数学自主练习：间接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。实数a、b、c不全为0的条件为（）A.a、b、c均不为0B。a、b、c中至多有一个为0C。a、b、c中至少有一个为0D。a、b、c中至少有一个不为0思路解析：实数a、b、c不全为0的条件是a、b、c至少有一个不为0。答案:D2。x、y←R，且x2+y2=1，则（1-xy）（1+xy）有(）A。最小值，无最大值。B。最小值1，无最大值.C。最小值，最大值1D。最大值1,最小值思路解析：设x=cosα,y=sinα，则(1—xy)(1+xy)=（1-sinαcosα)(1+sinαcosα)=1—sin2αcos2α=1-sin22α.∵sin22α∈［0,1］,∴(1-xy）（1+xy)∈[，1］.答案:D3.设a、b、c都是正数，则三个数a+,b+，c+（）A.都大于2B。至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D。至少有一个不大于2思路解析:∵a+++c+b+=a++b++c+≥2+2+2=6.所以a、b、c中至少有一个大于2.答案：B4。已知a、b、c都是正数，S=，则有（）A。0＜S＜1B.1＜S＜2C思路解析：S＞=1，且S＜=2。∴1＜S＜2.答案:B5。求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.证明:假设△ABC的三个内角A，B，C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°,∠C＜60°.相加得∠A+∠B+∠C＜180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A,∠B，∠C都小于60°的假设不能成立，从而一个三角形中,至少有一个内角不小于60°.6.求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时,bc≠0.证明：假设bc=0，则有三种情况出现:(1）若b=0，c=0方程变为x2=0，x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根,这与已知方程有两个不相等的实根相矛盾。（2）若b=0，c≠0,方程变为x2+c2=0,但当c≠0时，x2+c2=0;但c≠0时,x2+c2≠0与x2+c2=0矛盾，(3）若b≠0，c=0,方程变为x2+bx=0，方程的根为x1=0,x2=—b。这与已知条件方程有两个非零实根相矛盾。综上所述,bc≠0。7。证明：1，，2不能为同一等差数列的三项。证明:假设1，，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d,则1=3-md，2=+nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两式消去d，得n+2m=(m+n)，因为n+2m为有理数，而（m+n）为无理数，所以2m+n≠（m+n），因此，假设不成立，即1，,2不能为同一等差数列的三项.8。平面上有四个点，设有三点共线。证明:以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑点D在△ABC之内或之外有两种情况：（1)如果点D在△ABC之内，（如图（1）），根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾.（2)如果点D在△ABC之外(如图(2）)，根据∠A、∠B、∠C、∠D都大于90°,这和四边形ABCD的内角和为360°相矛盾.综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立.9.已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=,如果方程不是一个根，不妨设x1、x2是它的两个不同根,即ax1=b,①ax2=b，②①-②得a(x1-x2)=0。因为x1≠x2，所以x1—x2≠0，所以应有a=0,这与已知相矛盾，故假设不成立.所以当a≠0时，方程ax=b有且只有一个根.10.(精典回放）设y=f（x)是定义在区间［-1，1］上的函数，且满足条件：①f(-1）=f(1）=0;②对任意的μ、v∈［-1，1]，都有|f（u)-f（v)｜≤|μ—v｜（1）证明：对任意的x∈［—1,1]，都有x—1≤f(x)≤1-x；(2）证明:对任意的μ、v∈[—1,1］，都有｜f（u）—f(v)｜≤1；（3)在区间［—1，1］上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x）,且使得：｜f（μ）-f(v)｜＜｜μ-v｜,当μ、v∈[0，]。｜f（μ)-f(v）｜＜｜μ—v｜，当μ、v∈［,1].若存在,请举一例；若不存在，请说明理由.(1)证明：由题设条件可知,当x∈[-1,1]时,有|f（x)｜=|f(x)-f(1)|≤|x—1|=1-x.即：x-1≤f（x）≤1-x.（2)证明：对任意的u、v∈[-1,1]。当｜u-v｜≤1时，有｜f（u）-f(v）|≤|u—v｜≤1.当|u—v|＞1时,有u·v＜0,不妨设u＜0，则v＞0，且v—u＞1，所以|f(u）-f（v）|≤|f(u）—f(—1）｜+|f(v)—f（1)|≤|u+1|+｜v-1|=1+u+1-v=2-(v-u）＜1.综上可知：对任意的u、v∈[—1,1]，都有｜f(u)-f（v）|≤1.（3）解：满足所述条件的函数不存在,理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由｜f（u)—f(v）|=|u—v｜，u、v∈[，1］，得｜f（）—f（1）|=|—1｜=。又f（1)=0,所以|f(）｜=又因为f（x)为奇函数,所以f（0）=0.由条件｜f(u)—f（v)|＜｜u-v|，u，v∈[0,］，得｜f（）|=|f（）—f(0)|＜.这与|f()｜=矛盾，所以假设不成立,即这样的函数不存在.我综合我发展11。在△ABC中，若∠C是直角,求证:∠B一定是锐角。证明：假设∠B不是锐角，则∠B为直角或钝角，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＞90°+90°+∠A＞180°。这与三角形的内角和为180°相矛盾。从而∠B一定为锐角。12。求证：、、不可能成等差数列.证明：假设、、成等差数列，则有—=-，即2=+，两边平方得：12=7+,∴5=,两边再平方得：25=40显然不成立,从而假设不成立。∴、、不可能成等差数列.13。如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线,且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线。证明：不妨设直线a,b,l中，a∥b,l与a是异面直线，且l与b不相交。假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交,也可能平行。若l与b相交，这与已知矛盾。若l与b平行，即l∥b，又a∥b,得l∥a,这与l与a异面相矛盾.综上可知，l与b是异面直线。14。已知函数f（x)对其定义域内的任意两个实数a、b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b)，证明f(x）=0至多有一个实根。证明：假设f(x)=0至少有两个不同的实根x1、x2，不妨设x1＜x2，由方程的定义，f（x1）=0，f（x2）=0,则f（x1）=f(x2)①但已知x1＜x2时，有f（x1）＜f(x2)，这与式①相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立.15。已知｛an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0,a2=3，an+1·an=(an-1+2）（an-2+2）,n=3,4,5…，用反证法证明a3=2.证明：由题设得a3a4=10，且a3,a4∴a3的可能值为1，2，5，10。若a3=1，则a4=10,a5=与题设矛盾.若a3=5,则a4=2,a5=，与题设矛盾。若a3=10,则a4=1，a5=60,a6=,与题设矛盾.∴a3=2。16.求证：一元二次方程ax