与三角形有关的线段 人教版八年级数学上册 教材辅导讲义（人教版）

与三角形有关的线段知识点讲解知识点讲解例题点拨：确定三角形个数的方法例题点拨：确定三角形个数的方法（1）按图形形成的过程数（即重新画一遍图形，按三角形形成的先后顺序数）；（2）从图形中的某一条线段开始沿着一定的方向数；（3）先固定一个顶点，变换另外两个顶点来数。知识点1三角形的有关概念定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形基本元素：（1）顶点（2）边（3）角【例1】如图所示，（1）图中共有多少个三角形？请把它们写出来。（2）线段AE是哪些三角形的边（3）∠B是哪些三角形的角【变式练习】（1）如图所示，图中共有______个三角形，它们分别是______________________以AD为边的三角形有__________________∠C分别为△AEC，△ADC，△ABC中_____________________边的对角△AED的三边是_____________，三个内角是____________________知识点2三角形的分类等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形。按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。按边分：①三边都不相等的三角形例题点拨：判断三角形形状的方法确定其分类标准，看是按内角大小分类还是按边分的相等关系分类。若按内角的大小分类，则看这个三角形的最大角是哪一类角；若按边的相等关系分类，则看是否有边相等。②等腰三角形：底边和腰不相等例题点拨：判断三角形形状的方法确定其分类标准，看是按内角大小分类还是按边分的相等关系分类。若按内角的大小分类，则看这个三角形的最大角是哪一类角；若按边的相等关系分类，则看是否有边相等。【例2】下列说法正确的是（）A.直角三角形一定不是等腰三角形B.等腰三角形一定不是锐角三角形C.钝角三角形一定不是等腰三角形D.等边三角形一定不是钝角三角形【变式练习】给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形、和三边都不相等三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【例3】根据下列所给的条件，判断△ABC的形状。（1）∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°；（2）∠C=120°（3）∠C=90°（4）AB=BC=5,AC=8【变式练习】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能知识点3三角形的三边关系☞重点三角形的三边关系：三角形两边的和等三边。三角形两边的差_______第三边。例题点拨：确定三角形第三边的长的依据已知三角形两边的长，求三角形第三边的长，则已知两边的长的差（长边长—短边长）＜第三边长＜已知两边的长的和；同时需要注意，若有附加条件，则再根据附加条件进行判断和计算。应用：（1例题点拨：确定三角形第三边的长的依据已知三角形两边的长，求三角形第三边的长，则已知两边的长的差（长边长—短边长）＜第三边长＜已知两边的长的和；同时需要注意，若有附加条件，则再根据附加条件进行判断和计算。（2）三角形的一边x的取值范围：<x<另两边之和【例4】下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（）A.3,3,3B.3,4,5C.10,6,5D.9,3,5【变式练习】1.一个三角形的两条边长是3和7，则第三边长可能是（）A.1B.2C.8D.112.已知等腰三角形的两边长分别为3，4，则这个等腰三角形的周长为（）A.7B.11C.7或10D.10或11知识点4三角形的高，中线与角平分线☞重难点1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。注意：任意三角形都有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，三条高的交点为直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形的外部，另外一条高在三角形的内部，三条高所在的直线交于三角形外一点例题点拨例题点拨：判断一条线段是否为三角形的高，关键是看这条线段的端点，若这条线段的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是垂足，则这条线段是三角形的高，否则不是。【例5】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高是（）【变式练习】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都不对2.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线。例题点拨：在一个三角形中，由中线割分的两个三角形的周长之差等于原三角形中除这条中线所在的边外的两边之差。注意：（例题点拨：在一个三角形中，由中线割分的两个三角形的周长之差等于原三角形中除这条中线所在的边外的两边之差。（2）三角形三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。【例6】如图，点D是边AB的中点，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长。【变式练习】如图，在△ABC中，D为AC上一点，AD=DC，E为BC上一点，BE=EC，则下列说法不正确的是（）A.DE是△BDC的中线B.BD是△ABC的中线C.D为AC的中点，E为BC的中点D.DE是△ABC的中线例题点拨例题点拨：画图要注意四点（1）要用量角器和刻度尺，准确测量角度和线段长，不要随意估计；（2）三角形的角平分线，中线，高线都是线段，不要画成射线或直线（3）BC边上的高AF的端点F在CB的延长线上，要用虚线画出CB的延长线。（4）要养成标记字母的习惯3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线注意：（1）三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线。（2）三角形三条角平分线交于一点，这个交点在三角形内。【例7】如图所示，已知△ABC，按要求画图：（1）画出△ABC的角平分线BD，并指出相等的角（2）画出△ABC的边BC上的中线，并指出相等的线段。（3）在（1）和（2）的基础上画出△ABC的边BC上的高，并指出图中所有的直角三角形。【变式练习】如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（）A.BD是△ABC的角平分线B.CE是△BCD的角平分线C.∠3=∠ACBD.CE是△ABC的角平分线知识点5三角形的稳定性三角形的三边确定后，这个三角形的形状，大小就确定了，这就是三角形的稳定性例题点拨：例题点拨：稳定性是三角形所特有的特征，四边形及四边以上的图形都不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形。【例8】王师傅用4根木条钉成一个四边形的木架，如图所示，要使这个木架不变形，他至少还要钉上几根木条（）A.0根B.1根C.2根D.3根【变式练习】如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A.两点之间，线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.三角形的稳定性课堂检测课堂检测1.图中三角形的个数为（）A.3B.4C.5D.62.下列说法正确的是（）A.所有等腰三角形都是锐角三角形B.等边三角形是锐角三角形C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形D.一个三角形中有两个锐角，则一定是锐角三角形3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.4cm5cm9cmB.8cm8cm15cmC.5cm5cm10cmD.6cm7cm14cm4.如图，AD⊥BC于点D，AE是△ABD的中线，则以AD为高的三角形有（）A.3个B.4个C.5个D.6个5.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（）A.三角形的稳定性B.两点确定一条直线C.两点之间，线段最短D.长方形的四个角是直角。6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，则AB边上的高CD的长为______7.如图所示，已知△ABC的周长为27cm，AC=9cm，BC边上中线AD=6cm，△ABD的周长为19cm，AB=______8.如图所示，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则=_______9.一个三角形的周长是奇数，且其中两条边长为7和8，则周长的最大值是________10.如图所示，A，B，C分别是线段,,的中点，如果△ABC的面积是1，那么△的面积是______11.如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高、角平分线和中线（1）写出图中所有相等的角和相等的线段。（2）当BF=8cm，AD=7cm时，求△ABC的面积12.有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种划分方案以供选择（画图说明）13.如图所示，在小河的同侧有A，B，C，D四个村庄，图中线段表示道路，邮递员从A村送信到B村，总是走到C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么？请你用所学的数学知识说明其中的道理。课后作业课后作业1.已知三角形的三边分别为2,a,4，那么a的取值范围是（）A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62.已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，则它的周长为()A.10B.13C.17D.13或173.用长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边的长为4cm,则该等腰三角形的腰长为（）A.4cmB.6cmC.4cm或6cmD.4cm或8cm4.已知△ABC的三边长a,b,c均为整数，且a和b满足，求△ABC中c边的长。5.回答下列问题如图①，共有个三角形；如图②，共有个三角形；如图③，共有个三角形；...按这样的规律，第n个图共有个三角形。6.（1）四边形不具稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。（2）五边形不具稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。六边形不具稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。n(n≥4)边形不具稳定性，要使n边形木架不变形，至少要再钉上根木条。7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,点D是BC上的点，DE⊥AB于点E，且CD=DE。（1）求S△ABC；