高考文科数学一轮复习练习第八篇第6节　抛物线

第6节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用1,7,10抛物线的标准方程及应用2,4直线与抛物线的位置关系3,5,8,10,13抛物线的综合应用6,9,11,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·北京西城区模拟)若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a等于(C)(A)±1 (B)±2 (C)±4 (D)±8解析:由抛物线的性质可知,交点与准线之间的距离为|a即|a|2=2⇒2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=2,|PQ|=4,则抛物线的方程是(A)(A)y2=4x (B)y2=8x(C)y2=2x (D)y2=6x解析:由抛物线的定义知|PQ|=x1+x2+p=4,又x1+x2=2,所以p=2,即抛物线的方程是y2=4x.故选A.3.(2017·广东韶关调研)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交该抛物线于A,B两点,点A在第一象限,若|AF|=3,则直线l的斜率为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)22解析:由题可知焦点F(1,0),准线为x=1,设点A(xA,yA),B(xB,yB),由|AF|=3,得xA=2,即A(2,22),故直线l的斜率为22.4.(2017·安徽安庆二模)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,动点Q在C上,圆Q的半径为1,过点F的直线与圆Q切于点P,则FP→·PQ(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:FP→·FQ→=|FP→|2=|FQ→|2r2=|由抛物线的定义知|FQ→d为点Q到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,|FQ|min=2,所以(FP→·FQ→)故选C.5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,A在x轴上方,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(B)(A)y2=32x (B)y2(C)y2=92x (D)y2解析:设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D(图略),设|BF|=a,则|BC|=2a,由定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,因为|AF|=3,|AC|=3+3a,所以2|AE|=|AC|,所以3+3a=6,从而得a=1,因为BD∥FG,所以1p=23,解得p=因此抛物线方程为y2=3x.故选B.6.导学号94626212(2017·河北邯郸一模)已知M(x0,y0)是曲线C:x22y=0上的一点,F是曲线C的焦点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若MF→·MN(A)(1,0)∪(0,1) (B)(1,0)(C)(0,1) (D)(1,1)解析:由题意知曲线C为抛物线,其方程为x2=2y,所以F(0,12)根据题意可知,N(x0,0),x0≠0,MF→=(x0,12y0),MN→所以MF→·MN→=y0(12y即0<y0<12因为点M在抛物线上,所以有0<x022又x0≠0,解得1<x0<0或0<x0<1,故选A.7.若点P到直线y=1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是.

解析:由题意可知点P到直线y=3的距离等于它到点(0,3)的距离,故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点,以y=3为准线的抛物线,且p=6,所以其标准方程为x2=12y.答案:x2=12y8.已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2=2x交于A,B两点,且P是弦AB的中点,则直线AB的方程为.

解析:依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y12=2x1,y22=2x2,两式相减得y12y22=2(x答案:xy1=09.一个顶点在原点,另外两点在抛物线y2=2x上的正三角形的面积为.

解析:设三角形的另外两点是A,B,根据对称性,A,B关于x轴对称,故∠AOx=30°.直线OA的方程y=33代入y2=2x,得x26x=0,解得x=0或x=6.即得A的坐标为(6,23).所以|AB|=43,正三角形OAB的面积为12×43×6=123答案:123能力提升(时间:15分钟)10.导学号94626213抛物线C1:y2=2px和圆C2:(xp2)2+y2=p24,其中p>0,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2从下至上于A,B,C,D四点,则AB(A)p2 (B)p24 (C)p解析:设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF||BF|=x1+p2p2=x同理|CD|=x2.故AB→·CD→=|AB||CD|=x1·x2=11.导学号94626214(2017·江西九江三模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线E上位于第一象限内的任意一点,Q是线段PF上的点,且满足OQ→=23OP(A)22 (B)3 (C)2 (D)解析:设P(x0,y0),Q(x,y),F(p2,0),由OQ→=23OP→+13OF→可得OQ→OP→=13OF→13OP→,即PQ即x=4x0+p6,y=23y0,所以k根据y02=2px0得kOQ=4y02y02p+p=412.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23y23=1相交于A,B两点,若△解析:在等边三角形ABF中,AB边上的高为p,AB2=3所以B(±33p,p2又因为点B在双曲线上,故p23答案:613.(2018·广西质检)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=12|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过点A,B作直线x=2的垂线,垂足分别为D,E,因为|PA|=12|AB|,所以3(x1+2)=x2+2,23,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+23=答案:514.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC→=OA→+λOB→解:(1)直线AB的方程是y=22(xp2)与y2=2px联立,从而有4x25px+p2=0.所以x1+x2=5p由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而抛物线方程为y(2)由于p=4,则4x25px+p2=0即x25x+4=0,从而x1=1,x2=4,于是y1=22,y2=42,从而A(1,22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC→=(x3,y3)=(1,22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ22又y32=8x3,即[22(2λ1)]2=8(4整理得(2λ1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.15.(2017·安徽马鞍山三模)已知曲线C:y2=4x,M:(x1)2+y2=4(x≥1),直线与曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点.(1)若OA→·OB(2)若直线与曲线M相切,求MA→·MB解:(1)由已知,可设l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+所以y1+y2=4m,y1·y2=4n.所以x1+x2=4m2+2n,x1·x2=n2所以由OA→·OB→=4可得x1·x2+y