专题训练：三角形全等的五种常见类型（解析版）

三角形全等的常见类型题型01全等三角形在证明线段和角相等中的应用【典例分析】【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）在四边形中，，，E为的中点，连接，，．

（1）；（填“”“”或“”）（2）．【答案】3【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，即可。（2）延长、交于点F，证明，得出，，求出，证明，得出．本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线定义，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形。【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（2）延长、交于点F，如图所示：

∵，∴，∴，，∵点E为的中点，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：3【例1-2】.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【答案】证明见解析．【分析】连接AC，证明△ABC≌△DCB(SAS)，得出BD=AC，再证，即可△ABD≌△DCA(SSS)．【详解】连接AC，BD在△ABC与△DCB中，{AB=CD∴△ABC≌△DCB(SAS)，BD=AC，在△ABD与△DCA中，{AB=DC∴△ABD≌△DCA(SSS)，∴∠BAD=∠CDA．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键．【变式演练】【变式1-1】.如图，在△ABC中，∠B=∠C，在边BC上顺次取点D，E，使BD=CE．作FD⊥BC，GE⊥BC，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：GB=FC．

【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据BD=CE推出BE=CD，根据FD⊥BC，GE⊥BC，得出∠GEB=∠FDC=90°，结合∠B=∠C，利用ASA证明△BEG≌△CDF，即可得出GB=FC，熟练掌握利用ASA证明三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD，∵FD⊥BC，GE⊥BC，∴∠GEB=∠FDC=90°，在△BEG和△CDF中，∠B=∠CBE=CD∴△BEG≌△CDFASA∴GB=FC．【变式1-2】．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在△ABF与△DCE中，点E，F在线段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求证：∠A=∠D．

【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由“HL”可证Rt△ABF≌【详解】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在Rt△ABF和RtAF=DEBF=CE∴Rt∴∠A=∠D．【变式1-3】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F．(1)当点D在线段上时，证明：；(2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等”证明，再根据“AAS”证明即可；（2）类比（1）的方法证明即可；（3）延长交的延长线于点，利用“ASA”证明即可得证．【详解】（1）证明：，，，，，，，，在和中，，．（2）解：结论成立．，，，，，，，，在和中，，，．（3）证明：如图：如图，延长交的延长线于点，，，，，，，，又E、关于直线对称，，，、、三点共线，由（2）可得，，，，即，，，，，，在和中．题型02全等三角形在证明线段的和差关系中的应用【典例分析】【例2-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．【答案】(1)见解析，见解析；(2)．【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；由得到，，即可求出答案；（）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案，本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴；证明：由（）知：，∴，，∵，∴；（2）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．【例2-2】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）已知四边形中，，点在边上，连接，．(1)如图1，若平分，求证：；(2)如图2，若为中点，求证：平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作的垂线构造全等三角形是解题的关键．（1）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题；（2）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1，过点作于，则，在和中，，，，平分，，在和中，，，，；（2）解：如图2，过点作于，则，在和中，，，，为中点，，，在和中，，，，平分【变式演练】【变式2-1】已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证；（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）DE＝BD＋CE．理由如下：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．【变式2-2】（2023秋•乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，（1）如图①，若，则与的数量关系为，与的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；（3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，；（2）由（1）同理可得，得，，可得答案；（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【解答】解：（1），，，，，，，，故答案为：，；（2），由（1）同理可得，，，；（3）存在，当时，，，；当时，，，，综上：或．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．【变式2-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．

(1)连接交于点，设．①当时，如图1，则______．②当时，如图2，若，求的长．(2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：．【答案】(1)①；②(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件作辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）①证即可求解；②过点作于，证，再证，可求．（2）在上截取，连证，再证，即可求证．【详解】（1）解：①∵，，，∴∵∴∴∴故答案为：②过点作于，如图所示：

∵，，∴∵，∴∵，∴∴，∵，∴∵，∴∴∴（2）解：在上截取，连，如图所示：

∵，，，∴∴，∵，∴∵∴∵∴∴∵题型03全等三角形在证明线段的倍分关系中的应用【典例分析】【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.

【答案】见解析【分析】延长，并交于，证，推出，证推出即可．【详解】证明：延长，并交于，

平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，添加辅助线构造全等三角形是关键．【变式演练】【变式3-1】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明△ABD≌△ACF(ASA)，得出BD=CF，证明△BCE【详解】证明：如图所示，延长CE、BA相交于点F．∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF．又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF∴△ABD∴BD=CF，在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBE∴△BCE∴CE=EF，∴CE=12CF=12【变式3-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）如图，是的角平分线，,，交其延长线于点，求证：【答案】证明见详解【详解】证明：如图延长，，交于点F交其延长线于点是的角平分线在和中，又在和中【变式3-3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C．(1)求证：；(2)如图2，，求证：；(3)如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)的度数为【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；倍长中线法构全等；（1）过A作于N，过B作于M，根据即可证明，再由全等三角形的性质证明即可．（2）在x轴正半轴上截取，连接，则，先证，由全等三角形的性质和同角的补角相等可证，再证，得，进而可证；（3）过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q，先证，可得，再证，可得，进而可得，再由互余关系求解即可．【详解】（1）证明：过A作于N，过B作于M，则，，，在和中，，，，（2）在x轴正半轴上截取，连接，则，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（3）过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q，，，轴，，轴，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，题型04全等三角形在证明线段位置关系中的应用【典例分析】【例4】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论．【答案】，；证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据已知可证得，再根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，据此可证得．【详解】解：，，理由如下：如图所示，设交于点，交于点，，，，，，在与中，，，，，，，【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，F是的中点，连接并延长交于点G．

(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)写出线段与的位置关系，并证明．【答案】(1)，见解析(2)，见解析【分析】（1）延长至H，使，连接．证明．得到，推出．再证明，得到，由此得到结论．（2）由得到，推出，进而得到，证得．【详解】（1）证明：延长至H，使，连接．

∵F是的中点，∴．在和中，∴．∴，∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）．证明：∵，∴．∵，，∴．∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法正确三角形全等，正确掌握三角形全等的判定定理是解题的关键【变式4-2】（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．

(1)如果，，①当点D在线段(不含端点)上时，如图1，则线段与的位置关系是_____②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立?并说明理由．(2)如果，是锐角，点D在线段(不含端点)上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由．【答案】(1)①；②、①中的结论仍然成立，详见解析(2)详见解析【分析】（1）①根据正方形的性质得出，再证明，得出，进而可得出结论；②先证明，再证明，得出，进而可得出结论；（2）当时，，作，先证明，再得出，证明，得出，进而可得出结论．【详解】（1）①正方形中，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即．故答案为：；②、①中的结论仍然成立，证明如下：∵，∴，.即，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）当时，，作，

∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键【变式4-3】（23-24八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；

(1)求证：；(2)求证：．(3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，不发生变化，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键．（1）由条件推出，即可求证；（2）由推出，即可求证；（3）根据证即可求解．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，在和中，∴（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴（3）解：，不发生变化，理由如下：∵，，∴，∴，∴∵∴∵，∴，∵，∴，∴题型05全等三角形在求角的度数中的应用【典例分析】【例5-1】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于．（1）的度数为．（2）若，则线段的长为．

【答案】/120度8【分析】（1）利用，角平分线的定义，即可得出答案；（2）由题中条件可得，进而得出，通过角之间的转化可得出，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【详解】解：（1），，分别平分，，；故答案为：；（2）如图，在上截取，连接．

平分，在和中，，，，，，在和中，，，，．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在上截取，得出是解题关键【例5-2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．

(1)当，时，求的度数；(2)求证：．【答案】(1)(2)详见解析【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可．（1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可；（2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可．【详解】（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∵．（2）由（1）得，，在和中，，∴【变式演练】【变式5-1】（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，已知：，，，，求的度数．

【答案】【分析】先证得到，结合三角形内外角关系求解即可得到答案；【详解】解：在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，答：；【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，三角形内外角关系，解题的关键是根据三角形全等得到角度关系．【变式5-2】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知为的角平分线，延长到E，使得，连接，若，且．(1)求证：平分；(2)求的取值范围；(