2025版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第七讲对数与对数函数学案含解析新人教版

PAGE第七讲对数与对数函数学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0，且a≠1)__logaN__常用对数底数为__10____lgN__自然对数底数为__e____lnN__2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质：①loga1＝__0__；②logaa＝__1(其中a>0且a≠1)__.(2)对数恒等式：alogaN＝__N__.(其中a>0且a≠1，N>0)(3)对数的换底公式：logbN＝__eq\f(logaN,logab)__(a，b均大于零且不等于1，N>0)．(4)对数的运算法则：假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝__logaM＋logaN__；②logaeq\f(M,N)＝__logaM－logaN__；③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)．学问点二对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质定义函数__y＝logax(a＞0，且a≠1)__叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：__(0，＋∞)__值域：__(－∞，＋∞)__当x＝1时，y＝0，即过定点__(1,0)__当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，__y＞0__当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，__y＜0__在(0，＋∞)上为__增函数__在(0，＋∞)上为__减函数__2．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数__y＝logax__(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．eq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)1．指数式与对数式互化2．换底公式的两个重要结论①logab＝eq\f(1,logba)；②logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数渐渐增大．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN(a>0，a≠1)．(×)(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(4)y＝log2x2不是对数函数，而y＝log2(－x)是对数函数．(×)(5)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)(6)2lg3≠3lg2.(×)[解析](4)y＝log2(－x)不是对数函数．(6)设2lg3＝M,3lg2＝N，则lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.题组二走进教材2．(必修1P75T11改编)写出下列各式的值：(1)log2eq\f(\r(2),2)＝__－eq\f(1,2)__；(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝__0__；(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝__－1__；(4)(log29)·(log34)＝__4__.[解析](1)log2eq\f(\r(2),2)＝log22－eq\s\up4(\f(1,2))＝－eq\f(1,2)；(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝log51＝0；(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lgeq\f(5,2)＋lg4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lg10－2＝－1；(4)解法一：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.解法二：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.3．(必修1P74AT4改编)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12的值为(C)A．a B．bC．2a＋b D．2ab[解析]因为lg2＝a，lg3＝b，所以lg12＝lg(4×3)＝2lg2＋lg3＝2a＋b.故选C．4．(必修1P74AT7改编)函数y＝eq\r(eqlog\s\do8(\f(2,3))2x－1)的定义域是__eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))__.[解析]eqlog\s\do8(\f(2,3))(2x－1)≥0，即0<2x－1≤1，解得eq\f(1,2)<x≤1，定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).5.(必修1P75AT10改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝logax的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为(B)A．3,2，eq\f(1,3)，eq\f(1,2) B．2,3，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．2,3，eq\f(1,2)，eq\f(1,3) D．3,2，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)[解析]解法一：因为C1，C2为增函数，可知它们的底数都大于1，又当x>1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a值分虽为2,3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x>1时，图象越靠近x轴，其底数越小，所以C3，C4对应的a分别eq\f(1,3)，eq\f(1,2).综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2,3，eq\f(1,3)，eq\f(1,2).解法二：可以画直线y＝1，看交点的位置自左向右，底数由小到大．题组三走向高考6．(2024·课标Ⅲ，10,5分)设a＝log32，b＝log53，c＝eq\f(2,3)，则(A)A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b[解析]因为a＝log32＝log3eq\r(3,8)<log3eq\r(3,9)＝eq\f(2,3)＝c，b＝log53＝log5eq\r(3,27)>log5eq\r(3,25)＝eq\f(2,3)＝c，所以a<c<b.故选A．7．(2024·全国卷Ⅱ，5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(D)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．留意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D．考点突破·互动探究考点一对数与对数运算——自主练透例1(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)＝__eq\f(3,2)__.(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝__eq\f(5,4)__.(3)(2024·保定模拟)设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝__eq\r(10)__.(4)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝__12__，用m，n表示log46为__eq\f(m＋n,2m)__.[解析](1)解法一：原式＝eq\f(lg33eq\s\up4(\f(1,2))＋lg23－3lg10eq\s\up4(\f(1,2)),lg\f(3×22,10))＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2)lg10,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).解法二：原式＝eq\f(\f(3,2)lg3＋\f(3,2)lg4－\f(3,2),lg1.2)＝eq\f(\f(3,2)lg1.2,lg1.2)＝eq\f(3,2).(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).(3)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r(10).(4)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46＝eq\f(loga6,loga4)＝eq\f(loga2＋loga3,2loga2)＝eq\f(m＋n,2m).故填12；eq\f(m＋n,2m).考点二对数函数的图象与性质考向1对数函数的图象及其应用——师生共研例2(1)(2024·浙江高考)在同始终角坐标系中，函数y＝eq\f(1,ax)，y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的图象可能是(D)(2)(2024·合肥月考)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(B)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)[解析](1)解法一：当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y＝eq\f(1,ax)的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的图象过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上单调递增．明显A、B、C、D四个选项都不符合．当0<a<1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减．于是函数y＝eq\f(1,ax)的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，函数y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的图象过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上单调递减．因此，选项D中的两个图象符合，故选D．解法二：易知a与eq\f(1,a)必有一个大于1，一个小于1，则f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x与g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))在各自定义域内单调性相反，可解除B；由geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0可解除A、C．故选D．(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满意条件，当0<a<1时，画出两个函数在(0，eq\f(1,2)]上的图象，可知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2<logaeq\f(1,2)，则a>eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).本题还有以下解法：因为0<x≤eq\f(1,2)，所以1<4x≤2，所以logax>4x>1，所以0<a<1，解除选项C，D；取a＝eq\f(1,2)，x＝eq\f(1,2)，则有4eq\s\up4(\f(1,2))＝2，eqlog\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)＝1，明显4x<logax不成立，解除选项A．故选B．名师点拨应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．〔变式训练1〕(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(A)(2)若不等式x2－logax<0对x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，则实数a的取值范围为__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1))__.[解析](1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后依据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最终由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．(2)由x2－logax<0得x2<logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，明显不成立；当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，需f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤logaeq\f(1,2)，解得a≥eq\f(1,16)，所以eq\f(1,16)≤a<1.即实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).考向2对数函数的性质及其应用——多维探究角度1比较对数值的大小例3(2024·课标Ⅲ，12,5分)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(A)A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b[解析]a＝log53∈(0,1)，b＝log85∈(0,1)，则eq\f(a,b)＝eq\f(log53,log85)＝log53·log58<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log53＋log58,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log524,2)))2<1，∴a<b.又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得log13135<log13(13×85)，即log138>eq\f(4,5)，∴c>eq\f(4,5).又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log8(8×55)<log885，即log85<eq\f(4,5)，∴b<eq\f(4,5).综上所述，c>b>a，故选A．角度2利用对数函数单调性求参数的取值范围例4(理)(2024·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(D)A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[－4,4] D．(－4,4](文)函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(C)A．(0,1) B．(0,2)C．(1,2) D．(2，＋∞)[分析]函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．[解析](理)函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减⇒函数t＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增，且t>0⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－2a＋3a>0，,\f(a,2)≤2))⇒－4<a≤4.故选D．(文)题中隐含a>0，∴2－ax在区间[0,1]上是减函数．∴y＝logau应为增函数，且u＝2－ax在区间[0,1]上应恒大于零，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1<a<2.角度3简洁对数不等式的解法例5设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(C)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>－log2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－log2－a>log2－a，))解得a>1或－1<a<0.故选C．另解：令a＝2，由f(2)＝1>f(－2)＝－1，解除A、D．令a＝－2，由f(－2)＝－1<f(2)＝1，解除B，∴选C．名师点拨1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性干脆进行推断；若底数为同一字母，则须要对底数进行分类探讨；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤〔变式训练2〕(1)(角度1)(2024·天津，6,5分)设a＝30.7，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(D)A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b(2)(角度2)若函数f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(C)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))(3)(角度3)(2024·河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满意f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)，则a的取值范围是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))[解析](1)由函数y＝3x单调递增，函数y＝log0.7x(x>0)单调递减，可知a＝30.7>30＝1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.8＝30.8>30.7＝a，c＝log0.70.8<log0.70.7＝1，即c<1<a<b，故选D．(2)由题意得：y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)增区间为(2,5)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2≥2,m＋2≤5,3m－2<m＋2))，解得m∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))，故选C．(3)∵log0.25a＝eqlog\s\do8(\f(1,4))a＝－log4a且f(x)为偶函数，