第十五章 分式（单元重点综合测试）

第十五章分式（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子是分式的是（）A． B． C． D．2．化简结果正确的是（）A． B．1 C． D．3．下列分式变形正确的是（）A． B． C． D．4．去年，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（）A．米 B．米 C．米 D．米5．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大到原来的9倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍6．若关于的分式方程有增根，则的值为（）A．1 B．2 C． D．07．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（）A． B．C． D．8．下列关于分式的判断，正确的是（）A．当时，的值为零B．无论为何值，的值总为正数C．无论为何值，不可能得整数值D．当时，有意义9．已知一列数，，…..，它们满足关系式，，，…，当时，则（）A． B． C． D．10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（

）A．且 B．且C．且 D．且二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．分式和的最简公分母是______．12．若分式的值等于，则的值为____________．13．复学在即，由于新冠疫情，学校决定拿出元分两次购进个口罩免费发放给学生．已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的倍．若设第二次购买口罩的单价为元/个，根据题意可列方程为______．14．若，对任意自然数都成立，则__________．15．定义运算，如：，则方程的解为_____________.16．已知，关于x的分式方程无解，则m的值为___________.三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）17．解分式方程：(1)；(2)．18．计算：(1)(2)19．先化简，再求值：，其中20．已知：代数式(1)当m为何值时，该式无意义？(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．23．（1）已知关于x的分式方程．①当时，求方程的解．②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元．(1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？(2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件．①甲商场的商品打几折？②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品，整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量为多少？25．对于分式A与B，若（k为常数），则称A是B的“k级牵挂分式”，如分式，，，则A是B的“3级牵挂分式”．(1)若分式是分式C的“级牵挂分式”，则分式C为（）A．

B．

C．

D．(2)已知分式，，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”，①求E（用含x的式子表示）；②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值．(3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b的值．

第十五章分式（单元重点综合测试）答案全解全析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子是分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的定义，一般地，如果A、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A，是单项式，故该选项不符合题意；B，是分式，故该选项符合题意；C，是多项式，故该选项不符合题意；D，是单项式，故该选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．2．化简结果正确的是（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据分式的加减法法则计算即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题考查了分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．3．下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答；【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键4．去年，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大到原来的9倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍【答案】C【分析】根据分式的性质，将分式中的和都扩大到原来的3倍，进而化简，即可求解．【详解】解：∵∴分式的值缩小到原来的故选：C．【点睛】本题考查的是分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．6．若关于的分式方程有增根，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．【详解】解：方程两边都乘，得，原方程有增根，最简公分母，解得：，当时，，故选：C．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性．7．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据0指数幂，负指数幂直接计算即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，，，∴，故选：D．【点睛】本题考查0指数幂，负指数幂，解题的关键是熟练掌握，．8．下列关于分式的判断，正确的是（）A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义【答案】B【分析】根据分式有意义的条件和分数值为零的条件逐一判断，即可得到结论．【详解】解：A、当时，无意义，原判断错误，不符合题意；B、，，无论为何值，的值总为正数，原判断正确，符合题意；C、当时，是整数，原判断错误，不符合题意；D、当时，有意义，原判断错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值为零的条件是分子是0，分母不是0．9．已知一列数，，…..，它们满足关系式，，，…，当时，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数列关系得到，，，即可得到数列是个循环数列，3个一循环即可得到答案；【详解】解：∵，，，，∴，，，∴数列是3个一循环的数列，∵，∴，故选：A；【点睛】本题考查数列的规律，解题的关键是根据题意得到数列规律．10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】先解方程得到，再由方程的解为非负数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围．【详解】解：，去分母得，解得，∵方程的解为非负数，∴，∴，∵，∴，∴，∴a的取值范围是且，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不为0是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．分式和的最简公分母是______．【答案】【分析】根据找最简公分母的方法找出即可．【详解】解：分式和的最简公分母是，故答案为：．【点睛】本题考查了最简公分母，能熟记找最简公分母的方法是解此题的关键，找最简公分母的方法是：①系数找分母各个系数的最小公倍数，②相同字母找字母的最高次幂，③对于在一个分母中单独有的因式，也作为一个因式．12．若分式的值等于，则的值为____________．【答案】1【分析】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键．13．复学在即，由于新冠疫情，学校决定拿出元分两次购进个口罩免费发放给学生．已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的倍．若设第二次购买口罩的单价为元/个，根据题意可列方程为______．【答案】【分析】设第二次购买口罩的单价为元/个，则第一次购买口罩的单价是元/个，根据题意，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设第二次购买口罩的单价为元/个，则第一次购买口罩的单价是元/个，根据题意得，故答案为：．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．14．若，对任意自然数都成立，则__________．【答案】/【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到，进而得到关于a、b的方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案．【详解】解：，，对任意自然数都成立，，即，解得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．15．定义运算，如：，则方程的解为_____________.【答案】/【分析】先根据新运算得出，求出，再方程两边都乘，得，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：，方程两边都乘，得，解得：，经检验，是原方式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．16．已知，关于x的分式方程无解，则m的值为___________.【答案】0或【分析】转化成整式方程求出方程的解，根据无解得出的值．【详解】解：方程两侧同乘得：，整理得，方程无解，，，当或时方程无解，，故答案为：0或．【点睛】本题考查了分式方程无解时情况，转化成整式方程进行分析是最基本的方法．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）17．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)原分式方程无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案；（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：去分母得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：当时，，原分式方程的解为：；（2）解：，，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，是原分式方程的增根，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意要检验．18．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解；（2）根据单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法进行计算，然后合并同类项，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式的乘法，积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．19．先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【详解】解：原式，把代入得；【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．20．已知：代数式(1)当m为何值时，该式无意义？(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；【答案】(1)时，该式无意义(2)【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可．【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；所以时，该式无意义．（2）由题意得，该式的值为正数时，，即．【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．【答案】(1)A款纪念品购进的个数为30个(2)A款纪念品降价以前的售价50元【分析】（1）设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据共购进50个和花费1400元，可列二元一次方程组，即可解答；（2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，利用按照原价销售的个数加上4等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．【详解】（1）解：设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据题意可得，解得，答：A款纪念品购进的个数为30个；（2）解：设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，根据题意可得，解得，经检验，为原方程的解，答：A款纪念品降价以前的售价50元．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．（2）猜想的第n个等式为：．利用分式运算进行证明即可．【详解】（1）第6个等式：；（2）猜想的第n个等式为：证明如下：左边，右边，左边=右边∴【点睛】本题考查简单的归纳推理、数学归纳法等基础知识，还考查分式的加法运算，是中档题．23．（1）已知关于x的分式方程．①当时，求方程的解．②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值；（2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值．【详解】解：（1）①当时，分式方程为：，去分母得到，解得：，检验：当时，，∴是原方程的根；②，去分母得到，解得：，由题意得：，解得：，∴，解得：，∴a的值为3；（2），去分母得到，解得，∵方程有整数解，∴或且，解得：或3或0或4且，∴或0或4，∴此时整数m的值为3或0或4．【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元．(1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？(2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件．①甲商场的商品打几折？②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品，整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量为多少？【答案】(1)A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元(2)①打8折；②20或22或24或26【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①设甲商场的商品打a折，利用数量＝总价÷单价，结合在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；②总费用为元，由总费用为500多，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，结合n为正整数且，可得出n的值，再将其代入中，即可求出结论．【详解】（1）解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意得