寒假作业05轴对称与垂直平分线-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业05轴对称与垂直平分线1.轴对称图形与轴对称的概念轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.2.轴对称图形的性质（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.（3）画一个与已知图形关于对称轴对称图形的步骤：=1\*GB3①描出图形关键点；=2\*GB3②过关键点画对称轴垂线，并截取对应长度线段，端点为对应点；=3\*GB3③按上述步骤确定所有关键点的对应点；=4\*GB3④连线.3.线段的垂直平分线的性质和判定（1）垂直平分线（中垂线）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线.（2）垂直平分线（中垂线）的画法：尺规作图.（3）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.（4）垂直平分线的判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（5）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等.4.对称点的坐标特征已知点P（x，y）.=1\*GB3①点P关于x轴（直线y=0）的对称点为Q1（x，y）；=2\*GB3②点P关于y轴（直线x=0）的对称点为Q2（x，y）；=3\*GB3③点P关于直线x=m的对称点为Q1（2mx，y）；④点P关于直线y=n的对称点为Q2（x，2ny）.1．在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合；C选项中的图形能找到这样的一条直线，所以是轴对称图形．故选C．2．如图，和关于直线l对称，连接，其中与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与点O重合，连接．下列说法错误的是（）A．B．线段被直线l垂直平分C．为等腰三角形D．线段所在直线的交点不一定在直线l上【答案】D【解析】A、∵和关于直线l对称，∴，∴，正确，不符合题意；B、∵和关于直线l对称，∴线段被直线l垂直平分，正确，不符合题意；C、∵和关于直线l对称，∴l是线段的垂直平分线，∴为等腰三角形，正确，不符合题意；D、∵和关于直线l对称，∴线段所在直线的交点一定在直线l上，原说法错误，符合题意．故选D．3．如图为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，一共有5条对称轴．故选D.4．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴,∵直线为线段的垂直平分线，∴.故选B.5．在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由作图可知，垂直平分线段，∴，，，故选项B，C，D正确，故选A．6．如图，中，，的垂直平分线交于E，连接，，则的周长是．【答案】【解析】∵是的垂直平分线，∴，∴的周长为，故答案为：．7．尺规作图：如图，某地有两个小区A，和两条相交的供水管道，．现计划在S区域内修建一个蓄水池，要求到两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等，请确定蓄水池的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【解析】如图所示，点即为所求.8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．(1)在图中画岀关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标；(2)若以所在直线为对称轴，请在图中画出关于直线对称的图形，并写出顶点的坐标；(3)观察与的位置关系，思考：若点为内部的任意一点，它在的内部的对应点为，则的坐标为．（用含和的式子表示）【解析】（1）关于轴对称的图形为，则各点到轴的距离等于各点到轴的距离，如图，∴即为所求图形.∵关于轴对称的图形为，，∴，故答案为：．（2）关于直线对称的图形为，则各点到的距离等于各点到的距离，如图，∴即为所求图形.∵，，∴，，∴所在直线是，则点到的距离是，∴点到的距离是，∴，故答案为：．（3）由上述计算可得，，，即点A向右平移个单位长度，∴内部的点向右平移个单位长度得，∴，故答案为：．9．如图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图.（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．【解析】（1）如图①，的正方形网格的对称轴l，描出点A，B关于直线l的对称点M，N，连接即为所求.（2）如图②，同理（1）可得，即为所求.（3）如图③，同理（1）可得，即为所求．10．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．(1)求证：；(2)求证：．【解析】（1）如图，连接，垂直平分，，平分，，，在和中，，∴，.（2）在和中，，∴，，，，．11．如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（

）A．0 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】如图，连接，∵点关于直线，的对称点分别是点，，且，，在中，，，故选B．12．如图，在平面直角坐标系中．（每个方格表示一个单位长度）(1)画出关于y轴对称的；(2)在y轴上找一点P，使最小，请画出点P；(3)若与全等，请直接写出点D的坐标．【解析】（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，点即为所求，；（3）如图所示，点的坐标为或或．13．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．(1)求证：点在线段的垂直平分线上；(2)连接，求证：平分；(3)设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）【解析】（1）如图，连接，，∵垂直平分，垂直平分AC，∴，，∴，∴点在线段的垂直平分线上；（2）由（）知，，∴，∵垂直平分，∴，，∴，，∴，同理，∴，即平分.（3）∵垂直平分，垂直平分，∴，，，设，，∴，，在中，，，∴，即，在四边形中，，∴．14．如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（）A．212 B．444 C．535 D．808【答案】D【解析】∵五角星是轴对称图形，三圆两两相切图形是轴对称图形，心形是轴对称图形，箭头是轴对称图形，∴他们的共有性质是轴对称，在四个选项中只有D是轴对称图形．故选D．15．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，，即，故选A．16．在平面直角坐标系中，已知点，我们将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．对于图形给出如下定义，将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线对称得到图形，称图形为图形关于的“对应图形”．已知的顶点坐标为，，.(1)如图1，若点.①由定义知，将点A关于直线对称得到点，再将点关于直线对称，得到点，则点A关于的对应点为．那么，点关于的对应点为，点关于的对应点为．②已知点和点，若线段关于的对应线段位于的内部（不含三角形的边），求的取值范围．(2)若轴上存在点，使得点关于的对应点恰好落在的边上，直接写出点横坐标的取值范围．【解析】（1）①将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为，故答案为：，；②由上述可得点关于的“对应点”为，点关于的“对应点”为．如图，线段在的内部，此时只需在轴下方，在的上方，即，解得，∴的取值范围是：．（2）设点，∵，∴点关于的对应点，∵点关于的对应点恰好落在的边上，则，∴，即的取值范围是．17．（2023·江苏·中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形.故选B．18．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵三点，，关于x轴对称的坐标分别为，，，结合，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，故的坐标为．故选B．19．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为度．【答案】【解析】∵正五边形的每一个内角为，∴将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则，∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，∴，，在中，，故答案为：．20．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．【解析】（1）观察发现都是轴对称图形，且面积相等.故答案为：轴对称图形，面积相