清单05垂径定理的应用（5种题型解读（30题））（原卷版）

清单05垂径定理的应用（5种题型解读（30题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】直接利用勾股定理求线段长1．（2023上·甘肃庆阳·九年级校考期中）如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点D,AB=16，则CD的长是（

）A．3 B．4 C．6 D．82．（2023上·江苏南京·九年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C03．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）圆O的半径为5，AB,CD为两条平行的弦，AB=8,CD=6．则这两条平行弦之间的距离为．4．（2023上·江苏·九年级期末）如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN=．5．（2023上·广东惠州·九年级校考期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=10cm，CD=166．（2023上·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=4cm，AC=3cm，求【考试题型2】运用单勾股列方程求线段长7．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E,C是⊙O上一点，AB=6,CE的最大值为9，则EF的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023上·江苏淮安·九年级统考期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（

A．1cm B．2cm C．529．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AE=8，BE=2，则线段A．8 B．5 C．4 D．310．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=10，BE=2，则☉O的直径为．11．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为米．12．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）如图，⊙O的弦AB与CD相交于点E，已知AE=BE，DE=3CE，且AB=8，若CD过圆心O，求⊙O的半径．【考试题型3】运用双勾股列方程求线段长13．（2023上·浙江温州·九年级温州市第八中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，以点C为圆心，AC为半径的圆与AB，BC分别交于点E与点D，则BE的长为14．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，AD是△ABC的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则AB215．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD间的距离为7，若AB=24，则CD的长为．16．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA=4，PB=6，则OP的长为．

17．（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图这是一个残缺的圆形部件，已知A,B,C是该部件圆弧上的三点．(1)利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求该部件的半径18．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在直径为20的⊙O中，AB与CD是互相垂直的两条弦，垂足为点F．已知AB=CD=16，求OF的长．【考试题型4】垂径定理的实际应用19．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为8米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为2米．(1)求主桥拱所在圆的半径；(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．20．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于隔板的三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘（圆）八等分点如图3所示．已知圆锅直径为40cm

(1)求图2的中心格面积S1(2)求两种设计的中心格面积S1与S21．（2023上·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径AB=1米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD=BC=0.7米，则门洞的半径是多少？【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN=BN=12AB=________(米)，再证四边形DCNM是________，则MN=CD=______米，DM=CN=BC+BN=______(米)，设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得22．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．23．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=52cm,MN为水面截线，MN=48cm

(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm24．（2023上·九年级课时练习）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE=10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17

25．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【考试题型5】垂径定理应用的综合题26．（2023·广东广州·统考一模）在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°；(1)如图1，已知∠D=30°，直接写出∠A+∠C的度数；(2)如图2，已知∠ADC=30°，AD=3，CD=4，连接BD，求BD的长度；(3)如图3，已知∠ADC=75°，BD=6，请判断四边形ABCD的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．27．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，△ACD为等边三角形，AD=4，则线段BD的长为___________；【问题解决】（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠B=90°,BC=AB=2，以AC为直径作半圆O，点D为AC上一动点，求点B、D之间的最大距离；【问题探究】（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角△ABC以及弓形BDC组成，其中∠B=90°,AB=4,BC=6.4,DE=2.4，点E为BC的中点，DE⊥BC，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到BC的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到BC的最大距离．28．（2022·上海奉贤·统考二模）图1是某种型号圆形车载支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某被支架锁住时，锁住高度与宽度恰好相等（AE=AB），求该的宽度．29．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A'B'是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O(1)如图，D(-2，6)，E(2，6)，F(-3，1)，G(-1，3)，H(0，3)，在线段(2)等边△ABC的边长为1，点C(0，t)，若线段AB是⊙O的点C对称弦，求(3)点M在直线y=3x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=3x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点30．（2023·浙江宁波·统考一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1∥l2，点A，B在直