查补重难点09 统计与概率（解析版）

查补重难点09.统计与概率考点一：统计图表与数据分析1.条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形。特点：能够显示每组中的具体数据。2.折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形。特点：易于显示数据的变化趋势。3.扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图。4.频数分布直方图：1）每个对象出现的次数叫频数；2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度；5.平均数：如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数。6.加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权。7.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。8.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。9.方差：在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即。标准差：方差的算术平方根。10.极差：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差。题型1.运用统计图表获取信息1.扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少。2.在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致。3.画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一个组；不漏，即不能漏掉某一个数据。例1．（2023·江苏苏州·中考真题）小惠同学根据某市统计局发布的2023年第一季度高新技术产业产值数据，绘制了如图所示的扇形统计图，则“新材料”所对应扇形的圆心角度数是．

【答案】/度【分析】根据“新材料”的占比乘以，即可求解．【详解】解：“新材料”所对应扇形的圆心角度数是，故答案为：．【点睛】本题考查了求扇形统计图的圆心角的度数，熟练掌握求扇形统计图的圆心角的度数是解题的关键．变式1．（2022·江苏徐州·中考真题）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．已知人口自然增长率=人口出生率—人口死亡率，下列判断错误的是（

）A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半B．近十年的人口死亡率基本稳定C．近五年的人口总数持续下降D．近五年的人口自然增长率持续下降【答案】C【分析】根据折线统计图逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，故该选项正确，不符合题意；B.近十年的人口死亡率基本稳定，故该选项正确，不符合题意；C.近五年的人口总数持续上升，只是自然增长率在变小，故该选项不正确，符合题意；D.近五年的人口自然增长率持续下降，故该选项正确，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了折线统计图，从统计图获取信息是解题的关键．变式2．（2022·江苏镇江·中考真题）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为．【答案】5【分析】根据频数分布直方图中即可求解．【详解】解：依题意，组距为kg,故答案为：5【点睛】本题考查了频数直方图，求组距，理解频数直方图中组距相等是解题的关键．题型2.统计图表综合运用两种统计图表结合：常通过同一分组内两个图表都能得到的已知信息找出突破口。常见组合：（1）扇形统计图（折线统计图）＋条形统计图；（2）频数（频率）分布表+频数分布直方图；例1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图．

根据图中信息，解答下列问题：(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的_____________（精确到）；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是___________年；(2)小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．【答案】(1)26，2022年(2)不同意．理由见详解【分析】（1）将图中数据分别计算年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．【详解】（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．故答案为：26，2022年；（2）不同意．理由如下：2022年新能源汽车销售量的增长率为：，2021年新能源汽车销售量的增长率为：，年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．【点睛】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．变式1．（2023·江苏徐州·中考真题）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：(1)此次调查的样本容量为；(2)扇形统计图中对应圆心角的度数为°；(3)请补全条形统计图；(4)若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数．【答案】(1)450(2)(3)见解析(4)人【分析】（1）根据的人数是人，所占的比例是，据此即可求得此次调查的样本容量；（2）用类学生数除以，再乘以即可得解；（3）利用总人数减去、、三类的人数即可求得的人数，从而补全直方图；（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求得．【详解】（1）解：，答：此次调查的样本容量为是，故答案为．（2）解：，故答案为；（3）解：补全图形如下：

（4）解：（人）答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．变式2．（2022·江苏淮安·中考真题）某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．请解答下列问题：(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°；(2)请补全条形统计图；(3)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．【答案】(1)200，72(2)补全的条形统计图见解析(3)估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名【分析】（1）利用选择乒乓球的人数÷所占百分比得到总人数，再利用选择跑步的人数÷总人数得到跑步所占的百分比，利用百分比即可得到圆心角度数；（2）先求出选择足球的人数，再补全条形图即可；（3）用总体数量×喜爱篮球项目的人所占的百分比即可得解．【详解】（1）（名），在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是，故答案为：200，72；（2）选择足球的学生有：（人），补全的条形统计图如图所示：（3）（名），答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．从条形图和扇形图中有效的获取信息，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．题型3.中位数、众数①众数指一组数据中出现次数最多的那个数据,此外需要注意的是众数可能不止一个。②中位数:按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数,所以在寻找中位数的时候不要一上来就找中间位置的数，而是要观察数据有没有按照顺序排列,没有的要先排列顺序再找中位数，避免出错。例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（

）A．89 B．94 C．95 D．98【答案】C【分析】根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．【详解】解：将这组数据按从小到大进行排序为89，92，95，96，98，则其中位数是95，故选：C．【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键．变式1．（2023·江苏泰州·中考真题）七（1）班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为mh，则m2.6（填“＞”“＝“＜”）

【答案】【分析】根据中位数的意义解答即可．【详解】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，由频数分布直方图可知：第组的人数分别为5，7，12，9，7，所以第20、21个数据都在第3组，即，这两个数的平均数一定小于2.6，故答案为：．【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．变式2.（2023·江苏徐州·中考真题）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．

其中，海拔为中位数的是（

）A．第五节山 B．第六节山 C．第八节山 D．第九节山【答案】C【分析】根据折线统计图把数据按从小到大排列，然后根据中位数可进行求解．【详解】解：由折线统计图可按从小到大排列为90.7、99.2、104.1、119.2、131.8、133.5、136.6、139.6、141.6，所以海拔为中位数的是第5个数据，即为第八节山；故选C．【点睛】本题主要考查折线统计图及中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键．变式3．（2022·江苏淮安·中考真题）某公司对25名营销人员4月份销售某种商品的情况统计如下：销售量（件）605040353020人数144673则这25名营销人员销售量的众数是（

）A．50 B．40 C．35 D．30【答案】D【分析】根据众数的定义求解即可．【详解】解：因为销售量为30件出现的次数最多，所以这25名营销人员销售量的众数是30.故选：D.【点睛】本题考查了确定一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．题型4.平均数与加权平均数加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值,再除以总的单位数。在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆。例1．（2023·江苏镇江·中考真题）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则x的值是．【答案】3【分析】根据题意和算术平均数的含义，列式计算出x的值即可．【详解】解：一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．变式1．（2022·江苏淮安·中考真题）一组数据3、、4、1、4的平均数是．【答案】2【分析】根据平均数的定义即可求解．【详解】解：3、、4、1、4的平均数是故答案为：．【点睛】本题考查了求平均数，掌握平均数的定义是解题的关键．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．变式2．（2022·江苏泰州·中考真题）学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识．并将成绩依次按4∶3∶3计分．两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是．普通话体育知识旅游知识王静809070李玉908070【答案】李玉【分析】根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数进行计算即可．【详解】解：王静得分：=80（分）李玉得分：=81（分）∵81分＞80分，∴最终胜出的同学是李玉．故答案为：李玉．【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法．变式3．（2022·江苏盐城·中考真题）合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值蛋白质10%~15%脂肪20%~30%碳水化合物50%~65%注：供能比为某物质提供的能量占人体所需总能量的百分比．(1)本次调查采用___________的调查方法；（填“普查”或“抽样调查”）;(2)通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比；(3)结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．【答案】(1)抽样调查(2)样本中的脂肪平均供能比为38.59%，碳水化合物平均供能比为46.825%(3)答案见解析【分析】（1）由全面调查与抽样调查的含义可得答案；（2）利用加权平均数公式可得：求解三个年级的人数分别乘以各自的平均供能比的和，再除以总人数即可得到整体的平均数；（3）结合中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值，把求解出来的平均值与标准值进行比较可得：蛋白质平均供能比在合理的范围内，脂肪平均供能比高于参考值，碳水化合物供能比低于参考值，再提出合理建议即可．【详解】（1）解：由该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，可得：本次调查采用抽样的调查方法；故答案为：抽样（2）样本中所有学生的脂肪平均供能比为，样本中所有学生的碳水化合物平均供能比为．答：样本中的脂肪平均供能比为38.59%，碳水化合物平均供能比为46.825%．（3）该校学生蛋白质平均供能比在合理的范围内，脂肪平均供能比高于参考值，碳水化合物供能比低于参考值，膳食不合理，营养搭配不均衡，建议增加碳水化合物的摄入量，减少脂肪的摄入量．（答案不唯一，建议合理即可）【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查的含义，加权平均数的计算，利用平均数作决策，掌握“计算加权平均数的方法”是解本题的关键．题型5.极差、方差（标准差）极差是指最大值与最小值之间的差距，即最大值减最小值；方差是--组数据中，每一个数减去它平均数的平方的和再除以这组数据的个数。所以在求极差或方差的题目中,只要看清题目要求的是求哪一一个，就可以避免出错。例1．（2022·江苏盐城·中考真题）一组数据，0，3，1，的极差是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】极差：一组数据中最大值与最小值的差，根据极差的定义进行计算即可．【详解】解：∵这组数据中最大的为，最小的为

∴极差为最大值3与最小值的差为：，故选D．【点睛】本题考查的是极差的含义，掌握“极差的定义”是解本题的关键．变式1．（2023·山东烟台·统考中考真题）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（

）

A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差【答案】D【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可．【详解】甲班视力值分别为：；从小到大排列为：；中位数为，平均数为；极差为方差为；乙班视力值分别为：；从小到大排列为：，中位数为平均数为；极差为方差为；甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确故选：D．【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键．变式2．（2023·江苏·中考真题）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则(填“”“”或“”)．

【答案】【分析】根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，则，故答案为：．【点睛】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键．题型6.数据分析综合运用在解决数据分析与统计题时，需要注意问题的合理性。有些题目可能会给出一些陷阱，要求我们在计算中注意注意排除干扰，避免被题目误导。此外，判断答案是否合理也是解题过程中的重要一环。通过对数据进行合理分析，判断结果是否与实际情况相符，有助于我们检验答案的准确性。

1、众数优点：通过计数得到；不易受数据中极端数值的影响。缺点是：没有平均数准确。

2、平均数优点：需要全组所有数据来计算；易受数据中极端数值的影响。缺点是：无法表现个体之间的差异。

3、中位数优点：仅需把数据按顺序排列后即可确定；不易受数据中极端数值的影响。缺点是：不能代表整体。例1．（2023·江苏·中考真题）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．数据收集（单位：万元）：5.0

9.9

6.0

5.2

8.2

6.2

7.6

9.4

8.2

7.85.1

7.5

6.1

6.3

6.7

7.9

8.2

8.5

9.2

9.8数据整理：销售额/万元频数3544数据分析：平均数众数中位数7.448.2问题解决：(1)填空：_________，_________．(2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励．(3)经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．【答案】(1)4，7.7(2)12(3)7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励【分析】（1）根据所给数据及中位数的定义求解；（2）根据频数分布表求解；（3）利用中位数进行决策．【详解】（1）解：该组数据中有4个数在7与8之间，故，将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数，故答案为：4，7.7；（2）解：月销售额不低于7万元的有：（人），故答案为：12；（3）解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励．【点睛】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义．变式1．（2023·江苏扬州·中考真题）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：

平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m87八年级参赛学生成绩85.585n根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：________，________；(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）；(3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值；（2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可；（3）利用平均数和中位数作决策即可．【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80，∴；将八年级的10个数据进行排序：；∴；故答案为：；（2）由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大，∵方差越小，数据越稳定，∴；故答案为：．（3）七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生成绩较好．【点睛】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键．变式2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“”是指该枚古钱币的直径为，厚度为，质量为．已知这些古钱币的材质相同．根据图中信息，解决下列问题．(1)这5枚古钱币，所标直径的平均数是，所标厚度的众数是，所标质量的中位数是g；(2)由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．【答案】(1)45.74，2.3，21.7；(2)“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；（2）根据题中所给数据求出每一枚古钱币的密封盒质量，即可判断出哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，计算其余四个密封盒的平均数，即可求得所标质量有错的古钱币的实际质量．【详解】（1）解：平均数：；这5枚古钱币的厚度分别为：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多，∴这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm；将这5枚古钱币的重量按从小到大的顺序排列为：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，∴这5枚古钱币质量的中位数为21.7g；故答案为：45.74，2.3，21.7；（2）名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8盒标质量24.424.013.020.021.7盒子质量34.334.142.234.334.1∴“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”所标质量与实际质量差异较大．其余四个盒子质量的平均数为：，55.2-34.2=21.0g故“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数的求解，平均数的应用，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据．一组数据中，众数可能不止一个．变式3．（2023·江苏无锡·中考真题）2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表竞赛成绩x（组别）（A）（B）（C）（D）（E）（F）频数2196a57b6学生参加航天知识竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数七年级8281八年级8282九年级8380

(1)_________；_________%；(2)请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．【答案】(1)90；10(2)七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大【分析】（1）先求出总人数，再根据C所占的百分比求出a，再由所有频率之和为1，求出“E”所占的百分比，进而确定m的值；（2）比较中位数、众数、平均数的大小得出答案．【详解】（1）解：∵抽取的总人数为（人），∴C组的人数为（人），；故答案为：90，10；（2）解：七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大．（答案不唯一）．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．考点二：概率与频率1.概率的定义：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。2.概率的计算方法：（1）概率公式：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数。（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。（3）树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。3.概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。4.利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率。题型1.事件与简单的概率计算判断事件发生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大为100%，不可能事件的可能性最小为0，随机事件的可能性有大有小，其发生可能性介于0-100%。在随机事件中，要想判断随机事件发生的概率就要列举出随机事件中可能出现的各种结果，其中包含的结果数多的事件发生的可能性大。所以平时要多加练巧如何列举全随机事件中包含的各种结果，如果少列举一种都会造成错误结果。例1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）．

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答．【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，∴，故选：B．【点睛】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，是解答本题的关键．变式1．（2023·江苏徐州·中考真题）下列事件中的必然事件是（

）A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】A【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【详解】解∶A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选∶A．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．变式2．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的选项．【详解】这张圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻是必然事件，所以甲和乙相邻的概率为1．故选：D．【点睛】此题考查了求概率，解题的关键是判断出该事件是必然事件．变式3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是．

【答案】【分析】直接由概率公式求解即可求得答案．【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果，小灯泡发光的概率为．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比．题型2.几何概型1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。2.几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。3.几何概型特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个结果（基本事件）出现的可能性相等。例1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，∴总面积为，阴影部分的面积为，∴点落在阴影部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．变式1．（2022·江苏徐州·中考真题）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．【详解】解：如图，根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，设每个小三角形的面积为a，则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．故选：B【点睛】本题主要考查几何概率，根据正六边形的性质得到图中每个小三角形的面积都相等是解题的关键．变式2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则(

)A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同【答案】A【分析】本题考查了几何概率，设，，分别求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积，比较大小，即可求解．【详解】解：：：：：，设，，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为，，，∵，豆子落在区域Ⅰ的概率最小．故选：A．题型3.列举法（树状图、列表）求概率列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果，在很多问题中，二者是共通的。列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率，如果可能出现的结果数目不多时，也可采用树状图。树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。例1．（2023·江苏·中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先判断盒子中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵，故和均为无理数，故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是．故答案为：．（2）解：树状图画出所有情况为：即抽签的组合有种，分别为：组合情况运算结果运算结果是否是无理数第一种组合，，乘法否第二种组合，，加法是第三种组合，，乘法是第四种组合，，加法是第五种组合，，乘法否第六种组合，，加法是第七种组合，，乘法是第八种组合，，加法是第九种组合，，乘法是第十种组合，，加法是第十一种组合，，乘法；是第十二种组合，，加法是对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个，故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．变式1．（2023·江苏盐城·中考真题）随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）.(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________．(2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可．【详解】（1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为，故答案为：．（2）列表如下：CDEAACADAEBBCBDBE共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有，共1种，∴小华两段路程都选省级公路的概率．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．变式2．（2023·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．【答案】【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【详解】解：画树状图如下：

一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，次都摸到红球）．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．变式3．（2023·江苏徐州·中考真题）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？【答案】【分析】根据树状图可进行求解概率．【详解】解：由题意可得如下树状图：

∴甲、乙、丙三人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，则共有8种情况，其中三人选择相同景点参观共有2种，所以三人选择相同景点的概率为．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．题型4.频率估计概率

1、利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。例1.（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数n2510501005001000150020003000发芽的频数m2494492463928139618662794发芽的频率（精确到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931这种绿豆发芽的概率的估计值为（精确到0.01）．【答案】0.93【分析】根据题意，用频率估计概率即可．【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，故答案为：0.93．【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．变式1．（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（

）A．试验次数越多，f越大B．f与P都可能发生变化C．试验次数越多，f越接近于PD．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定【答案】D【分析】根据频率的稳定性解答即可．【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．故选：D．【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．变式2．（2023·福建厦门·校考模拟预测）春节假期欧亚商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价1.88元购买“大福字”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为．【答案】0.35【分析】本题主要考查利用频率估计概率，在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35，据此利用频率估计概率即可．【详解】解：由题意知，随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35，所以推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为0.35，故答案为：0.35．题型5.概率的综合运用（公平性与决策）通过计算概率判断游戏是不是公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点。解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率,若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平。实际问题中的作决策也是利用概率的大小来选择的。例1.（2023·广东广州·统考中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球．(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？【答案】(1)(2)公平．理由见解析【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可；（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．【详解】（1）解：画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，∴乙选中球拍C的概率；（2）解：公平．理由如下：画树状图如下：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，∴甲先发球的概率，乙先发球的概率，∵，∴这个约定公平．【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．变式1.（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；(2)若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．【答案】(1)(2)这个游戏公平，理由见解析【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解；（2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断．【详解】（1）解：∵为正数∴转盘指针指向正数的概率为：（2）解：列表得：64一共有9种等可能的结果其中的有4种、、、；其中的有4种、、、∴（小聪获胜）；（小明获胜）（小聪获胜）（小明获胜）∴这个游戏公平【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键．变式2.（2023·福建·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：摸到的红球数012奖励（单位：元）51020方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利?【答案】(1)(2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可．（2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可．【详解】（1）解：对于方案一，列表如下．由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为．（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．对于方案二，列表如下．由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．课后训练1．（2023·江苏扬州·中考真题）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是(

)A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图【答案】C【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比．【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图．故选C．【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键．2．（2024·江苏徐州·一模）李强总理在政府工作报告中指出2024年国内生产总值增长左右，居民消费价格涨幅左右，单位国内生产总值能耗降低左右，财政赤字率拟按安排．以上这四个数据中，众数是（

）A．2.5% B．4% C．3% D．5%【答案】C【分析】本题考查了众数的定义，掌握在一组数据中出现次数最多的数据是众数是解题的关键；根据众数的定义求解即可；【详解】四个数据中出现的次数最多，众数是，故选：C．3．（2022·江苏扬州·中考真题）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（

）A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月【答案】D【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；B、水涨船高是必然事件，不符合题意；C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；D、水中捞月是不可能事件，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．4．（2022·江苏苏州·中考真题）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（

）A．60人 B．100人 C．160人 D．400人【答案】C【分析】根据参加“书法”的人数为80人，占比为，可得总人数，根据总人数乘以即可求解．【详解】解：总人数为．则参加“大合唱”的人数为人．故选C．【点睛】本题考查了扇形统计图，从统计图获取信息是解题的关键．5．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，，∴阴影部分面积为：，∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是，故选：A．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．6．（2022·江苏常州·中考真题）某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知的加速时间的中位数是，满电续航里程的中位数是，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（

）A．区域①、② B．区域①、③ C．区域①、④ D．区域③、④【答案】B【分析】根据中位数的性质即可作答．【详解】在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0~100km/h的加速时间的中位数ms，满电续航里程的中位数nkm，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，据此逐项判断即可：A项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m下方，不符合要求，故A项错误；B项，可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，符合要求；C项，两款车的满电续航里程的数值均在直线n的左侧，不符合要求，故C项错误；D项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m上方，不符合要求，故D项错误；故选：B．【点睛】本题考查了中位数的概念，根据中位数的值不变可知新添加的一组数据分别处在中位数的左右两侧或刚好都等于该中位数，理解这一点是解答本题的关键．7．（2022·湖北十堰·一模）某女子排球队6名场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现用身高为的队员替换场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（

）A．平均数变小，中位数不变 B．平均数变小，中位数变大C．平均数变大，中位数不变 D．平均数变大，中位数变大【答案】C【分析】本题考查平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义和计算方法是正确判断的前提．根据平均数、中位数的意义进行判断即可．【详解】解：用身高为的队员替换场上身高为的队员，使总身高增加，进而平均数身高变大，换人后，从小到大排列的顺序为：172，177，178，180，180，184，因此中位数不变，故选：C．8．（2022·江苏镇江·中考真题）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中、是正整数．下列结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④【答案】B【分析】根据平均数、中位数、方差的求法分别求解后即可进行判断．【详解】解：①第1组数据的平均数为：，当m＝n时，第2组数据的平均数为：，故①正确；②第1组数据的平均数为：，当时，m＋n＞2n，则第2组数据的平均数为：，∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数；故②错误；③第1组数据的中位数是，当时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是1；当时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是；即当时，第2组数据的中位数是1，∴当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；故③正确；④第1组数据的方差为，当时，第2组数据的方差为,，∴当时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差．故④错误，综上所述，其中正确的是①③；故选：B【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差的求法，熟练掌握求解方法是解题的关键．9．（2023·江苏盐城·中考真题）在英文句子“Happy

Teachers'

Day！”中，字母“”出现的频数为.【答案】【分析】根据频数定义可得答案．【详解】在英文句子“Happy

Teachers'

Day！”中，字母“”出现的频数为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了频数，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．10．（2022·江苏南通·中考真题）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是（填“全面调查”或“抽样调查”）．【答案】抽样调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．【详解】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．11．（2023·江苏·中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是．【答案】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解．【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积，∴击中阴影部分的概率是，故答案为：．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式．12．（2022·江苏镇江·中考真题）从2021、2022、2023、2024、2025这五个数中任意抽取3个数．抽到中位数是2022的3个数的概率等于．【答案】【分析】根据题意画出树状图，结合概率公式即可求解．【详解】解：根据题意，画树状图如图，2022为中位数的情形有6种，2022为中位数的情形有6种，2022为中位数的情形有2种，2022为中位数的情形有2种，2022为中位数的情形有2种，共有60种情况，其中抽到中位数是2022的3个数的情况有18种，则抽到中位数是2022的3个数的概率等于，故答案为：【点睛】本题考查了中位数的定义，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．13．（2022·江苏扬州·中考真题）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则．（填“>”“<”或“=”）【答案】>【分析】分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可．【详解】根据折线统计图中数据，，，∴，，∴，答案为：>．【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键．14．（2023·江苏·中考真题）小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．(1)小华选择C项目的概率是______；(2)用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列表法求概率即可求解．【详解】（1）解：共有三个热门项目，小华选择C项目的概率是；故答案为：．（2）解：列表法如图，小华小丽共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种，∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率．【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（2023·江苏南通·中考真题）有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________；(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图求概率即可求解．【详解】（1）解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于；故答案为：．（2）解：据题意，可以画出如下的树状图：

由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种．∴．【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（2023·江苏无锡·中考真题）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________．(2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解.【详解】（1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，∴每张卡片抽到的概率都是，设小明恰好抽到景区A门票为事件，则,故答案为：；（2）解：根据题意，画树状图如下：

∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为；【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.17．（2023·江苏连云港·模拟预测）在物理实验中，当电流通过电子元件时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等．(1)如图1，当两个电子元件a、b并联时，请用树状图或列表法表示图中P、Q之间电流能否通过的所有可能情况，并求出P、Q之间电流通过的概率；(2)如图2，当有三个电子元件并联时，请直接写出P、Q之间电流通过的概率为______．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了树状图法求概率，物理学中有关“并联电路”的知识；（1）由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可；（2）由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可．【详解】（1）解：用树状图表示为：由图可知，共有4种等可能结果，其中P、Q间没有电流通过的只有1种，有电流通过的有3种，∴之间电流通过的概率是；（2）画树状图得：由图可知，共有8种等可能结果，其中没有电流通过的只有1种，有电流通过的有7种，∴之间电流通过的概率是．故答案为：．18．（2023·江苏盐城·中考真题）盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头．某校生物兴趣小组