2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(分层练习)（解析版）

第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系精选练习基础篇基础篇若直线y=kx+1​与圆x2+y2=1​相交于A，B​两点，且∠AOB=60∘A．−33​或33​ B．33​ C．−2​或2​【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由∠AOB=60∘可知，圆心(0,0)到直线y=kx+1的距离为根据点到直线的距离公式可得11故选：A直线ax+y−a=0(a∈R)与圆x−22A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.【详解】由ax+y−a=0得y=−a所以直线ax+y−a=0恒过定点1,0，已知圆x−22+y所以点1,0在圆(x−2)2所以直线ax+y−a=0与圆x2故选：B过点A−1,4作圆C：x2+y2=17的切线【答案】x−4y+17=0【分析】根据题意可得过点A的切线l与AC垂直，先求得kAC，即可求得切线l的斜率k，再根据点斜式即可求得切线l的方程．【详解】因为点A−1,4在圆x2+y2=17上，所以过点又因为kAC=4−1=−4所以切线l的方程为y−4=14x+1已知圆C1:x2+【答案】3x−4y+6=0【分析】判断两圆位置关系，再将两圆方程相减即得.【详解】圆C1:(x+1)2+圆C2:(x−2)2+于是|C1C由x2+y2+2x−6y+1=0所以两圆的公共弦所在的直线方程为3x−4y+6=0.过原点且与圆x2+yA．y=34x B．C．y=34x或x=0 D．【答案】C【分析】根据圆的方程写出圆心坐标、半径，讨论切线斜率存在性，结合点线距离公式求切线方程.【详解】由题意，圆的方程为x−22+y+1当切线的斜率存在时，设切线方程为kx−y=0，由圆心2,−1到直线的距离等于半径2，即2k+1k2+1因此一条切线方程为y=3当切线斜率不存在时，y轴是符合条件的切线，方程为x=0，

故选：C已知点P是圆M:x2+y2−4x−6y+12=0上的动点，直线l:x+2y−4=0与x轴、y轴分别交于A,B两点，当A．23 B．22 C．14 【答案】A【分析】作出示意图之后，结合图形可知，PA与圆M相切时，切线长PA取到最小值.【详解】圆M:x2+故圆心为M2,3，半径为1，直线与坐标轴交于点A4,0，点

则当∠PAB最小时，PA与圆M相切，连接MP,AM，可知PM⊥PA,AM由勾股定理可得AP=故选：A若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆x2+y−12=1相切于点【答案】3【分析】设直线AB的方程为y=3x+b，则点A0,b，利用直线AB与圆x2+y−12【详解】设直线AB的方程为y=3x+b，则点由于直线AB与圆x2+y−12=1则b−12=1，解得b=−1或b=3，所以因为BC=1，故AB故答案为：3.若直线x−y+m=0m>0与圆x−12+y−12=3【答案】2【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详解】圆x−12+y−12=3圆心到直线x−y+m=0m>0的距离为1−1+m由勾股定理可得m22+m2故答案为：2.已知圆心在直线3x−y=0上的圆C与x轴的正半轴相切，且C截y轴所得弦的弦长为42，则圆C的标准方程为【答案】x−1【分析】根据圆的切线的性质，利用半径表示出圆心，结合弦长公式，可得答案.【详解】由题意，作图如下：设圆C的半径为r，由圆C与x轴的正半轴相切，且AC⊥x轴，则AC=r，由圆心C在直线3x−y=0，则圆心C的坐标为r3显然点C到y轴的距离为r3，根据弦长公式可得：42=2圆心C1,3，则其标准方程x−1故答案为：x−12已知直线l:kx−y−k+3=0，若无论k取何值，直线l与圆x−52+y−62=A．3,5 B．3,+∞ C．4,6 D．【答案】D【分析】根据直线过定点的求法可求得直线l恒过定点A1,3，由点A【详解】由l:kx−y−k+3=0得：x−1k+由x−1=03−y=0得：x=1y=3，即直线l恒过定点∴当点A1,3在圆上或圆内时，直线l与圆x−5∴1−52+3−62≤r即r的取值范围为5,+∞.故选：D.提升篇提升篇过点−2,0与圆x2+y2−4x−m=0A．−4 B．−22 C．22【答案】D【分析】由题意，点−2,0到圆心的距离是半径的2倍，列方程求解即可.【详解】圆x2+y圆心坐标为2,0，半径r=4+m过点−2,0与圆相切的两条直线垂直，则点−2,0到圆心2,0的距离为2r即4=2×4+m故选：D.若直线l:kx−y−2=0与曲线C:1−(y−1)2=x−1有两个交点，则实数A．43,2 C．−2,43∪【答案】A【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线l:kx−y−2=0恒过定点(0,−2)，曲线C:1−(y−1)2=x−1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x=1右侧的半圆（包括点(1,2)当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k=2，直线记为l1当l与半圆相切时，由|k−3|k2+1=1，得分析可知当43<k≤2时，l与曲线故选：A．若直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x−4y+1=0所截得的弦长为4A．14 B．19 C．4 【答案】D【分析】根据直线与圆的位置关系可得a+b=1，再由基本不等式求解即可.【详解】由x2+y2+2x−4y+1=0由题意，直线2ax−by+2=0过圆心−1,2，即a+b=1，又1a+4当且仅当4ab=ba，即故选：D.已知圆C:x2+y2−4x−2y−4=0，过点P6,−2作圆C的两条切线，切点分别为AA．6 B．12 C．14 D．18【答案】B【分析】求出圆心和半径，得到切线长，求出四边形的面积.【详解】依题意，圆C:x−22+则AC=3，PC故AP=PC2−AC故四边形PACB的面积S=PA故选：B圆x−22+y2=4A．60° B．45° C．120° D．90°【答案】D【分析】首先判断两圆相交，求出圆心距，再求出圆心到公共弦的距离，设公共弦所对的圆心角是2θ，则cosθ=d2r【详解】圆x−22+y2=4圆x2+y−22=4所以圆心距为d1=0−2所以圆心2,0到公共弦的距离d2设公共弦所对的圆心角是2θ，则cosθ=d2r1=22即两圆公共弦所对的圆心角是90°.故选：D．设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1【答案】1【分析】首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线l【详解】解：A−2,3关于y=a对称的点的坐标为A'−2,2a−3，B所以A'B所在直线即为直线l，所以直线l为y=a−3圆C:x+32+y+22依题意圆心到直线l的距离d=−3即5−5a2≤a−32+故答案为：1（多选）已知实数x，y满足方程x2+yA．yx的最大值为43 B．C．x2+y2的最大值为5+1【答案】ABD【分析】根据yx的几何意义，结合图形可求得yx的最值，由此判断A，B，根据【详解】由实数x，y满足方程x2+y2−4x−2y+4=0作其图象如下，因为yx表示点(x,y)设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx，则2k−1k2+1=1，解得：∴yx∈0,43x2+y圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为OC+1所以x2+y2最大值为所以x2+y因为x2+y故可设x=2+cosθ，y=1+sinθ，所以x＋y=2+cosθ+1+sinθ=3+2所以当θ=π4时，即x=2+22,y=1+故选：ABD.已知点P在圆x−52+y−52=16上，点AA．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，PBD．当∠PBA最大时，PB【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆x−52+y−52=16直线AB的方程为x4+y圆心M到直线AB的距离为5+2×5−41所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155−4<2，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0−52由勾股定理可得BP=故选：ACD.（多选）点P在圆C1：x+12+y+12=1上，点Q在圆A．实数m的取值范围为−8,+B．当m=−4时，PQ的最小值为32−3C．当圆C1和圆C2D．当圆C1的圆心在圆C2上时，圆C1和圆【答案】ABD【分析】将圆的方程化为标准方程即可判断A；分别求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，再根据最小值为圆心距减去半径之和，最大值为圆心距加上半径之和，即可判断B；根据两元外切可得圆心距等于半径之和即可判断C；先求出公共弦所在直线的方程，再根据圆的弦长公式即可判断D.【详解】圆C1的圆心C1−1,−1圆C2：x2+则圆C2的圆心C22,2对于A，由题意，−42+−4所以实数m的取值范围为−8,+∞，故A正确；当m=−4时，圆C2的半径r因为C1所以两圆外离，所以PQ的最小值为32−3，最大值为对于C，当圆C1和圆C2外切时，即32=1+m+8对于D，当圆C1的圆心在圆C则1+1+4+4−m=0，解得m=10，所以圆C2：x两圆的方程相减得6x+6y+11=0，即两圆的公共弦所在直线的方程为6x+6y+11=0，圆心C1−1,−1到直线6x+6y+11=0的距离所以公共弦长为2r故选：ABD.已知直线x−2y+1=0与圆C:x2+y2−4x+2y−a=0交于(1)求实数a的值；(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，