四点共圆模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）(一)-中考数学备考复习重点资料归纳

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题11四点共圆模型

解题策略

俣至F—共圆模型

若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆.如图，若OA=OB=OC=OD,则4

B,C,。四点在以点。为圆心、而为半径的圆上.

模型2：对角互补共圆模型

2.若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆.

如图，在四边形圈力中，若//+/a180°(或N8+N2=180°)则4B,C,〃四点

在同一个圆上.

拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆.

如图，在四边形用切中，NCDE为外角,若/B=/CDE,则4B,C,，四点在同一个

圆上.

模型3：定弦定角共圆模型

若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个

点和这条线段的两个端点共圆

如图，点4〃在线段a1的同侧，若则4B,C,〃四点在同一个圆上.

(--------------------------\

经典例题

\川IIyUZJ・上四•，年级课时练习)在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出

发，沿边DC以lcm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以lcm/s的速

度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P,设点E.F

运动时间为t秒.回答下列问题：

(1)如图I,当t为多少时，EF的长等于4V^cm?

⑵如图2,在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆(OO)上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的。O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t

值；若不存在，请说明理由；

(2)①由题意易证△ADEgZXDCF,则有NCDF=NDAE,然后根据平行线的性质可得

NAPF=90。，进而可得/B+NAPF=180。，则问题得证；

②由题意可知当。。与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解；一

是当圆与AD相切时，-是当圆与边DC相切时；

③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可.

【详解】解：(1)由题意易得:DE=CF=t,

•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=ZDAB=90°,

EC=12-t,

EF的长等于4V5cm,

.♦.在RSCEF中,EF2=EC2+CF2,即(4可=(12-"+t2

解得G=4,t2=8；

(2)①由(1)可得AB=CD=BC=AD=12cm,NC=NB=NADC=NDAB=90。，DE=CF=t,

ADE^ADCF,

•••ZCDF=ZDAE,

■.•ZCDF+ZPDA=90°,

.-.ZDAE+ZPDA=90°,

.••/ADP=NAPF=9()°,

.•.NAPF+/B=180°,

由四边形APFB内角和为360。可得：ZPAB+ZPFB=180°,

.•.点A、B、F、P在同一个圆(③O)上；

②由题意易得：当。O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况;

a、当00与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示:

由题意可得AB为。O的直径，

」.t=12；

b、当。O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，，连接OG并延长交AB于点M,过点O

作OHJ_BC交BC于点H,连接OF,如图所示：

/.OG1DC,GMXAB,HF=HB,

，四边形OMBH、GOHC是矩形，

/.OH=BM=GC,OG=HC,

vAB=BC=12cm,

・・・OH=6,

vCF=t,BF=12-t,

・•・HF==6--,CH=OG=OF=t+6—~=64--,

2222

在RsFOH中，OF2=OH2+FH2,即(6+(I=6?+(6—£f，

解得：t=3；

综上所述：当t=3或t=12时，。。与正方形ABCD的边相切；

③由(1)(2)可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；

当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条

线段，如图所示:

••10P即为圆心的运动轨迹，即0P=6cm.

故答案为6cm.

【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类

讨论思想解决问题.

【例2】（2022•吉林白山•八年级期末）（1）如图①，xOAB、△OCD的顶点O重合，且乙4+

NB+NC+4。=180。，则NAOB+NCOD=°；（直接写出结果）

（2）连接2。、BC,若4。、BO、CO,0。分别是四边形ABC。的四个内角的平分线.

①如图②，如果44。8=110。，那么NC。。的度数为；（直接写出结果）

②如图③，若乙40D=NB0C,48与CD平行吗？为什么？

【答案】（1）180；（2）①70。；@AB//CD,理由见解析.

【分析】（1）结合三角形三角和为180°,利用题目已知条件，计算结果，即可.

（2）①利用第一问的结果，计算，即可.

②利用四边形四角和为180°,计算得出乙DAO+乙4DO的度数，结合角平分线定理，得到

4/M8+乙4DC的和，利用平行直线的判定，证明，即可得出.

【详解】（1）+4B+4C++AAOB+乙DOC=360°,可得44。8+乙DOC=180°；

（2）①结合乙4OB+Z.DOC=1800.Z.AOB=110。,可得=70°；

©AB//CD,

理由是：因为4。、BO、CO、CO分别是四边形4BCD的四个内角的平分线，

所以4048=-/.DAB,Z.OBA=-Z.CBA,乙OCD=-Z.BCD,Z.ODC=-Z.ADC.

2222

所以〃MB+L.OBA+ZOCD+Z.ODC=g«DAB+ACBA+乙BCD+^.ADC）

在四边形ABCD中，4DAB+/.CBA+乙BCD+^LADC=360°.

所以4。48+Z.OBA+Z.OCD+乙ODC=|x360°=180°

在AOAB中，/-OAB+/-OBA=180°-AAOB.

在AOCD中，/.OCD+/.ODC=180°-/.COD.

所以180°-4AOB+180°-乙COD=180°.

所以NA0B+NC。。=180°

所以=360°-(乙AOB+4COD)=360°-180°=180°.

因为N40D=乙BOC,

所以"10。=乙BOC=90°

在N4。。中，ADAO+/.ADO=1800-Z.AOD=180°-90°=90°.

因为4ZMO=gz£MB,"。。=2DC,

所以:Z.DAB+；Z.ADC=90°.

所以NZMB+乙ADC=180°.

所以AB〃CD

【点睛】考查三角形内角和及平行线的判定，得到4D4B和NADC的关系是解题的关键.

【例3】(2020・四川眉山・一模)问题背景：如图1,等腰AABC中，AB=4C,NB4C=120。，

作AD1BC于点O,则。为BC的中点，^BAD=^BAC=60°,于是?=蜉=6；

2ABAB

迁移应用：如图2,AABC和△ZDE都是等腰三角形，^BAC=/.DAE=120°,D,E,C三

点在同一条直线上，连接BD.

①求证：^ADB=^AEC；

②请直接写出线段4D,8D,CD之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3,在菱形4BCD中，Z.ABC=120°,在乙4BC内作射线BM,作点C关于

的对称点E,连接4E并延长交于点儿连接CE,CF.

①证明△CEF是等边三角形；

②若4E=5,CE=2,求BF的长.

【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：CD=y/3AD+BD-,拓展延伸：①详见解析：②38

【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明=即可根据S4S解决问题：

②结论：CD=6AD+BD.由/ZMBW4E4C,可知BD=CE,在R^ADH中，DH=AD-

cos30°=叵AD，由4。=AE,AH1DE,推出DH=HE,由C。=DE+EC=2DH+BD=

2

y[3AD+BD,即可解决问题：

拓展延伸：①如图3中，作于H,连接BE.由BC=BE=8。=B4FE=FC,推

出4、D、E、C四点共圆，推出乙4DC=N4EC=120。，推出乙FEC=60。，推出4EFC是等

边三角形；

②由AE=5,EC=EF=2,推出4H=HE=2.5,FH=4.5,在RMBHF中，由zBFH=30°,

可得芸=cos30°,由此即可解决问题.

BF

【详解】迁移应用：①证明：如图2

U：ABAC=乙DAE=120°,

：.^DAB=Z.CAE,

在A/MB和△44C中，

DA=EA

{Z.DAB=乙EAC,

AB=AC

△DAB=△EAC»

②解：结论：CD=>/3AD+BD.

理由：如图2-1中，作4Hd.cD于

'：ADAB=AEAC,

：.BD=CE,

在中，DH=AD-cos30°=—AD，

2

u

：AD=AEtAH1DE,

：.DH=HE,

CD=DE+EC=2DH+BD=V3AD+BD;

拓展延伸：①证明：如图3中，连接BE,

:四边形ABCC是菱形，ABC=120°,

，△ABDABDC是等边三角形，

：.BA=BD=BC,

:E、C关于BM对称，

：.BC=BE=BD=BA,FE=FC,

:.A、D、E、C四点共圆，

：.^ADC=/-AEC=120°,

:.乙FEC=60°,

；.△EFC是等边三角形；

②解：作BH14E于H,'：AE=5,EC=EF=2,

：.AH=HE=2.5,FH=4.5,

在中，=30°,

.嗡=cos30。,

.•*/=号=3g

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的

判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅

助圆解决问题，属于中考压轴题.

【例4】（2022•全国•九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做

圆美四边形，其中这个角叫做美角.已知四边形4BCD是圆美四边形.

图:

（1）求美角乙4的度数;

(2)如图1,若。。的半径为5,求BD的长；

(3)如图2,若&4平分NBCD,求证：BC+CD=AC.

【答案】(1)60°；(2)5V3;(3)见解析

【分析】(1)根据美角的定义可得44=g/C,然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；

(2)连接DO并延长，交。。与点E,连接BE,根据同弧所对的圆周角相等可得/E=/A=60。,

然后根据直径所对的圆周角是直角可得/DBE=90。，最后利用锐角三角函数即可求出结论；

(3)延长CB至F,使BF=DC,连接AF、BD,先证出△ABD为等边三角形，然后利用

SAS证出△ABF四△ADC,从而得出AF=AC,NF=NDCA=60。，再证出△ACF为等边三角

形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论.

【详解】解：(1)根据题意可得：乙4=14。，而/A+NC=180。

ZA=60°

(2)连接DO并延长，交。。与点E,连接BE

ZE=ZA=60°

：DE为。。的直径，。。的半径为5,

.•./DBE=90°,DE=10

在RtADBE中，BD=DEsinNE=10x*=58；

(3)延长CB至F,使BF=DC,连接AF、BD

由(1)可知：ZBAD=60°,ZBCD=2ZBAD=120°

平分NBCD,

ZBCA=ZDCA=iz.eCD=60°

2

ZABD=ZDCA=60°

・・・ZADB=180°-ZABD-ZBAD=60°

•・.△ABD为等边三角形

，AB=AD

根据圆内接四边形的性质可得NABF=NADC

在^ABF^tlAADC中

(BF=DC

1/.ABF=Z.ADC

(AB=AD

.,.△ABF^AADC

，AF=AC,ZF=ZDCA=60°

ZFAC=1800-ZF-ZACF=60°

...△ACF为等边三角形

ACF=AC

；.BC+BF=AC

：.BC+CD=AC

【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角

函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的

性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及

性质是解决此题的关键.

培优训练

X._________________/

一、解答题

1.(2022•辽宁葫芦岛•一模)射线A8与直线交于点E,乙4%)=60。，点F在直线8

上运动，连接AF,线段A尸绕点4顺时针旋转60。得到AG,连接FG,EG,过点G作GH1AB

于点H.

A

图1图2

(1)如图1,点尸和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是；

(2)如图2,点尸和点G在射线AB的两侧时，线段EF,AE,G”之间有怎么样的数量关系？

并证明你的结论；

(3)若点尸和点G都在射线的同侧，AE=1,EF=2,请直接写出4G的长.

【答案】(1)HG—EG;

2

(2)G4=j(4E-EF)，证明见解析；

(3)在或也

22

【分析】(1)先证明△G4F是等边三角形得N4GF=60。，再证明点4、E、G、尸四点共圆，

得4GEF=/.GAF=60°,从而计算得至Ij/GE”=180°-^AED-AGEF=60°,最后在直角

三角形GEH中，求出空=tan/GE”=tan60°=立即可得到答案；

EG2

(2)在射线ED上截取EN=AE,连接AN,如图3,先证△4EN是等边三角形，得4E=AN,

Z.EAN=60°,再证〃ME=4FAN,从而得到△GAE三△FAN,进而得sin60。=处=立，

GE2

从而求得结论；

(3)分两种情况讨论求解GH的长，①当点尸和点G都在射线AB的右侧时，在射线EO

上取一点“，使得EM=EG,连接MG,如图4；②当点F和点G都在射线A5的左侧时，

在线段GE上取一点M使得NE=EF,如图5,通过构造三角形全等，利用三角函数求解即

可.

(1)

解：・.•线段AF绕点A顺时针旋转60。得到AG,

Z.GAF=60°,AG=AF,

AGAF是等边三角形，

•••AAGF=乙4"=60°,AG=AF=GF,

­.•ZAED=60°,

:.Z.AGF=Z.AED,

•・・点A、E、G、尸四点共圆，

・・・Z.GEF=Z.GAF=60°,

・•・乙GEH=180°-LAED-Z.GEF=60°,

・・•GHLAB.

・•・—=tan乙GEH=tan60°=在，

EG2

■■HG=—EG<

2

故答案为：HG=AG；

2

A

D

B

图1图2

(2)

解：在射线E£＞上截取EN=4E,连接AM如图3,

•・ZEO=60°,

•••△AEN是等边三角形，

：.AE=AN,/.EAN=60°

U

：AF=AGf4凡4G=60。，

AZ.GAE=乙FAN

：.△GAEZAFAN,

：.Z.GEA=乙FNA=60°,GE=FN

AE—EF=FN=GE,

\'GHLAB

•'•sin60°=—=^,

GE2

：

.GH=—2GE^

：.GH=^(AE-EF);

图3

(3)

①当点尸和点G都在射线AB的右侧时，在射线上取一点M,使得EM=EG,连接MG,

如图4,

v线段AF绕点A顺时针旋转60。得到AG,

•••Z.GAF=60°,AG=AF,

AGAF是等边三角形，

:.Z-AGF=Z.AFG=Z.FAG=60°,AG=AF—GF9

vZAED=60°,

・•・Z.AGF=Z.AED,

，点A、E、G、尸四点共圆，

:.Z.GEH=Z.GFA=60°,Z.GEF=Z.GAF=60°,

•・・EM=EG,

.・.△GEM是等边三角形，

.・・EM=GM=EG/EGM=60°,

:.Z-EGM=Z.EGA+Z-MGA=60°=4EGM=Z-MGF+乙MGA,

・・・£.EGA=Z.MGF,

・•・△EGA=△MGF,

:.MF=AE=1,

・・・GE=EM=EF-MF=2-1=1,

・・•GHLAB,

HG=sin乙GEH-EG=sin600-EG=—>

2

②当点尸和点G都在射线AB的左侧时，在线段GE上取一点N,使得如图5,

・・・Z.AGF=Z.AED=60°,

・••点A、E、G、尸四点共圆，Z-AEF=180°-Z-AED=120°

・・・Z.NGF=Z.EAD,AGEF=Z.GAF=60°,Z.AEG=Z.AFG=60°,

•:NE=EF,

：•ANEF是等边三角形，

・•・NE=EF=NF=\,Z.ENF=60°,

:.乙GNF=180°-Z.ENF=120°,

・•・Z.GNF=Z.AEF,

・・・AGNF三ZMEF,

・・・GN=AE=2,

GE=GN+NE=2+1=3,

VGHLAB,Z-AEG=60°,

GH=GE-sin60°=|V3,

图4

A

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定

及性质以及旋转图形的性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键.

2.(2022・上海宝山•九年级期末)如图，已知正方形ABCD,将绕点A逆时针方向旋转

九。(0<71<90)到42的位置，分别过点C、。作CE_LBP,DF1BP,垂足分别为点E、F.

p

AD

BC

(1)求证：CE=EF；

(2)联结CF,如果?求4/1BP的正切值;

CF3

(3)联结4F,如果求n的值.

2

【答案】(1)证明见解析；

(3)30

【分析】(1)作CG_LCE,交FD延长线于G点，可根据题意得出四边形尸ECG为矩形，再

结合矩形和正方形的性质推出△BCEGAOCG,从而得到CE=CG,即四边形FECG为正方形,

即可证得结论；

(2)在(1)的基础之上，连接CF,首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出ACEF

和ADFP均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出P尸和EF之间的关

系，从而表示出8E的长度，即可求出N8CE的正切值，再根据余角的关系证明NA8P-N8CE,

即可得出结论；

(3)根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、尸四点共圆，即可

得到在变化过程中，NAFC始终为90。，从而在ROACF中运用特殊角的三角函数值求解角

度即可得出结论.

(1)

:如图所示，作CGLCE,交FD延长线于G点,

\'CE±BP,DFLBP,CGLCE,

：.ZEFG=ZFEC=ZECG=ZBEC=90。,

四边形FECG为矩形，NG=90。，

•••四边形ABC。为正方形，

ZBCD=90°,BC=DC,

'：NBCD=NBCE+NECD,ZECG=ZECD+ZDCG,

：.ZBCE+ZECD=ZECD+ZDCG,

即：NBCE=NDCG,

在MCE和ADCG中，

/-BEC=ZG

乙BCE=乙DCG

BC=DC

：.>BCE妾△OCG(A4S),

：・CE=CG,

・・・四边形FECG为正方形,

：.CE=EF；

(2)

解：如图所示，连接CR

由(1)知，CE=EF,CELEF,则为等腰直角三角形,

由旋转的性质得：ZPAD=n°,AP=AD,

：.ZPAB=90°+n°ZAPD=-(180°-Z«4D)=90°--n°,

f22

'：AP=AB,

：.ZAPB=-(180。-/%8)=45。』〃。，

22

ZFPD=ZAPD-ZAPB=45°,

•:DFLAB,

：.ZDFP=90°,

•••△OO也为等腰直角三角形，PF=DF,

:•△DFPs^cEF,

..DP1

・了=7

.PF_DP_1

・.FE-CF-3’

设尸产=D尸三x,则尸E=CE=3x,

由(1)知四边形"FG为正方形，

：.FG=FE=3x,

：.DG=FG-DF=2xf

VABCE^ADCG,

:・BE=DG=2x,

：.在Rt&BEC中,tan/BCE=g=g=|,

V

ZABP^ZEBC=90°fNEBC+/BCE=94。,

：.NABP=NBCE,

2

tanZTlBP=tanZ-BCE=-；

3

(3)

解：V0<n<90,

如图所示，连接AF和对角线AC,

由(2)可知，NEFC=45°,ZEFD=90°,

：.NCFD=45。，

「AC为正方形ABC。的对角线，

：.ZCAD=45°,AC=^2AB,

：.ZCAD=ZCFD,

.•.点4、C、D,尸四点共圆，

ZAFC=ZADC=90°,

■:AF巫AB,

2

1

：.AF=^-AC

2t

则在放△从尸C中,sin^ACF=^=p

・・・NAC尸为锐角，

ZACF=30°,ZMC=90°-30°=60°,

•・■ZC/1D=45°,

ZMD=60°-45°=15°,

u

：AP=ADfAF=AF9PF=DF,

：./\AFP^/\AFDf

：.ZFAD=ZFAP=\50,

ZPAD=30°f

77=30.

【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直

角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键.

3.(2022•重庆市育才中学九年级期末)在等边A4BC中，D是边4c上一动点，连接BD,将BD

绕点。顺时针旋转120°,得到DE,连接CE.

(1)如图1,当B、A,E三点共线时，连接4E,若48=2,求CE的长；

(2)如图2,取CE的中点F,连接DF,猜想4。与。尸存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BE、4F交于G点.若GF=DF,请直接写出考咨的

BE

值.

【答案】(1),；(2)AD=2DF,证明见解析；(3)在

3

【分析】(1)过点C作CH_L4B于点H,根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理

求得=V3.进而求得8。=V3，在Rt△EHC中，HE=AH+AE=2,CH=V3.勾股

定理即可求解；

(2)延长至K,使得FK=DF,连接EK,KC,过点。作。P“BC,交48于点P,根据平行

四边形的性质可得，^EDA=/.KCA,证明A4PD是等边三角形，进而证明△ABD^ACK,

即可证明A/IKD是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可

得ZD=2DF；

(3)过点。作。M±8E于点M,过点。作。N1AB,连接MF,交4C于点H,过点。作DN1AB,

交BE于点R,过点R作RQ于点Q,先证明/EMF=45。，结合中位线定理可得/EBC=

45°,进而可得NNBD=45。，设4N=DF=1,分别勾股定理求得4凡ND,BD,MB,进而根

据CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF求得CO+AB,即可求得^^^^的值

BE

【详解】(1)过点C作CHJ.4B丁点H,如图

•••将BD绕点D顺时针旋转120°,得到OE,

•••BD=DE/BDE=120°

乙DBE=4DEB=30°

•••△ABC是等边三角形

Z.ABC=60°,AB=AC,AH=^AB=1

ACW=V3

v乙CBD=/.ABC-/.ABD=30°

BD1AC,AD=DC=-AB=1

2

・・・BD=M

•・•乙BAC=60°

・•・Z.EAD=120°

••・/-ADE=180°-Z.EAD-LAED=30°

・•・/.AED=Z.ADE

・•・AE=AD=1

在RMEHC中，HE=AH+AE=2,CH=y/3

EC=y/HE2+HC2=J22+(V3)2=V7

(2)如图，延长DF至K,使得FK=DF,连接EK,KC,过点。作。P/C,交AB于点P,

E

•・,点F是CE的中点

・・・FE=FC

又FK=DF

，四边形CD/K是平行四边形

:・ED=KC,ED^KC

・•.Z.EDA=Z.KCA

•・・将BO绕点。顺时针旋转120°,得到OE,

・・・BD=DE/BDE=120°

・•・BD=KC

vAZBC是等边三角形

・・・AB=AC

vPDnBC

・・・^APD=AABC=60°,乙CBD=乙PDB,

・•・△4PD是等边三角形

・•・AD=AP

vAB=AC

・•・DC=PB

设乙CBD=a,则4PDB=a,

・・乙乙

•ABD=Z.APD—PDB=60°—afZ-ADB=60°+a

Z.ADE=Z.BDE-/LADB=120°一(60+a)=60。-a

vED^KC

・••乙ACK=Z.ADE=60。-a

・・•乙ABD=乙ACK

△ABD=△ACK

・・.AK=AD^KAC=/-DAB=60°

・•・△4KD是等边三角形

vDF=FK

・・・Z.FAD=-^.KAD=30°,AF1DF

2

1

・・・DF=-AD

2

即4。=2DF

(3)如图，过点。作OMIBE于点M,过点。作DN_LA8,连接MF,交AC于点H,过点。作

DNtAB,交BE于点R,过点R作RQ_L8。于点Q,

•・.ZGMD=Z.GFD=90°

・・,8,D,F,G四点共圆

・・・乙FGD=Z.FMD

由(2)可知4FJ_Z)F,Z,FAD=30°

・•・Z.ADF=60°

•:FG=FD

・・・乙FDG=Z-FGD=45°

乙FGD=4FMD=45°

・・・将BD绕点。顺时针旋转120°,得到。E,

・•.BD=DE,4DE=120。

1

・・・MB=ME=”E

2

•・・F是EC的中点，

・・.MF是的中位线

AMF^BC

・•・乙EBC=乙EMF=45°

・・•Z.ABC=60°

・•・乙ABE=/-ABC-乙EBC=60°-45°=15°

V乙NBD=AABE+乙EBD=15°+30°=45°

MBD是等腰直角三角形

•••ND=NB

"ABAC=60°

•••Z.BAF=/.BAD+Z.DAF=90°

v/.AFD=90。,DN1AB

四边形ANDF是矩形

ND=AF,AN=DF

设4N=DF=1

在RtA/WE中，AD=2DF=2

AF=y/AD2-DF2=V3

AB=AN+NB=AN+ND=AN+AF=1+y/3,

：.DC=AC-AD=AB-AD=l+y/3-2=>/3-1

在Rt△NBD中,ND=NB=AF=43

BD=y[2NB=V6

在Rt△MB。中MB=7BD2—MD2=—BD=—

22

BE=2BM=3V2

•••CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF=2(V3-1+1)=273

.CD+AB_2>/3_>/6

"BE-3y/2-3

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性

质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形

的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键.

4.(2022•黑龙江•哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末)在平面直角坐标系中，抛物线y

=362-10ar+c分别交x轴于点A、B(A左8右)、交y轴于点C,且0B=0C=6.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为f,连接8C,过点P作BC

的垂线交x轴于点力，连接8,设△BCD的面积为S,求S与，的函数关系式(不要求写

出t的取值范围);

(3)如图3,在(2)的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E,连接E0、

EC、ED,且NEOC=45。，点N在第一象限内，连接ON,DN/C,点G在Z)E上，连接

NG,点M在ON上，NM=EG,在NG上截取NH=NM,连接MH并延长交C£>于点/，过

点、H作HKLFM交ED于点、K,连接FK,若NFKG=NHKD,GK=2MN,求点G的坐标.

【答案】(1)y=-12+友+6；(2)S=-#+：t+36；(3)G(-t?)

84o455

【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)分类讨论，过点P作PQ1x轴于点Q,①当点。在x轴正半轴时，②当点。在x轴负半轴时，

求得BD=一(2+[t+12根据SABCD=^FDxOC=|x6x(-|t2+it4-12)即可求得；

(3)延长DN至R,使得NR=EG,连接HR,KM,FR.FG,求得点E,D的坐标，证明AECD是

等腰直角三角形，设NFKG=乙FMR=a,乙FKR=2/?,设EG=a,贝I」GK=2a,MN=NR=

a,证明△尸DM三AFCK,4FHK-△GDN,△FRM三△FGK,进而证明四边形FGDR是

正方形，延长DE至W,使EW=EG=a,则WK=2GK=4a,进而证明四边形WFRK是平

行四边形，求得黑=翁=：,分别过E,G作x轴的垂线，垂足为UW，根据平行线的分线段成

ED5a5

比例和相似三角形的性质求得点G的坐标

【详解】解：(1)OB=0C=6,

・•・8(6,0),C(0,6),

,••抛物线y=3oy2-lOm+c分别交x轴于点A、3(A左8右)、交y轴于点C,

.(3ax62—10ax64-c=0

Ic=6

解得k=t,

Ic=6

・•・抛物线的解析式为y=-1X2+5X+6；

84

(2)如图，过点P作PQ_Lx轴于点Q,①当点。在x轴正半轴时，

♦.・抛物线的解析式为y=-|x2+；x+6,点尸在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为

t,则

,Q(t,O),

VZ.BOC=90。,。8=0C=6

・・.△OBC是等腰直角三角形

・•・乙CBO=45°

vPD1BC

・•・Z.PDQ=45°

即APOQ是等腰直角三角形

35

・•・PQ=DQ=--t29+-t+6

84

v0Q=t

/35\31

二0D=0Q—DQ=t—I--t294--t+6l=-t92--t—6

\84/84

/31\31

***BD=6_0D=6—(-t29—-1—6)=-7?I?9+"71+12

〈84/84

②当。在％轴负半轴时，如图，

22

=6+0D=6+DQ-0D=6+(-|t+|t+6)-t=-|t4-it+12SABCD=

—BDxOC=-x6x(—七2-|—t+12)=3x(—t?d—t+12)=—产-j—t+36

22\84J\84784

综上所述：S=-^t2+|t4-36(|<t<6)

(3)如图，延长DN至R,使得NR=EG,连接HR,KM,FR,FG

・・.E到%,y轴的距离相等，且在第二象限，即点£在丫=一》上,

35

y=--%24--%4-6

84

y=-x

解得｛—/晨4

E(-2,2)

C(0,6)

EC=々2+(6-2/=2V5

•••E在线段CD的垂直平分线上，

AED=EC=2V5

设。(d,0)(d>0),则DE?=(d+2)2+22=(2A/5)2

解得d=2

0(2,0)

CD=y/22+62=2V10

CD2=40,ED2+EC2=40

.•.△ECD是等腰直角三角形

•••4EDC=45°

•••DN^EC

ND1ED

AARDC=45°

•・•HK1FM,乙EDR=90°

/.Z-HKD+乙HMD=180°

又上HMD+乙HMR=180°

:.乙HKD=Z.HMR

•・・Z,FKG=乙HKD

:.Z.FKG=Z-FMR

设NFKG=乙FMR=a,Z.FKR=2£

则NFKG+"MR+乙FKR=2a+2/?=180°

即Q+£=90。

•・•NM=NH

・・・Z,NHM=乙NMH=a

:.乙MNH=180°-乙NMH-Z.NHM=180°-2a=20乙MNH=20

・・•NH=NR

:.Z-NRH=0

•・•乙KDR=90°,Z.HKD=a,HRD=£,a+£=90。

・・・K,〃,R三点共线

设EG=a,则GK=2a,MN=NR=a

在AFOM与AFOK中

乙FMD=180°-tFMR=180°-a,Z-FKD=180°-乙FKG=180°-a,

・•・乙FMD=乙FKD

vZ.RDG=90°,/-FDG=45°

・・・"DM=Z.FDK=45°

又F。=FD

/.△FDM=△FDK

・・・FK=FM,KD=MD

・・・MD+MR=DK+GK

即GO=RD

・•.△KDMAGDR是等腰直角三角形

在四边形FKDM中，Z-KDM=90°,Z-FKD=FMD=180°-a

・・・Z-KFM=360°-90°-2(180°-a)=2a-90。=2a-(a+0)=a-£

在与△GON中

•・・Z.FHK=Z-GDN=90°,Z-FKH=Z-GND=20

・・・AFHK~△GDN

・•・乙NGD=Z.KHF=a—£

・・・Z.HGK=乙HFK,HK=HK

・・・GK,H,F四点共圆

・・・HK1FM

・•.Z,FHK=90°

・•・乙FGK=90°

・•・(GFK=90°-乙FKG=90°-a=/?

在△尸RM与△尸GK中

MR=KG=2a

Z.FKG=Z.FMR=a

FM=FK

・・・&FRM=AFGK

・•・乙RFM=JLGFK=p

・•・乙GFR=2/3+乙KFM=2£+a—£=a+£=90°

・•・乙RFG=乙FGD=乙GDR=90°

二四边形FGDR是矩形

又GD=DR

・•・四边形FGDR是正方形

如图，延长DE至W,使EW=EG=a,则WK=2GK=4Q

vFG1WK

・•・乙KFG=zlVFG=p

・・・Z.WFH=Z.WFG+乙GFK+乙KFM=6+夕+Q一£=90。