苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 11【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．【变式训练】1．在中，，，点D是边的中点．(1)如图，若点E，F分别在边，上，，求证：，并说明理由；(2)在（1）的条件下，，求的值．2．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．(1)求证：；(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．3．在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、(1)如图1，若点是的中点时，求证：(2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．(3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度．4．在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求证：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【变式训练】1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．【变式训练】1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．2．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下：在和中，平分≌（___________）在括号内填写全等判定方法字母简称（___________）在括号内填写理由依据【问题探究】如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：；【拓展延伸】如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．

专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 11【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)；(2)，理由见解析．【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到．【详解】（1）解：连接，∵，，点是的中点∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：连接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．【变式训练】1．在中，，，点D是边的中点．(1)如图，若点E，F分别在边，上，，求证：，并说明理由；(2)在（1）的条件下，，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)a．【分析】（1）连接，证明即可得到；（2）由（1）可得：，进一步得到：．【详解】（1）证明：连接，∵，，∴，∵点D是边的中点，∴，，，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．（2）解：由（1）可知：，∴，∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．2．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．(1)求证：；(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证；（2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可；（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】（1）明∶连接，∵，∴，∵P为斜边的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：仍成立，理由如下：连接，∵，∴，∵P为斜边的中点，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：能成为等腰三角形，①当，点E在的延长线上时，则，又∵，∴；②当，点E在上时，则；③当时，则，∴；④当，点E和C重合，∴；综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、(1)如图1，若点是的中点时，求证：(2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．(3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据，即可得证；（2）根据，即可得出结论；（3）根据得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵，点是的中点，、∴即，∴，（2）解：，理由如下，如图所示，连接，∵，、，为腰上的高，∴∴∴，（3）解：如图所示，过点作于点，∵，、，，∴∴∴若，则．【点睛】本题考查了三角形高的计算，含30度角的直角三角形的性质，等面积法是解题的关键．4．在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得，即可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．【详解】（1）①证明：如图1，连接，∵，，∴.∵点O为的中点，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如图2，连接，同理可证：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：18；（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，∵，，点O为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求证：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【答案】(1)见解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．【变式训练】1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．【答案】(1)20°(2)见解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解；（2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，进而求得，，即可得出，从而得出结论；（3）由（2）可知，，从而有，再根据，则有，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）证明：过点作于点，过点作于点，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，设、交于点，则又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．【答案】(1)；(2)见解析；(3)与相等或互补【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得，由即可求出的度数；（2）作根据AAS证明≌,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补．【详解】（1）解：中，，且=,

．（2）如图，过点作于E点，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如图，作于，于，∵与的面积相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如图，作于，作垂直于的延长线于．则．∵，，∴，∵与的面积相等，∴．∴≌．∴．，∴，综上，与相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明，即可得出；（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：过点C作交于点M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是【分析】（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案为：；（2）解：如图2，延长交于点F，由可知，，∴，∵，∴，故答案为：；（3）解：，证明如下：如图3，延长、交于点F，则，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由问题情境可知，，∴；（4）解：如图4，延长交于E，由问题情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面积是．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的