2024-2025学年新教材高中数学第3章函数3.1.1第2课时函数的表示方法课后素养落实含解析新人教B版必修第一册

PAGE课后素养落实(二十)函数的表示方法(建议用时：40分钟)一、选择题1．小明骑车上学，起先时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事务吻合得最好的图像是()C[距学校的距离应渐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故选C．]2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5，x≥4，,x－2，x<4，))则f(3)的值是()A．1 B．2C．8 D．9A[f(3)＝3－2＝1．故选A．]3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.故选B．]4．假如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于()A．eq\f(1,x) B．eq\f(1,x－1)C．eq\f(1,1－x) D．eq\f(1,x)－1B[令eq\f(1,x)＝t，则x＝eq\f(1,t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，所以f(x)＝eq\f(1,x－1)(x≠0，且x≠1)，故选B．]5．(多选题)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0，,\r(－x)，x<0，))若f(a)＋f(－1)＝2，则a可以取的值为()A．－3 B．3C．－1 D．1CD[因为f(－1)＝eq\r(－－1)＝1，所以f(a)＝1．(1)当a≥0时，f(a)＝eq\r(a)＝1，所以a＝1．(2)当a<0时，f(a)＝eq\r(－a)＝1，所以a＝－1．综上可知a＝1或－1．]二、填空题6．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥0,\f(1,x)，x＜0))，若f(m)＞m，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1)[由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,\f(1,2)m－1＞m))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0,\f(1,m)＞m))，解得m＜－1．]7．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1))[由题图可知，图像是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,b＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))即f(x)＝x＋1．当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.综上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x＜0，,－x，0≤x≤1.))]8．若一个长方体的高为80cm，长比宽多10cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.]三、解答题9．(1)已知f(x)是一次函数，且满意2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x(2)已知f(x)为二次函数，且满意f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；(3)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋1，求f(x)的解析式．[解](1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1．又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1．(3)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(2)＋2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋3.∴f(x)＝x2＋3(x≠0)．10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x∈[－1，0]，,－\f(1,2)x，x∈0，2，,3，x∈[2，＋∞.))(1)求f(－1)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f(4)的值；(2)求函数的定义域、值域．[解](1)易知f(－1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝－eq\f(3,4)，f(4)＝3.(2)作出图像如图所示．利用数形结合易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1,2]∪{3}．1．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是()A．(0,4] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C[因为y＝x2－3x－4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(25,4)，所以对称轴为直线x＝eq\f(3,2)，当x＝eq\f(3,2)时，y＝－eq\f(25,4).因为x＝0时，y＝－4，由二次函数图像可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤m，,m－\f(3,2)≤\f(3,2)－0，))解得eq\f(3,2)≤m≤3，所以m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).]2．(多选题)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,0，x<0，))则满意不等式xf(x)＋x≤2的x的值有()A．1 B．2C．3 D．－1AD[当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，所以0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，所以x<0.综上可知x≤1．结合选项得AD符合条件．]3．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图像只有一个交点，则a－eq\f(1,2)[在同一平面直角坐标系内，作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图像，如图所示．由题意，可知2a＝－1，则a＝－eq\f(1,2).]4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)若f(x)≥eq\f(1,4)，则x的取值范围为________；(2)f(x)的值域为________．(1)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(2)[0,1][(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，结合此函数图像可知，使f(x)≥eq\f(1,4)的x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1．所以f(x)的值域为[0,1]．]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x<－1，,－x2＋2－1≤x≤2，,3x－8x>2.))(1)请在下列直角坐标系中画出函数f(x)的图像；(2)依据(1)的图像，试分别写出函数f(x)与函数y＝t的图像有2,3,4个交点时，相应的实数t的取值范围；(3)记函数g(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使g(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数g(x)图像上的不动点．试问，函数f(x)图像上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)函数f(x)的图像如图：(2)依据图像可知当－2