三角形-浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编（解析版）

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）

专题10三角形

选择题（共14小题）

1.（2021•宁波）如图，在△4BC中，ZB=45°,ZC=60°,AO_LBC于点。，BD=痘.若E,尸分别

为AB,BC的中点，则EF的长为（）

【分析】由直角三角形的性质求出4。=8。=8,由锐角三角函数的定义求出OC=1,由三角形的中位线

定理可求出答案.

【详解】解:•.•AD_LBC,

.ZADB=ZADC=90°,

•NB=45"

.AD=BD=V3.

•/C=60°,

AD73.

•DC=toi60s=75=b

.AC=DC=2,

'E,尸分别为48,8c的中点,

.Ef=yc=l.

故选：C.

2.(2021•嘉兴)如图，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC=5,点。在AC上，且A£>=2,点E是AB

上的动点，连结。E,点尸，G分别是BC和。E的中点，连结AG,FG,当AG=FG时，线段。E长为

()

572V41

A.V13c.—D.4

2

【分析】分别过点G,F作A5的垂线，垂足为M,N,过点G作GP_LFN于点P,由中位线定理及勾股

定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论.

【详解】解：如图，分别过点G,下作48的垂线，垂足为M,N,过点G作GPJ_/W于点P,

四边形G例NP是矩形，

:.GM=PN,GP=MN,

；/8AC=90°,AB=AC=5,

：.CA1AB,

又\•点G和点F分别是线段DE和BC的中点,

：.GM和FN分别是△△£>£：和△ABC的中位线,

GM=^AD=1,AM=1A£,

FN=1AC=I，AN=^AB=j,

:.MN=AN-AM=I-^AE,

3

:・PN=1,FP=|,

设AE=in,

151

：.AM=GP=MN=W一m,

1

在RtZkAGM中,AG12=(f)2+l2,

2

513

在RtAiGPF中，GF2=（一一一m）2+（-）2,

222

VAG=GF,

19951

（一加）一+[2=_-/n）2+（一）

2222

解得加=3,即OE=3,

在Rt^ADE中，DE=y/AD2+AE2=V13.

故选：A.

3.（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABC。与正方形EFG”.连

5..

接EG,8。相交于点O,8。与”。相交于点P.若GO=GP,则不上此吆的值是（）

S正方形EFGH

【分析】证明△BPGgZXBCG(ASA),得出PG=CG.设OG=PG=CG=JG则EG=2尤，FG二岳,由

勾股定理得出3。2=(4+2V2)?,则可得出答案.

【详解】解：•・•四边形EFG”为正方形，

，NEGH=45°，ZFGH=9O0,

•：OG=GP,

：.ZGOP=ZOPG=61.5°,

AZPBG=22.5°,

又・・・NDBC=45°,

・・・NG8C=22.5°,

：./PBG=4GBC,

■:NBGP=/BGC=9U°,BG=BG,

：.4BPG四4BCG(ASA),

:.PG=CG.

设OG=PG=CG=x,

•：O为EG,BD的交点,

：.EG=2x,FG=V2x,

:四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

:.BF=CG=x,

：.BG=x+V2x,

：.BC2=BG2+CG2=X2（V2+l）2+x2=（4+2V2）%2,

.S正方形ABCD（4+2匹）％2r-

•♦=2=2+V2.

S正方形EFGH2X

故选:B.

4.（2020•绍兴）长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不

允许折断），得到的三角形的最长边长为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.

【详解】解：①长度分别为5、3、4,能构成三角形，且最长边为5；

②长度分别为2、6、4,不能构成三角形；

③长度分别为2、7、3,不能构成三角形；

④长度分别为6、3、3,不能构成三角形；

综上所述，得到三角形的最长边长为5.

故选：B.

5.（2019•宁波）已知直线将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边8C与直

线〃交于点。.若Nl=25°,则N2的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【分析】先求出NAEO=/1+/B=25°+45°=70",再根据平行线的性质可知/2=乙4即=70°.

【详解】解：设A8与直线”交于点E,

则NAEO=/1+N8=25°+45°=70°.

又直线in//n,

.•.Z2=ZAED=70°.

故选：c.

6.（2020•宁波）如图，在RtZiABC中，ZACB=90a,CD为中线，延长CB至点E,使BE=BC,连接

DE,F为OE中点，连接3F.若AC=8,BC=6,则BF的长为（）

E

A.2B.2.5C.3D.4

【分析】利用勾股定理求得AB=10;然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CO的长度;

结合题意知线段BF是△（?£>£的中位线，则BF=|CD.

【详解】解：I•在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=>JAC2+BC2=V82+62=10.

又：CD为中线，

：.CD=58=5.

•.•尸为DE中点，BE=BC即点3是EC的中点，

:.BF是ACDE的中位线，则BF=^CD=2.5.

故选：B.

E

7.（2020•宁波）△BCE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形A8C

内.若求五边形。ECHF的周长，则只需知道（）

A

D,

BGEC

A./XABC的周长B.△AF”的周长

C.四边形FBG”的周长D.四边形AOEC的周长

【分析】证明丝△C〃G(A4S),得出AF=C”.由题意可知BE=FH,则得出五边形DECHF的

周长=A8+8C,则可得出答案.

【详解】解：♦.•△GF”为等边三角形，

:.FH=GH,/FHG=60°,

；.NAHF+NGHC=120°,

•••△A8C为等边三角形，

：.AB=BC=AC,NACB=NA=60°,

AZG//C+Z//GC=120°,

NAHF=NHGC,

:.△AFg^CHG(4AS),

：.AF=CH.

,.,△8DE和△FG”是两个全等的等边三角形，

：.BE=FH,

，五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),

^AB+BC.

...只需知道△A8C的周长即可.

故选：4.

8.(2019•衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”

能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,08组成，两根棒在O点相连并可绕。转动、C

点固定，OC=C£>=OE,点。、E可在槽中滑动.若NBDE=75°,则/C£>E的度数是()

E

c

A.60°B.65°C.75°D.80°

【分析】根据OC=CO=£>E,可得NO=NOOC,NDCE=NDEC,根据三角形的外角性质可知NOCE

=NO+NOQC=2NOOC,进一步根据三角形的外角性质可知N5OE=3NOQC=75°,即可求出N。。。

的度数，进而求出NCDE的度数.

【详解】解：\'OC=CD=DE,

：.NO=NODC,NDCE=NDEC,

：.ZDCE=ZO+ZODC=2ZODC,

u：ZO+ZOED=3ZODC=ZBDE=75°,

：.ZODC=25°,

*：ZCDE+ZODC=\80°-ZBDE=105°,

AZCD£=105°-ZODC=80°.

故选：D

9.（2019•杭州）在aABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）

A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°

C.必有一个内角等于60°D,必有一个内角等于90°

【分析】根据三角形内角和定理得出N4+N3+NC=180°,把NC=NA+N3代入求出NC即可.

【详解】解：VZA+ZB+ZC=180°,ZA=ZC-ZB,

.-.2ZC=180°,

AZC=90°,

•••△ABC是直角三角形，

故选：D.

10.（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,10C.5,5,11D.5,6,11

【分析】根据三角形的三边关系即可求

【详解】解：

A选项，3+4=7<8,两边之和小于第三边，故不能组成三角形

8选项，5+6=11>10,10-5<6,两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形

C选项，5+5=10<11,两边之和小于第三边，故不能组成三角形

。选项，5+6=11,两边之和不大于第三边，故不能组成三角形

故选：B.

11.（2019•金华）若长度分别为m3,5的三条线段能组成一个三角形，则。的值可以是（）

A.1B.2C.3D.8

【分析】根据三角形三边关系定理得出5-3VaV5+3,求出即可.

【详解】解：由三角形三边关系定理得：5-3<a<5+3,

即2<a<8,

即符合的只有3,

故选：C.

12.（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,

以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方

形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A.直角三角形的面积

B.最大正方形的面积

C.较小两个正方形重叠部分的面积

D.最大正方形与直角三角形的面积和

【分析】根据勾股定理得到cPuj+zA根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可.

【详解】解：设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为匕，较短直角边为“，

由勾股定理得，。2=/+/，

阴影部分的面积=，2-I?-a(c-h~)="2-ac+ab=a(.a+h-c),

较小两个正方形重叠部分的宽="-(c-b),长="，

则较小两个正方形重叠部分底面积(a+b-c),

知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，

故选：C.

13.(2019•绍兴)如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高

为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高

图1图2

【分析】设。E=x,则AO=8-x,由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出OE,再由勾股定理

求出C。，过点C作C/_LBG于凡由的比例线段求得结果即可.

【详解】解：过点。作CALBG于R如图所示：

根据题意得：-(8-x+8)X3X3=3X3X6,

2

解得：x=4,

：.DE=4,

VZ£=90°,

由勾股定理得：CD='DE2+"2=742+32=5,

VZBCE=ZDCF=90°，

:"DCE=/BCF,

•；NDEC=NBFC=90°,

.CECD

••_-,

CFCB

故选：A.

14.（2019•湖州）如图，已知在四边形ABC拉中，ZBCD=90°,8。平分N48C,AB=6,BC=9,CD=

4,则四边形ABC。的面积是（）

/D

二

BC

A.24B.30C.36D.42

【分析】过。作DH1AB交BA的延长线于H,根据角平分线的性质得到DH=CD=4,根据三角形的

面积公式即可得到结论.

【详解】解：过Z）作OA/JLAB交B4的延长线于H,

平分NA8C,NBC£>=90°,

：.DH=CD=4,

：.四边形ABCD的面积=SAABD+SMC0=^AB*DH+^BC>CD=}X6X4+：X9X4=30,

二.填空题（共5小题）

15.（2021•绍兴）如图，在△ABC中，AB=AC,NB=70°,以点C为圆心，C4长为半径作弧，交直线

BC于点P,连结AP,则/54P的度数是15°或75°.

【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△A8C各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨

论的方法求出/2AP的度数即可.

【详解】解：如右图所示，

当点尸在点8的左侧时，

'：AB=AC,ZABC=70°,

：.ZACB=ABC^10°,

.♦.N8AC=180°-Z.ACB-ZASC=180°-70°-70°=40°,

'：CA=CP\,

吟乌=竺，*5。

：.ZCAP\=ZCPiA=

：.ZBAP\=ZCAP\-ZCAB=55°-40°=15°；

当点P在点C的右侧时,

'：AB=AC,NA8C=70°,

.,.NAC8=A8C=70°,

AZBAC=1800-ZACB-ZASC=180°-70°-70°=40°,

,：CA=CP2,

..ZCAP2=ZCP\A=——=—=35,

/.ZBAP2=ZCAP2-ZCAB=35°+40°=75°；

由上可得，NBAP的度数是15°或75°,

故答案为：15°或75°.

16.（2021•绍兴）己知△48C与△A8。在同一平面内，点C,力不重合，/ABC=/4BC=30°,AB=4,

AC=AD=2近,则CD长为2g±2或4或2/.

【分析】分CQ在A8的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形.

【详解】解：如图，当CQ同侧时，过点A作AELCQ于£

在RIZX4E8中，/4E8=90",4B=4,NA8E=30°,

：.AE=^AB=2,

'：AD=AC=2V2,

：.DE=J(22/_22=2,EC=J(2/)2-22=2,

：.DE=EC=AE,

.•.△AQC是等腰直角三角形,

.♦.8=4,

当CQ异侧时，过C'作C'HLCDTH,

■：/\BCC'是等边三角形，BC=BE-EC=2相-2,

：.CH=BH=^3-1,C'H=WCH=6-2®

在RtADC,H中，DC=y/DH2+C'H2=J(3+V3)2+(6-273)2=2历，

,:丛DBD'是等边三角形，

：.DD'=2V3+2,

：.CD的长为28±2或4或2n.

故答案为：2旧±2或4或2后.

17.(2020•台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6,E,尸是边8c上的三等分点.分别过点E,F

沿着平行于BA,C4方向各剪一刀，则剪下的anEF的周长是6・

【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解.

【详解】解：•••等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边8c上的三等分点，

：.EF^2,

•••△ABC是等边三角形，

/.ZB=ZC=60°,

y.'：DE//AB,DF//AC,

；.NDEF=NB=60",/£>FE=/C=60°,

••.△DEF是等边三角形,

剪下的△QEF的周长是2X3=6.

故答案为：6.

18.(2020•绍兴)如图，己知边长为2的等边三角形A8C中，分别以点A,C为圆心，机为半径作弧，两

弧交于点。，连接BD.若8。的长为2g,则，"的值为2或2b.

A

【分析】由作图知，点。在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得8。垂直平分

AC,设垂足为E,得到当点力、8在AC的两侧时，如图，当点。、B在AC的同侧时，如图，

解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：由作图知，点。在AC的垂直平分线上，

「△ABC是等边三角形，

...点8在AC的垂直平分线上，

/.8。垂直平分AC,

设垂足为E,

；AC=A3=2,

：.BE=V3,

当点。、8在AC的两侧时，如图，

,:BD=2小

：.BE=DE,

：.AD=AB^2,

*'•m=2；

当点。、8在AC的同侧时，如图，

':BD'=2V3,

：.D'E=33

：.AD'=J(36尸+/=2「，

:.m=2小,

综上所述，〃，的值为2或2近，

故答案为：2或277.

D

19.（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图.已知。，P两点固定，连杆

PA=PC=\40cm,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm,O,P两点间距与。。长度相等.当OQ绕点

。转动时，点A,B,C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动.当点B运动至点/或N时，

点A,C重合，点P,Q,A,8在同一直线上（如图3）.

（1）点尸到MN的距离为160a”.

【分析】（1）如图3中，延长PO交于7,过点。作CWLPQ于H.解直角三角形求出PT即可.

（2）如图4中，当。，P,A共线时，过。作QH_LPT于H.设/£4=x<ro.解直角三角形求出HT即可.

【详解】解：（1）如图3中，延长PO交MN于T,过点。作O”_LPQ于

M(B)

A(Ci

•N

图3

由题意：OP=OQ=50cm,P(2=B4-AC=140-60=80(cm),PM=B4+BC=140+60=200(cm),PT

LMN,

'：OHLPQ,

：.PH=HQ=40(cm),

../口PHPT

.cos/P=^=丽,

.竺_EI_

**50-200,

：.PT=\60(cm),

：.点P到MN的距离为160cm,

故答案为160.

(2)如图4中，当。，P,A共线时，过。作Q”_LPT于从设

由题意4T=PT-B4=160-140=20(。〃)，OA=B4-OP=140-50=90(cm),OQ=5(kro,AQ=60cm,

,/QH1.OA,

：.QH2=AQ1-AH2=O^-OH2,

Z.602-?-502-(90-x)2

解得户等

：.HT=AH+AT=(cm),

.•.点。到MN的距离为等c/〃.

故答案为

三.解答题（共8小题）

20.（2021•杭州）如图，在△ABC中，NABC的平分线8。交AC边于点。，AE_LBC于点E.已知NABC

=60°,ZC=45°.

(1)求证：AB=BD；

(2)若AE=3,求△ABC的面积.

【分析】（1）计算出NAO8和/84C,利用等角对等边即可证明;

（2）利用锐角三角函数求出8c即可计算△A8C的面积.

【详解】(1)证明：平分NA8C,ZABC=60°,

1

：.ZDBC=^ZABC=30°,

VZADB=ZDBC+ZC=75°,

ZBAC=1800-ZABC-ZC=75°,

：.ZBAC=ZADB,

：.AB=BD；

(2)解.：由题意得，BE=而锵阮=6,EC=^=3,

.,.BC=3+V3,

•c/~AL9+3行

••S^ABC=-2BC^AE=—2—•

21.(2021•台州)如图,在四边形ABC。中,AB=AD=20,BC=DC=10a.

(1)求证：ZXABC岭△4DC；

(2)当NBCA=45°时-，求NBA。的度数.

【分析】(1)根据已知条件利于SSS即可求证△48C经△AOC；

(2)过点8作8EJ_AC于点瓦根据已知条件利于锐角三角函数求出8E的长，再根据RlZ\A8E边的关系即

可推出N8AC的度数，从而求出N8AD的度数.

【详解】解：(1)证明：在△ABC和△AOC中，

AB=AD

BC=DC,

AC=AC

：./\ABC^/^ADC(SSS)；

(2)过点B作BELAC于点E,如图所示，

sinZBCA=sin45°=箓=]=竽，

：.BE^IO,

又；在Rt&ABE中,AB=20,BE=IO,

：.ZBAE=30°,

又：△ABC也△ADC,

.•./84O=NBAE+/D4c=2/8AE=2X30°=60°.

22.(2021•杭州)在①AQ=AE,@ZABE=ZACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面

的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在△ABC中，NABC=NAC8,点。在A8边上(不与点4,点8重合)，点E在AC边上

(不与点A,点C重合)，连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若①4C=AE(②/<BE=NAC£>

或③尸8=FC),求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【分析】若选择条件①，利用得到AB^AC,则可根据“SAS”可判断△A2E丝△AC。，

从而得到BE=CD；

选择条件②，利用N48C=NAC8得到AH=AC,则可根据“ASA”可判断△A8EgA4C£>,从而得到

BE=CD；

选择条件③，利用NA5C=/ACB得至I]AB=AC,再证明NACO,则可根据“ASA”可判断△A8E

丝△ACO,从而得到BE=CD.

【详解】证明：选择条件①的证明为：

•?ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△4BE和△ACO中，

AB=AC

Z-A—Z-A，

AE=AD

：./\ABE^/\ACD(SAS),

:.BE=CD；

选择条件②的证明为：

•・・ZABC=ZACBf

：.AB=AC,

在△ABE和△AC及中，

NABE=ZACD

AB=AC，

z/l=Z.A

•••△ABE咨△ACT)(ASA),

:・BE=CD；

选择条件③的证明为:

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

•：FB=FC,

:./FBC=NFCB,

：.AABC-ZFBC=ZACB-/FCB,

即N43E=ZACD,

在△ABE和△ACO中，

/ABE=NACD

AB=AC，

Zi4=乙4

/./\ABE^/^ACD(ASA),

:.BE=CD.

故答案为①AO=AE(②NA8E=NACO或③尸8=FC)

23.(2021•温州)如图，BE是△ABC的角平分线，在A8上取点。，DB=DE.

(1)求证：DE//BC-,

(2)若/4=65°,ZAED=45°,求/EBC的度数.

【分析】（1）根据角平分线的定义可得NO8E=NE8C,从而求出NDE8=NE8C,再利用内错角相等，

两直线平行证明即可；

（2）由（1）中DE〃8C可得到/C=NA£O=45°,再根据三角形的内角和等于180°求出/A8C,最后

用角平分线求出/O8E=/EBC,即可得解.

【详解】解：（1）是AABC的角平分线，

:.NDBE=NEBC,

,:DB=DE,

■:NDEB=NDBE,

:.NDEB=NEBC,

:.DE//BC；

(2),:DE//BC,

：.ZC=ZA£D=45°，

在△ABC中，NA+NABC+/C=180°,

.•./4BC=180°-/A-/C=180°-65°-45°=70°.

；8E是△A8C的角平分线，

NDBE=NEBC=上ABC=35°.

24.(2021•绍兴)如图，在△ABC中，ZA=40°,点。，E分别在边AB,AC上，BD=BC=CE,连结CD,

BE.

(1)若NA8C=80°，求N8DC,NABE的度数；

(2)写出NBEC与NBOC之间的关系，并说明理由.

【分析】⑴根据等腰三角形的性质得到NBOC=N8CO=：(180°-80°)=50°,根据三角形的内角定

理得到NACB=180°-40°-50°=60°,推出ABCE是等边三角形，得到/EBC=60°，于是得到结论;

(2)设/8EC=a,N8OC=0,由于ct=NA+N48E=40°+/A8E,根据等腰三角形的性质得到NC8E=N

BEC=a，求得NABC=NABE+NCBE=ZA+2ZABE=40°+/A2E,推出NCBE=NBEC=a,于是得到结

论。

【详解】W-：(1)VZABC=80°,BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=i(180o-80")=50°,

；NA+ZA8C+NAC8=180°,ZA=40°,

AZACB=180°-40°-50°=60°,

'：CE=BC,

.♦.△8CE是等边三角形，

:.NEBC=60°,

，NABE=匕ABC-Z£BC=20°;

(2)N8EC与N8DC之间的关系：ZBEC+ZBDC=110°,

理由：设/8EC=a,/BOC