2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案含解析新人教A版必修4

PAGE3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式内容标准学科素养1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能娴熟运用二倍角的公式进行简洁的恒等变换并能敏捷地将公式变形运用.发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第78页[基础相识]学问点二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P132～133，思索并完成以下问题能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗？(1)在公式Sα＋β中，假如β＝α，有怎样的结果？提示：当β＝α时，sin(α＋β)＝sin2α＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα.(2)在公式Cα＋β中，假如β＝α，有怎样的结果？提示：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，当β＝α时，cos2α＝cos2α－sin2α.(3)在Tα＋β中，假如β＝α，有怎样的结果？提示：T(α＋β)＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，当β＝α时，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).学问梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数公式简记正弦sin2α＝2sin__αcos__αS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2αC2α正切tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T2α思索在cos2α＝cos2α－sin2α中，结合sin2α＋cos2α＝1.有怎样的变形？提示：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.[自我检测]1．已知cosx＝eq\f(3,4)，则cos2x等于()A．－eq\f(1,4)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,8)D.eq\f(1,8)答案：D2．sin15°sin75°的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(3),4)答案：C授课提示：对应学生用书第79页探究一二倍角公式的正用[教材P133例5、例6]方法步骤：(1)求“单角”的函数值．(2)用“单角”表示“倍角”，代入公式．[例1]化简eq\r(1＋cos2α)＋eq\r(1－cos2α)(α为其次象限角)．[解析]原式＝eq\r(1＋2cos2α－1)＋eq\r(1－（1－2sin2α）)＝eq\r(2)|cosα|＋eq\r(2)|sinα|＝eq\r(2)(sinα－cosα)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))).方法技巧干脆将S2α、C2α、T2α变为单角“α”的表达形式．跟踪探究已知sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解析：∵sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))\s\up12(2))＝－eq\f(12,13)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(120,169)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))eq\s\up12(2)＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(120,119).探究二二倍角公式的逆用、变形用[教材P135练习5(4)题]求2cos222.5°－1.解析：原式＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).[例2]求下列各式的值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋sin\f(π,12)))；(2)2cos105°cos15°；(3)eq\f(tan15°,1－tan215°)；(4)eq\f(1,2)－cos2eq\f(π,8).[解析](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋sin\f(π,12)))＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).(2)2cos105°cos15°＝2cos(90°＋15°)cos15°＝2(－sin15°)cos15°＝－2sin15°cos15°＝－sin30°＝－eq\f(1,2).(3)eq\f(tan15°,1－tan215°)＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan15°,1－tan215°)＝eq\f(1,2)×tan30°＝eq\f(\r(3),6).(4)eq\f(1,2)－cos2eq\f(π,8)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,8)－1))＝－eq\f(1,2)coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),4).方法技巧依据三角函数的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时变换出特别角，获得三角函数式的值，在变形中肯定要整体考虑式子的特征．延长探究将本例(2)变为：求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．解析：法一：∵sin10°sin50°sin70°＝eq\f(sin20°sin50°sin70°,2cos10°)＝eq\f(sin20°cos20°sin50°,2cos10°)＝eq\f(sin40°sin50°,4cos10°)＝eq\f(sin40°cos40°,4cos10°)＝eq\f(sin80°,8cos10°)＝eq\f(1,8)，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝eq\f(1,16).法二：原式＝eq\f(1,2)cos20°cos40°cos80°＝eq\f(2sin20°cos20°cos40°cos80°,4sin20°)＝eq\f(sin40°cos40°cos80°,4sin20°)＝eq\f(sin80°cos80°,8sin20°)＝eq\f(1,16)·eq\f(sin160°,sin20°)＝eq\f(1,16).授课提示：对应学生用书第79页[课后小结]1．对于“二倍角”应当有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq\f(3,2)α的二倍；eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍；eq\f(α,3)是eq\f(α,6)的二倍；eq\f(α,2n)是eq\f(α,2n＋1)的二倍(n∈N*)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为敏捷多样，应用广泛．常用形式：(1)1＋cos2α＝2cos2α；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；(3)1－cos2α＝2sin2α；(4)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).[素养培优]二倍角公式的运用技巧与提升(1)特别角的三角函数与特别值的互化；(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；(3)对于二次根式，留意倍角公式的逆用；(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；(5)利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．(6)留意降幂、升幂的应用：降幂：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).升幂：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2.[典例]1.已知α∈(0，π)，化简：eq\f(（1＋sinα＋cosα）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))＝________．[解析]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2)))因为α∈(0，π)，所以coseq\f(α,2)>0，所以原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),2cos\f(α,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)))＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝cosα.[答案]cosα2．化简：eq\f(1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ).[解析]法一：原式＝eq\f(（1－cos2θ）＋sin2θ,（1＋cos2θ）＋sin2θ)＝eq\f(2sin2θ＋2sinθcosθ,2cos2θ＋2sinθcosθ)＝eq\f(2sinθ（sinθ＋cosθ）,2cosθ（cosθ＋sinθ）)＝tanθ.法二：原式＝eq\f(（sinθ＋cosθ）2－（cos2θ－sin2θ）,（sinθ＋cosθ）2＋（cos2θ－sin2θ）)＝eq\f(（sinθ＋cosθ）[（sinθ＋cosθ）－（cosθ－sinθ）],（sinθ＋cosθ）[（sinθ＋cosθ）＋（cosθ－sinθ）])＝eq\f(2sinθ,2cosθ)＝tanθ.3．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)探讨f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．[解析](1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq\f(2－\r(3),2).(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－e