3.2.2 双曲线的简单几何性质(分层练习)(解析版)

第三章圆锥曲线的方程3.2.2双曲线的简单几何性质精选练习基础篇基础篇双曲线y2−x2mA．9 B．－9 C．19 D．【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得a=1,b=m【详解】由双曲线y2−x2m因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得a=3b，即1=3m，解得m=直线l与双曲线x2−y24=1交于A、B两点，线段AB的中点为A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】利用点差法计算即可.【详解】设Ax则有x1化简得y1+y2x已知F为双曲线C：x2−y23=1的一个焦点，则点A．3 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】先求焦点，再用点到直线的距离公式即可.【详解】由双曲线的标准方程得c=所以F坐标为2,0或−2,0，渐近线方程为y=±3x，所求距离d=已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=0，该双曲线的焦点为（

）A．±23,0 C．±25,0 【答案】C【分析】设双曲线方程为x2a2−y【详解】设双曲线方程为x2因为双曲线实轴长为4，渐近线方程为2x±y=0，所以2a=4ba=2，解得a=2，b=4所以该双曲线的焦点为±25已知F1,F2分别为双曲线E:x2a2−y2A．y=±2x B．y=±12x C．y=±【答案】C【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得b=3【详解】依题，F1F2根据双曲线的定义||F又b2=c2−所以其渐近线方程为y=±3故选：C已知双曲线C:x216−y29=1的左焦点为F，过原点O的直线与C的右支交于点A，若A．95 B．125 C．3【答案】A【分析】由△OAF为等腰三角形，可得OF=OA，证得AF⊥AF'，有AF2+AF'【详解】设双曲线C的右焦点为F'，由题意可得a=4,b=3,c=a2则有F−5,0，F'若△OAF为等腰三角形，则OF=OA（线段OF与所以OA=12FF'，又则有AF2由双曲线的定义得AF−所以AF⋅设点A到x轴的距离为h，则h=AF在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【分析】根据双曲线的性质结合等腰三角形的角度关系求解即可；【详解】如图所示，由题意可知，∠AOF=∠COF1又因为若M是FN的中点，OM⊥FN,所以∠AOF=∠AOC,所以3∠AOF=π，∠AOF=根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：y=±OF=c，tan∠AOF=ba因为a2+b2过原点的直线l与双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0交于A，B两点（点A在第一象限），AC⊥x交x轴于A．y=±2x B．y=±12x C．y=±【答案】D【分析】由题可设，A(x0,y0【详解】因为A,B直线过原点，所以A,B关于原点对称，设A(x因为AC与x轴垂直，所以C(x0设kAB则k1而k所以，k1所以，a2=2b2,a=2已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F1，O为坐标原点，右焦点为F22,0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据右焦点为F22,0，得到F1F2=4，进而得到PF【详解】解：因为右焦点为F22,0，所以又因为F1F2又因为F1F2所以O为坐标原点，且M为线段PF2的中点，所以OM已知双曲线E：y2a2−x2b2=1（a>0，b>0【答案】1,【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于a,b的不等关系，即可求得离心率范围.【详解】因为双曲线E:y2a2−x2因为，要使直线y=±2x与E无公共点，则ab所以，0<ba所以满足条件的离心率的范围是1,提升篇提升篇（多选）已知双曲线C:x2−y216=1A．双曲线C的离心率为17B．焦点到渐近线的距离为4C．左右焦点分别为F1,F2，若|PD．若左、右顶点分别为A,B，当P与A,B不重合时，直线PA与直线PB的斜率之积为16【答案】ABD【分析】根据方程求出a,b,c的值，求出离心率；得出渐近线以及焦点坐标.结合点到直线的距离，即可得出B；根据双曲线的定义，结合双曲线的范围，即可判断C项；表示出直线PA与直线PB的斜率，结合双曲线的方程，即可得出D项.【详解】

由已知可得，a2=1，a=1，b2=16，b=4，所以选项A：e=c选项B：双曲线的一条渐近线方程为4x−y=0，右焦点坐标为17,0∴焦点到渐近线的距离为d=417选项C：∵根据双曲线的定义可得PF∴PF2=2∵PF2>c−a=选项D：设Px0,y0则kPA故选：ABD.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，过F1斜率为4A．13 B．233 【答案】D【分析】求得P点坐标，根据直线PF【详解】由于线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点，且O所以PF2⊥F1则Pc,b2a，而8ac=3c两边除以a2得3e2−8e−3=0，解得e=3或（多选）已知双曲线C:x2a2−y2a2+3=1(a>0)A．C的离心率为5B．若PF1C．若PF1=2PFD．点P到C的两条渐近线的距离之积为4【答案】ACD【分析】首先根据题意得到双曲线C:x2−y24=1，对选项A，根据e=ca求解即可，对选项B，根据题意得到x【详解】因为F1F2所以a2+a2+3=5对于A，a=1,c=5双曲线C的离心率e=对于B，由题可得F1−5所以xP=−5，则5−yP对于C，因为PF1=2PF

所以PF12+P对于D，设Px0,因为双曲线C的渐近线方程为x−y2=0所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为x0故选ACD．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】由已知得OB⊥BF，BF=b，OB=a，利用【详解】双曲线的右焦点为Fc,0，渐近线方程为bx±ay=0，OB⋅BF=0，则有OB⊥BF，FOF=c，BF=b，∴OB=a则tan∠AOB=2ba，tan∠FOB=b由∠AOB=π−2∠FOB，有tan∠AOB+tan2∠FOB=0，即2ba解得ba2=2，则有c2a已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），斜率为−3的直线l过原点O且与双曲线C交于A．3+12 B．3+1 C．2【答案】B【分析】先由双曲线与直线对称性，得四边形PFQF【详解】设双曲线C的左焦点F，右焦点为F'，P为第二象限上的点，连接PF，PF'根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形PFQF'因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，所以PF⊥QF，即四边形PFQF由直线l的斜率为−3，得∠POF=又PO=FO=c，则△POF在Rt△PFQ中，PQ=2c，则FQ=3c，故又由双曲线定义知PF'−|PF|=2a则e=ca=已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为B,FA．1,2 B．2,2 C．2,+【答案】C【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，则四边形AFBF'为矩形．因此|AB=|F【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为F'，连接AF'因为AF⊥FB，则四边形AFBF'为矩形，所以则|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα．∵|AF'|−|AF|=2a．∴2ccosα−2csinα=2a．即c(cosα−sinα)=a，则e=ca因为α∈π12,可得cosα+π4所以e=1即双曲线离心率的取值范围是2,+∞已知F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】设AF2=BF2=m【详解】如图，过F2作AB⊥F2N设AF2=BF∴AB=BF1−由题意知∠BF1F2=F1N=在Rt△ANF2中,AN2+N∴双曲线C的离心率为2.故选：A.直线l过圆M:(x−4)2+y2=1的圆心，且与圆相交于A,B两点，P为双曲线A．−2 B．1 C．2 D．0【答案】D【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出PA⋅【详解】圆M:(x−4)2+设P(x0,y0)，在双曲线所以PA⋅=(x0对称轴为x=9因为x0≥3，所以当x0=3时，故选：D．（多选）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为A．e=5 B．e=2 C．b=5a【答案】BCD【分析】利用同角三角函数基本关系式、双曲线定义、双曲线性质、余弦定理、离心率公式运算即可得解.【详解】解：当∠F1PF∵PF1=2∴cos∠F∴解得：c2=4a2，∴∴a2当∠F1PF∵PF1=2∴cos∠F∴解得：c2=6a2，∴∴a2+b故选：BCD.已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，C的离心率为2，过F1且倾斜角为120°的直线l与【答案】6【分析】由题意可得a=b，C的渐近线方程为y=±x，△ABF2的内切圆的半径为r=6，结合双曲线的定义可得AB=4a【详