所以a3=QUOTE.类型三等比数列的实际应用【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为闻名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最终一个音频率是最初那个音频率的2倍,设其次个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{an},设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=QUOTE,所以QUOTE=q6=(QUOTE)6=QUOTE.【内化·悟】在应用性问题中,推断是否为等比数列模型的关键是什么?提示:关键是看增长(缩减)是否依据同一比例.【类题·通】关于等比数列在应用问题中的应用首先依据题意推断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最终利用等比数列的通项公式计算解题.【习练·破】(2024·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,确定对两种产品的生产线进行升级改造,预料改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过________年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(参考数据:lg2≈0.3010) ()

A.6 B.7 C.8 【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化为:QUOTE>4,取对数可得:n>QUOTE=QUOTE≈QUOTE≈6.2.所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.【加练·固】某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________.

【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为QUOTE=m,所以月平均增长率为QUOTE-1.答案:QUOTE-1类型四等比数列与等差数列的综合应用角度1敏捷设项解题【典例】三个数成等比数列,其积为64,假如第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.【解析】因为三个数成等比数列,设三个数为QUOTE,a,aq,则QUOTE×a×aq=a3=64,所以a=4,所以三个数为QUOTE,4,4q,第一个数与第三个数各减去1为QUOTE-1,4,4q-1,则QUOTE-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或QUOTE,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.【素养·探】在利用等比数列设项解题过程中,经常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.本例中的条件若改为“其积为512,假如第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数【解析】设三个数依次为QUOTE,a,aq,因为QUOTE·a·aq=512,所以a=8.因为QUOTE+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=QUOTE,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.角度2等差、等比数列性质【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,则a2018+b9= ()A.2274 B.2074 C.2226 D.2【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2018+b9.【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,则a2018+b9=1+2017+28=2274.【类题·通】等比数列项的设法(1)三数成等比数列常设成QUOTE,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四个数成等比数列,可设为QUOTE,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为QUOTE,QUOTE,aq,aq3.【习练·破】设公差不为零的等差数列{an}满意a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________.

【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.答案:21【加练·固】已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为________.

【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.答案:2课堂检测·素养达标1.对随意等比数列{an},下列说法肯定正确的是 ()A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为QUOTE=QUOTE=q3,即QUOTE=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.2.已知数列{an}是等比数列,若QUOTE=4,则a5= ()A.2 B.4 C.2QUOTE D.QUOTE【解析】选B.依据题意,数列{an}是等比数列,设其公比为q,若QUOTE=4,则QUOTE=a3q2=a5=4.3.(2024·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= ()A.12 B.24 C.30 【解题指南】依