正方的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练（人教版）（解析版）

专题17正方形的判定与性质

★知识归纳

•正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点梳理：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形,

正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

•正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边一一四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角一一四个角都是直角；

3.对角线一一①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点梳理：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

•正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即

矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.

•特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为:

1

•顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点梳理：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

(1)若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

(2)若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

(3)若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

★实操夯实

一.选择题(共15小题)

1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是()

A.四条边相等，四个角相等

B.对角线相等

C.对角线互相垂直

D.对角线互相平分

2

【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分.

故选：D.

2.已知四边形48co是平行四边形，下列结论中正确的有（）

①当AB=BC时，它是菱形；②当ACLBOfI寸，它是菱形；

③当/ABC=90°时，它是矩形；④当4c=8。时，它是正方形.

A.3个B.4个C.1个D.2个

【解答】解：•.•四边形ABC。是平行四边形，

...当AB=8C时，它是菱形，故①正确，

当时，它是菱形，故②正确，

当乙4BC=90°时，它是矩形，故③正确，

当AC=B£＞时，它是矩形，故④错误，

故选：A.

3.如图，已知E是正方形A8CD对角线4c上一点，且AB=AE,则NDBE度数是（）

A,_____________P

A.15°B.32.5°C.22.5°D.30°

【解答】解：•.•AC、8O是正方形A8C。对角线,

：.ZBAE=ZABD=45°,

又AB=AE,

二NABE=NAEB=67.5°

3

：.ZDBE=61.5°-45°=22.5°,

故选：C.

4.已知四边形48co是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当AB=BCH寸，四边形ABC。是菱形

B.当4c=B力时，四边形A8C£＞是正方形

C.当ACLBQ时，四边形A8CO是菱形

D.当N4BC=90°时，四边形ABC。是矩形

【解答】解：4、当48=8C时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形A8c。是菱形，故该选项不符

合题意；

B、当4c=80时，由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形48CD是矩形，故该选项符合题意；

C、当AC_L8。时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形48C。是菱形，故该选项不符合题意；

。、当/A8C=90°时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形488是矩形，故该选项不符合题意；

故选:B.

5.如图，已知四边形ABC。是正方形，E是AB延长线上一点，且BE=BD,则/BDE的度数是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°

【解答】解：

:.NBDE=NE,

"：NDBA=NBDE+NBED=45°

AZBDE=Ax45°=22.5°.

2

4

故选：A.

6.如图，点。、E、尸分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）

A.四边形尸一定是平行四边形

B.若平分/A,则四边形AEQF是正方形

C.若AO_L8C,则四边形AEDF是菱形

D.若N4=90°,则四边形4ED尸是矩形

【解答】解：A、；点。、E、尸分别是AABC三边的中点，...CE、。/为△A2C得中位线，

.'.ED//AC,且EZ）=-^AC=AF；同理KDF=^AB=AE,

22

...四边形AEO尸一定是平行四边形，正确.

B、若AO平分/A,如图，延长AO到M,使。M=AC,连接CM,由于3D=C£>,DM=AD,

/ADB=NCDM,

：./\ABD^^\MCD(SAS),

：.CM=AB,

又,.•/D4B=/C4。，

ZDAB=ZCMD,

：.ZCMD=ZCAD,

5

：.CA=CM=AB,

平分/&AC,

.'.AD1.BC,

贝ij△ABD也△ACO：AB=AC,AE=AF,

结合（1）四边形4EC尸是菱形，因为N84C不一定是直角

.••不能判定四边形AEDF是正方形；

C、若AQJ_BC,则△4BDgAAC£）；AB=AC,AE=AF,结合（1）四边形AEDF是菱形，正确;

D、若NA=90°,则四边形AED尸是矩形，正确.

故选：B.

7.已知四边形48co是平行四边形，AC,8。相交于点0,下列结论错误的是（）

A.OA=OC,OB=OD

B.当AB=C。时，四边形A8CD是菱形

C.当/ABC=90°时，四边形ABC。是矩形

D.当AC=BO且ACJ_8。时，四边形ABC£＞是正方形

【解答】解：4、根据平行四边形的性质得到OA=OC,OB=OD,该结论正确；

B、当A5=CD时，四边形ABCQ还是平行四边形，该选项错误；

C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；

D、当AC=B。且ACL8。时，根据对角线相等可判断四边形48co是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边

6

形ABC。是菱形，故四边形A8CQ是正方形，该结论正确;

故选：B.

8.如图，在正方形A8CO中，边长为2的等边三角形AQ的顶点E、尸分另U在8c和上，下列结论：①CE=

CF；②NAE8=75°；（3）BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+«,其中正确的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【解答】解：•••四边形ABC。是正方形,

：.AB^=AD,

•.•△4E尸是等边三角形，

：.AE=AF,

在Rt/\ABE和RtZsAO/中，

[AB=AD,

IAE=AF'

ARtAAB£^RtAADF(HL),

：.BE=DF,

•:BC=DC,

：.BC-BE^CD-DF,

：.CE=CF,

①说法正确；

'：CE=CF,

...△£CF是等腰直角三角形,

7

：.ZCEF=45°,

VZAEF=60°,

二NAE8=75°,

...②说法正确；

如图，连接AC,交EF于G点、,

：.AC±EF,且AC平分EF,

,：ZCAF^ZDAF,

:.DF丰FG,

；.BE+DFWEF,

③说法错误；

♦；EF=2,

:.CE=CF=®

设正方形的边长为a,

在RtAADF中,

AD1+DF2=AF2,即a+（a-圾）2=4,

解得〃二返士尼，

2

则〃2=2+，§,

S正方形A8C0=2+V3-

④说法正确，

故选：D.

8

9.如图，已知在正方形A5CQ中，AQ=4,£,尸分别是CD,BC上的一点，且NE4F=45°,EC=1,点G在CB

延长线上且G8=OE,连接ER则以下结论：①DE+BF=EF,②8F=',③4产=平，④5徵用=军中正确

的个数有（）个.

C.3D.4

【解答】解：,・•四边形4BCO是正方形，

：.AB=BC=CD=AD=4,NO=/A8G=90°,

V£C=1,

:.GB=DE=\f

：.AE=AG=5f

即绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△48G重合,

：.ZDAE=ZBAG,

VZEAF=45°,

：.ZDAE+ZBAF=45°=ZGAB^^BAF=ZGAF=45°,

,.・AG=AE,ZFAE=ZFAG=45°,AF=AFf

在△ARE和△AFG中，

9

AG=AE

NFAE=NFAG，

AF=AF

.♦.△AFE四△AFG(SAS),

：.EF=FG,

■:DE=BG,

:.EF=FG=BG+FB=DE+BF,故①正确；

•.,BC=CO=AC=4,EC=1,

：.DE=3,

设B尸=x,则EF=x+3,CF=4-x,

在Rtz^EC尸中，(x+3)2=(4-x)2+l2,

解得x=4，

7

:.BF=&,故②正确;

；.AF=、AB2+BF2=J16+^1=2)^'故③错误；

G尸=3+4=至，

77

•••SAAEF=S^AGF=—ABXGF=±x4X=-^2.,故④正确.

2277

所以正确的有①②④，共3个.

故选：C.

10.如图，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A,已知GD=5,则FG为（）

10

A.3B.3.2C.4D.4.8

【解答】解：；G是边长为4的正方形ABC。边上一点，矩形。EFG的边EF经过点A,GD=5,

.*./C=/E=90°,NEDG=NADC=90°,ED=FG,AD^CD=4,

：.ZEDA=ZCDG,

:AEDAs/XCDG,

.EDAD

CDGD

即典•二,

45

解得,ED=3.2,

；.FG=3.2,

故选:B.

II.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABC。的顶点。在y轴上且A(-3,0),B(2,b),则正方形A8CD

的面积是()

A.20B.16C.34D.25

II

【解答】解：作轴于M.

・・•四边形48co是正方形，

：.AD=ABfZDAB=90°,

・・・NOAO+N3AM=90°,ZBAM+ZABM=90Q,

：.ZDA0=ZABMf

VZA0D=ZAMB=90Q,

.•.在△D4。和△A8M中，

'NDA0=NABM

,ZAOD=ZAMB=90°

AD二AB

：.^DAO^/\ABM(A45),

：.0A=BMfAM=0Df

VA(-3,0),B(2,b),

：.0A=3,0M=2,

：.OD=AM=5,

・・AQ=+5—V34，

J正方形ABCD的面积=34,

故选：C.

12.如图，A£＞是△ABC的角平分线，DE,。尸分别是△"£＞和△ACO的高，得到下列四个结论：®0A=0D；②A。

12

±EF；③当NA=90°时，四边形AEZ）尸是正方形；④AE+QF=AF+DE.其中正确的是（)

C.①③④D.②③④

【解答】解：如果04=0。则四边形AE力尸是矩形，没有说/A=9（T,不符合题意，故①错误;

•••4。是△ABC的角平分线,

：.4EAD=ZFAD,

，ZEAD=ZFAD

在△AE£>和△AFO中，(NAED=NAFD=90°，

AD=AD

A(AAS),

：.AE=AF,DE=DF,

：.AE+DF=AF+DE,故④正确：

，AE=AF

•.•在△AE。和△AF。中，，ZEAO=ZFAO>

AO=AO

A/XAEO^^AFO(SAS),

:.EO=FO,

又,.•AE=A凡

AO是EF的中垂线，

：.AD±EF,故②正确；

•.•当NA=90°时，四边形4EDF的四个角都是直角,

...四边形AEO尸是矩形,

13

又,：DE=DF,

...四边形AEDF是正方形，故③正确.

综上可得：正确的是：②③④，

故选：D.

13.如图，已知E,尸分别为正方形ABC。的边AB,BC的中点，AF与DE交于点M,。为的中点，则下列结

论：①NAME=90°,②NBAF=NEDB,（3）AM=-^-MF,@ME+MF=^MB.其中正确结论的有（）

3

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解：在正方形A8CO中，AB=BC=AD,NA8C=/8AQ=90°,

：E、F分别为边A8,BC的中点，

：.AE=BF^^BC,

2

'AE=BF

在△ABF和△D4E中，，ZABC=ZBAD-

AB=AD

A/\ABF^/\DAE(SAS),

:.NBAF=/ADE,

VZBAF+ZDAF^ZBAD=90°,

：.ZAME=180°-ZAMD=180°-90°=90°,

故①正确：

是△A8O的中线，

14

，NADErNEDB,

：.ZBAF^ZEDB,

故②错误；

设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,

在RtAABF中，AF==匾i,

VZBAF=ZMAE,NA8C=NAME=90°,

.../\AME^/\ABF,

•AM_AEgpAM=a

*ABAF'2a巫a'

解得：AM=2Y£“，

5

：.MF=AF-AM=y[^i-

55

，AM=2历凡

3

故③正确：

如图，过点时作知乂1_48于M

则迎=坦£=迎

'BFABAF'

2场

叩MN=AN=F—a

a2aa

解得AfN=2a,AN——a,

55

.,.NB=AB-AN=2a--a=—a,

55

根据勾股定理，BM={BN+MN2=2'Ia，

25。

♦；ME+MF=返什运『里,MMBRX咨二"

55555

15

：.ME+MF=y/2MB.

综上所述，正确的结论有①③④共3个.

故选:B.

14.如图，已知四边形A8CD是边长为4的正方形，E为CD上一点,且DE=1,尸为射线8c上一动点，过点E

作EG,”于点P,交直线AB于点G.则下列结论中：①4F=EG；②若则尸C=PE；③当

NCPF=45°时，BF=1：④PC的最小值为任-2.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：连接过E作E”_L42于H,

则EH=BC,

•；AB=BC,

：.EH=AB,

'：EGYAF,

：.ZBAF+ZAGP^ZBAF+ZAFB=90Q,

：.ZEGH=ZAFB,

16

NB=/EHG=90°,

:•△HEG94ABF(A4S),

：.AF=EG,故①正确；

YAB//CD,

：.NAGE=NCEG,

ZBAF+ZAGP=90°,ZPCF+ZPCE=90°,

*：NBAF=/PCF,

：./AGE=NPCE,

：.ZPEC=ZPCEf

:・PE=PC；故②正确；

连接“，

NEPF=NFCE=9C,

:•点、E、P、F、。四点共圆，

：./FEC=NFPC=45°,

:.EC=FC,

：.BF=DE=lf

同理当尸运动到C点右侧时，此时/尸PC=45°,且£、P、C、尸四点共圆，EC=FC=3,故此时B/=8C+C/

=4+3=7.因此B产=1或7,故③错误；

取A石的中点O,连接P。，CO,

：.AO=PO=—AE,

2

VZAPE=90°,

.••点户在以。为圆心，AE为直径的圆上,

17

/.当0C最小时，CP的值最小,

•：PC^OC-OP,

.•.PC的最小值=0C-OP=OC-^AE,

2

♦.•在Rt/XOPC中，OC=，22+.)在Rl^AOE中，AE-yJ42+12=y/lj

:.PC的最小值为隼-岑，故④错误，

故选:B.

15.如图，正方形A8CD的边长为旄，E在正方形外，DE=DC,过。作O”_LAE于〃，直线O”，EC交于点M,

直线CE交直线4。于点P,则下列结论正确的是（）

①NZME=NZ)E4②NZ)MC=45。：③^1班：④若MH=2,则$△»«)=,SMED

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：：四边形ABC。是正方形，

：.DA=DC,NAQC=90°,

18

*：DC=DE,

：.DA=DE,

：.ZDAE=ZDEAf故①正确，

♦：DA=DC=DE,

：.ZAEC=—ZADC=45°(圆周角定理)，

2

VDA/1AE,

：.ZEHM=90°,

AZDMC=45O,故②正确，

如图，作。交尸M于R

VZADC=ZMDF=90°,

/ADM=NCDF,

VZDMF=45°,

:・NDMF=NDFM=45°,

；.DM=DF,VDA=DC,

AAADM^ACDF(SAS),

：.AM=CF,

：.AM+CM=CF+CM=MF=血OM,

...AM@=后,故③正确，

MD

若MH=2,则易知A，=MH=//E=2,AM=EM=2近,

=22==1

在RtaA。"中，OW7AD-AH^4'

:.DM=3,AM+CM=3版,

19

:.CM=CE=近,

S&DCM=S^DCE<故④错误.

故选：C.

二.填空题（共8小题）

16.如图，四边形4BCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且4C=EC,则ND4E=22.5°

【解答】解：：四边形ABC。是正方形,

；.NACB=45°，AD//BC,

'：AC=EC,

:.NE=NCAE,

/ACB=NE+NCAE=2NE,

.*.ZE=AZACB=22.5°,

2

'：AD//BC,

：.ZDAE=ZE=22.5°.

故答案为：22.5°.

17.如图，两个正方形边长分别为2、〃（a>2）,图中阴影部分的面积为_/a2-a+2

20

2222

【解答】解：K^WWffi^-a+2-ya-yX2(a+2)-1a-a+2

18.如图1,在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=10,AC=6.动点尸，。从点A同时出发，点尸以每秒5个单位长

度的速度沿边AB向终点8匀速运动.点。以每秒6个单位长度的速度沿边AC向终点C匀速运动，连接PQ,

以P。为边作正方形PQWV,使得点M,C始终在PQ的同侧.设点P运动的时间为fs.

(1)PQ=PA(填或“=

(2)如图2,当点M落在边BC上时，f=旦$

一5一

图1图2

【解答】解：(1)如图1中，作PEJ_AC于£

图1

在Rt/XABC中，'.'A"10,AC=6,

••BC=J皿2_A’2—V100-36—8,

VZP£A=ZC=90°,

：.PE//BC,

21

•.•一PA一二AE,

ABAC

•・•—5t二_AE，

106

：.AE=3t,

*：AQ=6t,

：.AE=EQ=3tf

.・・PE垂直平分线段AQ,

：.PQ=PA=5t,

故答案为=;

（2）如图2中，当点M落在8c上时,

图2

・・•四边形PQMN是正方形，

：.MQ=PQ=5t,NMQP=90°,

/.ZAQP^ZMQC=90°,

又...NA+N3=9O°,ZA=ZAQP,

:・4MQC=4B,

cosZMQC=cosZB,

.・.一CQ‘‘二4,

QM5

22

・6-6t_4

>•------------

5t5

解得『互

5

二当点例落在8c上时，r的值为题,

5

故答案为旦.

5

19.如图，在边长为4的正方形A8CC中，动点E,尸分别在CD,BC上移动，CF=DE,AE和CF交于点P,则

线段CP的最小值是2逐-2.

【解答】解：•••四边形4BCO是正方形,

：.AD=DC,NAOC=NC=90°.

在△△£)£：和△OCF中，

'AD=DC

<ZADC=ZC>

DE=CF

:.△ADE迫XDCF(SAS).

:.AE=DF,NDAE=NCDF,

VZCDF+ZADF=90°,

：.ZDAE+ZADF=^.

：.AE±DF,

：.点P的路径是段以AD为直径的弧,

如图，

23

设A。的中点为。，连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,

在RtZSQDC中，℃=弧24aj2=巡,

:.CP=QC-QP=2娓-2,

故答案为2旄-2.

20.如图，B、E、F、。四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120a〃2,正方形AECF的面积为50cm则菱

形的边长为13cm.

【解答】解：连接4C,8。交于点O,

E、F、。四点在同一条直线上,

：.E,尸在上，

正方形AECF的面积为50cnf,

.,.^(^=50,AC=l0an,

2

•.•菱形ABC。的面积为120cn/,

24

...■^■AOBD=120,BD—24cm,

所以菱形的边长48=

故答案为：13.

21.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0,3）,点8的坐标是（-4,0）,以AB为边作正方形ABCD,

连接O。，DB.则△COB的面积是14.

【解答】解：过点。作。ELy轴，垂足为£

的坐标是（0,3）,点8的坐标是（-4,0）,

；.OA=3,08=4.

•:ABCD为正方形,

：.AB=AD,ZDAB=90Q.

：.ZDAE=ZAB0.

2E=NAOB

在△ABO和△。4"中,ZDAE=ZABO-

AB=AD

:./^ABO^^DAE.

：.AE=OB=4.

25

，0E=AE+A。=4+3=7.

的面积=工08・。£=」*4'7=14.

22

故答案为：14.

22.如图，四边形A8CQ是正方形，△CBE是等边三角形，则NAEB=75°

【解答】解：•..四边形A8CO是正方形，aCBE是等边三角形,

：.AB=BC,ZBAD=90°,BE=BC,NCBE=60°,

：.AB=BE,/AB£=90°-60°=30°,

AZAEB=ZEAB=-^-(180°-30°)=75°,

2

故答案为：75°.

23.如图，正方形A3C£＞的边长为6,点E,尸分别在线段BC,CD±.,且CF=3,CE=2,若点、M,N分别在线

段AB,AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持ZPEB=NPPC,则线段PN的最小值为

F—1

【解答】解：如图I,

26

图1

■:/PEB=NPFC,ZPEB+ZCEP=iSO°,

工NCEP+/CFP=180°,

：.C.E、P、尸四点共圆，

•..四边形A2C£＞是正方形，

.,.ZBCD=90°,

.,.EF是直径，

取EF的中点为0,以EF为直径作圆0,如图1,连接0尸，ON,

■:PN20N-0P,

；0P是定值，02=工£/=工/招手=1?，

即当0、N、尸三点共线，且0N_LA。时，CW最小，PN最小，

如图2,PN最小，延长N0交BC于。，则OQLCE,

27

：.EQ=^EC=\,

由勾股定理得：。。=庐俞］喈y-F

:.PN=6---

222

即线段PN的最小值为9-J石.

2

故答案为：殳YH.

2

三.解答题(共7小题)

24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A(0,6),E(0,2),点H、F

分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH.

(1)当，(-2,6)时，求证：四边形EFG”是正方形；

(2)若F(-5,0),求点G的坐标.

【解答】解；(I)•••四边形ABCO是正方形,

...NBAO=NAOC=90°,

VE(0,2),H(-2,6),

；.AH=OE=2,

•.•四边形E尸GH是菱形，

：.EH=EF,

在Rt^AHE和RtAOEF中,

[EH=EF,

IAH=OE'

28

：.Rt/\AHE^Rt/\OEF,

：.NAEH=NEFO,

VZEFO+ZFEO=90°,

；.NAEH+NFEO=90°,

：.ZHEF^90a,•四边形E尸G”是菱形,

二四边形EFGH是正方形.

(2)连接EG交"/于K.

,:HE=EF,

：.AH2+AE1=EO2+OF2,

.•./+16=4+25,

:.AH=\is，

：.H(--713-6),

,:KH=KF,

K(一耍3),

VGK=KE,

G(-5-773>4).

CFOlx

25.如图，四边形ABC£＞是正方形，对角线4C、8。相交于点尸，NE=90°,ED=EC.求证：四边形。尸CE是

正方形.

29

D

【解答】解：•・•四边形A8CD是正方形，

:・NFDC=NDCF=45°,

VZE=90°,ED=EC,

：.ZEDC=ZECD=45°,

ZFCE=ZFDE=Z£=90°,

・•・四边形CE是矩形，

,:DE=CE,

・•・四边形。尸CE是正方形.

26.如图.在△ABC中，AB=AC,AZ)为NA4C的平分线，AN为△A5C外角NCAM的平分线，CE1AN,垂足为

E.

(1)求证：四边形ADCE是矩形.

(2)若连接OE,交AC于点R试判断四边形A3DE的形状(直接写出结果，不需要证明).

(3)△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形AOCE是正方形.并证明你的结论.

【解答】证明：(1)・・•在△A3C中，AB=AC,AO为N5AC的平分线,

30

J.AD^BC,NBAD=NCAD,

：.ZADC=90°,

，：AN为丛ABC的外角/CAM的平分线，

：.ZMAN=ZCAN,

：.ZDAE=90',,

VCELAN,

：.ZAEC=90°,

，四边形A£>CE为矩形；

(2)四边形A8OE是平行四边形，

理由如下：由(1)知，四边形AOCE为矩形，则AE=CO,AC=DE.

又,.♦AB=AC,BD=CD,

：.AB=DE,AE=BD,

四边形ABDE是平行四边形：

(3)当/区4c=90°时，四边形AOCE是正方形，

理由：；N8AC=90°,AB=AC,4。为NBAC的平分线，

：.AD=CD=BD,

又•••四边形A£>CE是矩形，

.••四边形AQCE是正方形.

31

27.如图，在矩形ABC。中，AD=f>,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,”分别在矩形A8CD的边AB,CD,

DA±,AH=2,DG=2.求证：四边形EFG”为正方形.

【解答】解：：四边形ABC。为矩形，四边形HEFG为菱形,

:.-4=90°,HG=HE,

又AH=DG=2,

.,.Rt^AHE^Rt^DGH(HL),

：.ZDHG=ZHEA,

VZAHE+ZHEA^90°,

ZAHE+ZDHG=90°,

；.NEHG=90°,

四边形HEFG为正方形.

28.如图，在aABC中，。是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空:

(1)四边形8OEF■是平行四边形;

(2)若四边形8CEF是菱形，则△ABC满足的条件是

32

(3)若四边形BZ)£F是矩形，则△ABC满足的条件是NB=90°.

(4)若四边形BDEF是正方形，则△