天津市部分学校2025届高二上数学期末检测模拟试题含解析

天津市部分学校2025届高二上数学期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.2．抛物线的准线方程为，则实数的值为（）A. B.C. D.3．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形5．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于两点，且，则直线的斜率为（）A. B.C. D.6．已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（）A. B.C. D.7．抛物线的准线方程是，则a的值为（）A.4 B.C. D.8．准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.9．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（）A.或 B.C. D.10．在等比数列中，，，则等于（）A. B.5C. D.911．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()A. B.2C.－1 D.－412．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是______14．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C，若，则直线l的斜率为______.15．点到直线的距离为________.16．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率.18．（12分）设，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，①求双曲线方程；②已知直线，分别交直线于，两点，当直线倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由19．（12分）在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为（1）请说明是什么曲线，并写出它的方程；（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论20．（12分）已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点（1）若，证明：直线必过坐标原点；（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程21．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列.（1）求的通项公式：（2）在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.故选：B2、B【解析】由题得，解方程即得解.【详解】解：抛物线的准线方程为，所以.故选：B3、C【解析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.【详解】根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线和所成角为和所成角，连接，在中，，，，所以则异而直线与所成角的余弦值为：，故选：C.4、C【解析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C5、B【解析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，利用对称性即可得出结果.【详解】设直线倾斜角为，由，所以，由，，所以，当点在轴上方，又，所以，所以由对称性知，直线的斜率.故选：B.6、A【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为，设点，则，且有，所以，.故选：A.7、C【解析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，又准线方程是，所以，所以.故选：C8、D【解析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.9、D【解析】利用斜率公式可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.详解】由斜率公式可得，即，解得.故选：D.10、D【解析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【详解】由题设，，∴故选：D11、C【解析】详解】，令，解得或；令，解得函数在上递增，在递减，在递增，时，取极大值，极大值是时，函数取极小值，极小值是，而时，时，，故函数的最小值为，故选C.12、B【解析】分析可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出，求出在时的取值范围，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知对任意的恒成立，则对任意的恒成立，当时，，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答,【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，由椭圆及双曲线定义得：，解得，，因，即，而O是线段的中点，因此有，则有，即，整理得：，从而有，即有，又，则有，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.14、【解析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，设直线为，、，即可得到的坐标，再联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，表示出、的坐标，根据得到方程，求出，即可得解；【详解】解：抛物线方程为，则焦点，准线为，设直线为，、，则，由，消去得，所以，，则，，因为，所以，所以，所以，解得，所以，即直线为，所以直线的斜率为；故答案为：15、【解析】利用点到直线的距离公式即可得出【详解】利用点到直线的距离可得：故答案为:16、-1【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，由两式相减得：，而，于是得，即，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由频率之和为1求参数.（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法写出所有基本事件，根据古典概型的概率计算即可.小问1详解】根据频率分布直方图得：，解得；【小问2详解】由于，和的频率之比为：，故抽取的5人中，，和别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含，，，，，，共7种，故概率.18、（1）；（2）①；②定点有两个，【解析】（1）由双曲线方程有、、，根据已知条件有，即可求离心率.（2）①由题设有，结合（1）求双曲线参数，写出双曲线方程即可；②由题设可设为，，，联立双曲线方程结合韦达定理求，，，，再由、的方程求，坐标，若在为直径的圆上点，由结合向量垂直的坐标表示列方程，进而求出定点坐标.【小问1详解】由题设，若，且，又△为等腰直角三角形，∴，即，则又，可得.【小问2详解】由题设，，由（1）有，则，即，①由上可知：双曲线方程为.②由①知：，且直线的斜率不为0，设为，，，联立直线与双曲线得：，∴，，则，∴，∴直线为；直线为；∴，，若在为直径的圆上点，∴，且，∴，令，则，∴，即，∴或，即过定点.【点睛】关键点点睛：第二问的②，设直线为，联立直线与双曲线，应用韦达定理求，，，，进而根据、的方程求，坐标，再由圆的性质及向量垂直的坐标表示求定点坐标.19、（1）椭圆，（2），证明见解析【解析】（1）结合椭圆第一定义直接判断即可求出的轨迹为；（2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，写出韦达定理；由中点公式求出点，进而得出直线方程，联立椭圆方程求出，结合弦长公式可求，可转化为，结合韦达定理可化简，进而得证.【小问1详解】设，，则因为，满足，即动点表示以点，为左、右焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，其轨迹的方程为；【小问2详解】可以判断出，下面进行证明：设直线的方程为，，，由方程组，得①，方程①判别式为，由，即，解得且由①得，，所以点坐标为，直线方程为，由方程组，得，，所以又所以.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程【小问1详解】设，则，即因为，，所以因为，所以，所以.同理可证.因为，，所以四边形为平行四边形，因为为的中点，所以直线必过坐标原点【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立，整理得，则，，.因为，所以，因为，解得或.当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；所以直线的方程为，所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.故直线过定点.因为为的中点，为的中点，所以过定点.因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，该圆的半径，圆心坐标为，故动点的轨迹方程为．21、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平