2021届 人教a版 平面向量单元测试

平面向量

一、单选题

1.已知公、石、福均为非零向量，若丽="一6,则以下关于A、8的叙述中，正

确的是（）

A.点人是£的起点B.点A是〃的终点C.点8是£的起点D.以上说法均不

对

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量的平移知ABC均错误得到答案.

【详解】

根据向量平移不改变性质知：ABC均错误

故选：D

【点睛】

本题考查了向量的概念，属于简单题.

2.已知向量而=（3,2）,AC=（5,-1）,则向量而与配的夹角为（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】

求出反;=就—丽=(2,—3),进而可求而.反+3)=0,即能求出向

量夹角.

【详解】

解：由题意知，前=而一而=(2,—3).则瓦.团=3x2+2x(—3)=0

所以通，瓦，则向量A月与就的夹角为90°.

故选:C.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式

cos«，B)=/进行计算.

3.已知平面向量"=(1,-2),5=(2,/”)，且2//石，则"?=()

A.4B.1C.-1D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面向量共线定理即可得出.

【详解】

解：va=(1,-2),b=(2,m),且£//B，

二./%+4=0,用军得m=-4.

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.已知向量2=f，；,5=(-2,-2>/3),则3与B的夹角为()

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出£与万的夹角的余弦值，可得£与B

的夹角.

【详解】

解：•.・向量,fe=(-2-2x/3),设£与»的夹角为氏句,

则a»b=

又a石=|a|«|方|«cose=4cose,

百、八5万

，COS0=-----,\0------>

26

故选：B.

【点睛】

本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题.

5.梯形A8CO中，AB=AAD+/JBC,则2+〃=()

A.IB.-1C.0D.不能确定

【答案】C

【解析】

试题分析：由梯形ABCO易得：4*+83+。方+方=。，所以茄一皮=茄+而,

又A3=Z4r)+"BC,所以。C=(4-1)AD+(M—1)BC,由于A3〃CZ),所以

上!•=£口■,可得;i+〃=o,故选c.

A〃

考点：1、平面向量基本定理；2、向量的平行.

6.在A4BC中，ZABC=90°,若BDJL4C且5。交AC于点O,I而I=百，则

BD-CB=()

A.-3B.3C.一垂)D.也

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面向量数量积的几何意义将原式转化为丽『即可.

【详解】

因为在aABC中，NABC=90。，若8OLAC且8。交4c于点。，I而I=6,

所以昉•丽=一丽•配

=-1叫•函cosNDBC

=-\BD\-\BD\=-\BD^=-3,

故答案为-3.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的几何意义，属于基础题.

7.四个AABC分别满足下列条件，

(1)AB.5C>0s(2)tanAtanB>l；

(3)cosA=—,sinB=—；(4)sinA+cosA<1

135

则其中是锐角三角形有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

对四个条件分别进行化简，然后判断是否是锐角三角形

【详解】

解：⑴ABAC>0,

AB-AC=\A^-\AC\-cos<AB,AC>

=|AB|-|AC|-(-COSB)>O

得到cos3<0,所以D3是钝角，三角形不是锐角三角形.

(2)tan4tan3>1可得A,3是锐角，

并且sinAsin5>cosAcosB

所以cos(A+3)<0,

即cosC>0,从而得到C为锐角

所以三角形为锐角三角形，

51(717、

(3)cosA=—<-,所以

132132)

3(71万、

sinB=二，所以

5(64j

7T7T

所以A+B>—,所以C<一

22

所以三角形为锐角三角形，

(4)sinA+cosA<1

因为sinA+cosA=0sin(A+?]<l

而当A为锐角时，0sin(A+?)>l

所以A为钝角，三角形不是锐角三角形.

故选B项

【点睛】

本题考查对向量、三角条件的转化，判断三角形的形状，属于中档题.

8.已知同=2，W=3，B+6=M，则收一,等于()

A."B.V13C.V15D.V17

【答案】A

【解析】

试题分析：|a+h|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),所以

|a-b|=72(22+32)-(V19)2=J7.故本题正确答案为A.

考点：平面向量数量积的应用.

9.已知由向量构成的集合"=和旧=(1,2)+/1(3,4),4w/?},

N={4匕=(―2,—2)+4(4,5),九w7?},则A/P|N=()

A.{(-2,—2)}B.{(-2,-1)}C.{(1,—2)}D.{(2,1))

【答案】A

【解析】

【分析】

在集合M中任取一向量（1,2）+4（3,4）,在集合N中任取一向量（一2,-2）+4（4,5）,

利用两个向量相等，利用坐标运算列方程组解出实数4、%的值，可得出McN.

【详解】

由（l,2）+4（3,4）=（—2,—2）+/4,5）,得"一，解得工（），

故MIN=｛（—2,-2）｝,故选A.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查向量的坐标运算，解题时要弄清集合元素所表示的意义,

考查计算能力，属于中等题.

10.如图所示，已知椭圆C:9+y2=1的左、右焦点分别为&,尸2,点M与C的焦点

不重合，分别延长MF1，MF2到P,Q,使得丽=|瓦瓦丽=|砸，。是椭圆c上一

点，延长“。到N,而=|丽+|而，则|PN|+|QN|=（）

A.10B.5C.6D.3

【答案】A

【解析】

试题分析：根据椭圆的定义和比例，有即|+3|=，（|啖|+|咦1）=表4=10.

考点：直线与圆锥曲线位置关系.

11.已知G=(1,2),B=(x,1),若五与2—族共线，则实数x=()

【答案】B

【解析】试题分析:a-b=(1-x,1),因为3胡-3共线，所以1一2(1—x)=0,x=

选B.

考点：平行向量.

12.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美

的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中，以ABCD,E

为顶点的多边形为正五边形，且j■.下列关系中正确的是()

AT2

CD

一一J5+1——一一J5+1

A.BP-TS=-——RSB.CQ+TP=-^--TS

2

一一J5-1一一J5-1——

c.ES-AP=^—BQD.AT+BQ=^—CR

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.

【详解】

在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，且

PTV5-1

~AT~2

在A中，BP-TS=TE-TS=SE=^:^-RS>故A正确；

2

在B中，CQ+TP=PA+TP=TA=^^-ST,故B错误;

在C中，ES-AP^RC-QC=^^-QB，故C错误;

在D中，AT+BQ=SD+RD,^^-CR=RS=RD-SD，

若衣+丽=《?而，则丽=0,不合题意，故D错误.

故答案为：A

【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能

力，考查化归与转化思想.

二、填空题

13.在等边三角形ABC中，边长为2,则府•品=

【答案】-2

【解析】

AB-BC=—BA-BC=-2x2xcos60°=-2.

14.已知向量M=(l,2),B=(l,0),点C(O,1),。(3,5),若2为实数，(a+Ab)//CD,

则2=.

【答案】［

2

【解析】

【分析】

由向量平行的坐标表示可计算.

【详解】

由题意。%石=(1+4,2),CO=(3,4),

V(a+2^)//CD,A4(1+A)=6,2=

故答案为：—•

2

【点睛】

本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题.

15.已知向量a=(i,机)，石=(3,i),a・6=ioo,则实数〃，的值等于.

【答案】97

【解析】

•.•向量a=(i,〃?)，6=(3,1),a»^=ioo

/.1x34-7/1x1=100

m=97

故答案为97

16.已知为平面内所有向量的一组基，a=T-j,b=j,c=4T+j,若用/B

表示c＞贝!Ic=;

【答案】c=4a+5h

【解析】

【分析】

利用待定系数法设"=五+)区，根据向量相等的充要条件得到关于的方程组，解出

方程组即可得结果.

【详解】

•：a=i-j,b=j,c=4/+y,

设"=+)石，

即47+j=-j)+yj=J+(y-“，

x=4[x=4

\，解得｛,即c=4a+5^，

y-x=l[y=5

故答案为：4a+5方.

【点睛】

本题主要考查了向量运算和向量相等，利用待定系数法是解题的关键，属于基础题.

三、解答题

17.已知4(-1,0),8(0,2),。(-3,1)且通.而=5,AD2=\0.

(1)求。点的坐标；

(2)若。的横坐标小于零，试用通，而，表示才

【答案】⑴(-2,3)或(2,1)；(2)AC=-AB+AD.

【解析】

【分析】

(1)设。(x,y),则题=(1,2),拓=(x+l,y),利用可瓦而=5与而2=10列方

程求得x，y的值，从而可得结果；(2)求得通=(1,2),通=(—1,3),而=(—2,1),

设/=mAB+nAD，利用向量相等列方程组求出"％n的值即可得结果.

【详解】

(1)设。(x,y)，则福=(1,2),而=(x+l,y),

ABAD^x+l+2y=5①

AD2=(X+I)2+/=IO②

[x=-2[x=2

由①②(r或1I

y=3[y=l

O点坐标为(—2,3)或(2,1).

(2)。点坐标为(一2,3)时，

AB=(1,2),AD=(-1,3),AC=(-2,1),

设AC=mAB+nAD，

所以(―2,1)=加(1,2)+〃(-1,3),

-2=m—n[m=-1

v3=2m+3n[〃=1，

AC=-AB+AD

18.设椭圆C：m/=l(a>0,b>0)的一个顶点抛物线/=4^y的焦点重合，居与F2分别

a,D

是该椭圆的左右焦点,离心率e=i且过椭圆右焦点F2的直线Z与椭圆C交于M.N两点.

(I)求椭圆C的方程;

(n)若两-0N=-2,其中。为坐标原点,求直线1的方程；

(HD若4B椭圆C经过原点。的弦,且MN〃/1B,判断鬻是否为定值?若是定值,请求出,

\MN\

若不是定值，说明理由.

【答案】(1)9+?=1;(2)或x—y-鱼=0,或鱼尢+);-&=0；(3)定值为4.

【解析】试题分析：(1)根据焦点和顶点坐标以及a?=从+。2解出椭圆方程；(2)设出

M.N两点坐标，丽•丽=-2即乂62+%为=-2,联立直线和椭圆方程,写出韦达定

理代入解出k值；(3)直线4B过原点,所以设为y=kx,与椭圆联立求出弦长|AB|,再根据

(2)中的韦达定理求出|MN|,作比可得定值.

试题解析：⑴因为产=4gy得焦点为(0,百)

所以椭圆的一个顶点为(0,b)，

所以b=V5,£=^na=2

a2

所以椭圆C的方程为1+1=1

43

(2)当直线的1斜率不存在时,丽・丽力-2,

当直线的，斜率存在时,设直线/的方程式

y=k(x-l)(fcH0)M(xny1),iV(x2,y2),

y=k(x—1)

{x2y2=(4fc24-3)x2—8k2x+4/c2-12=0

—+—=1

43

2

则/=144(fc+1)>0,%!+x2='^^,x1x2=

x

OM•ON=xtx2+y^yz=%i%2+久2—(%i+2)+1]

4k2-12°4k2-128k2-5/c2-12

=---------bk2(------------------1-1)=---------

4k2+314k2+34fc2+3)4/c24-3

因为丽,而=一2,所以k=±V2,所以直线1的方程式y=±V2(x-1)

即夜％-y-V2=0,或注％+y-企=0

(3)当直线1的斜率存在时，设M(%],yi),N(%2，y2)，%)1(%4/4)，

J144(k2+i)_12*2+1)

22

\MN\=Vl+k\xr-x2\—Vl+fc4k2+3-4H+3'

y=kx12

联立｛次+g=1,得/=

4k2+3

22

所以MB|2=(1+fc)(%3-x4)=嘿等,所以需=9=4是定值•

4—+3

点睛:本题考查学生的是直线与圆锥曲线的位置关系,属于中档题目.常考题型为直线与

圆锥曲线相交，一般设而不求,转化为联立之后的一元二次方程有两个不等的方程根,坐

标化从而进一步求解,本题中的第三问定值问题,即与所设参数无关,分式的分子分母中

参数的系数成比例或者消去参数成为定值.

19.已知平行四边形ABCD中，|通|=3,|而卜2,对角线AC交30于点。，AB

上一点E满足诙.8/5=0，/为AC上任意一点.

(1)求荏3/5值;

⑵若|丽卜布，求而•炉的最小值.

49

【答案】(1)--(2)

2256

【解析】

试题分析:

(1)选取丽，亚为基底，其他向量都用基底表示，注意保留赤.诙=0,即可求得

数量积;

（2）BD的长度已知，则AABD是确定的，从而平行四边形ABCD是确定的，由

应•8/5=0可确定出E点位置（可设荏=工通计求出），然后设〃/

（ye[0,l]）,同样用基底表示出丽.而为》的函数，可得最小值.

试题解析:

（1）由平行四边形ABCO知。4=OC,OB=OD

L=而，BD=AD-AB

•：AE=AO+OE^-AB+-AD+OE

22

.•.荏.丽=（g通+g而+时屈=（g而+；砌•（而_砌+强而

而瓦•丽=0，|题|=3,|莅|=2,

：.AEBD=-ADT--AB2=--

222

（2）若叫=丽，.•.前2=（而-碉2=4+9-2x2x3cosNBAO=10

:.cos/BAD=；,AC2=（AB+AD）2=4+9+2X2X3COSZBA£>=16,

---------3

ABAD=-

2

设亚=x通，由（I）AEBD=-=xAB（AD-AB）=xABAb-xAB",

得x=!，即荏=』而

33

再设丽=y近，ye[0,l],AAFEF^AF（AF-AE^AF2-AFAE

=y2AC2-yAC-^AB=\6y2-y（AB+AD）^AB

=16y2--AB2—^AP-A5=16y2--y=16fy--|--

332-V64J256

749

显然ye[0,l],当k7T时，丽.而有最小值为一丁.

L」A/IOxA

20.已知抛物线/=4），的焦点为尸，抛物线上的两动点，且丽=/丽（2>0）,

过A6两点分别作抛物线的切线，设其交点为

（1）证明：两•方方为定值；

（2）设的面积为S,写出S=f（/l）的表达式，并求S的最小值.

【答案】（I）定值为0;（2）S=g（JW+，）3,S取得最小值4.

【解析】

分析：（1）设A（X”yi）,B（X2,y2）,M（x。，y。），根据抛物线方程可得焦点坐

标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y,根据判别式大于0求得和

X

xtx2,根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y，=],可得切线AM和BM的方程，联立方

程求得交点坐标，求得闲和而，进而可求得两■•丽的结果为0,进而判断出

AB±FM.

（2）利用（1）的结论，根据玉+乙的关系式求得k和入的关系式，进而求得弦

长AB,可表示出aABM面积.最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值.

详解：（1）设A（xi,yi）,B（X2.y2）,M（x0,y°）,焦点F（0,1）,准线

方程为y=-1,

显然AB斜率存在且过F（0,1）

设其直线方程为y=kx+l,联立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0,

判别式△=16（k2+l）>0,xi+x2=4k»xiX2=-4.

x

于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=-