2024-2025学年高中数学第三章概率3.1.1频率与概率1.2生活中的概率学案含解析北师大版必修3

PAGE1随机事务的概率1．1频率与概率1．2生活中的概率考纲定位重难突破1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性.2.正确理解概率的意义.3.理解频率与概率的关系.重点：事务概率的含义.难点：频率与概率的区分与联系.授课提示：对应学生用书第40页[自主梳理]1．随机事务的频率(1)频率是一个改变的量，在大量重复试验时，它又会呈现出稳定性，在一个常数旁边摇摆，但随着试验次数的增加，摇摆的幅度具有越来越小的趋势．(2)随机事务的频率也可能出现偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性就会削减．2．随机事务的概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事务A发生的频率会在某个常数旁边摇摆，即随机事务A发生的频率具有稳定性，这时，这个常数叫作随机事务A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是0≤P(A)≤1．3．概率在生活中的作用概率和日常生活有着亲密的联系，对于生活中的随机事务，我们可以利用概率学问作出合理的推断与决策．4．天气预报的概率说明天气预报的“降水”是一个随机事务，“降水概率为90%”指明白“降水”这个随机事务发生的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事务也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．[双基自测]1．下列试验能构成事务的是()A．抛掷一次硬币B．射击一次C．标准大气压下，水烧至100D．摸彩票中头奖解析：每一次试验连同它产生的结果叫做事务．A，B，C只是试验，没有结果，所以不是事务．D既有试验“摸彩票”又有结果“中头奖”，所以是事务．答案：D2．下列事务为随机事务的是()A．百分制考试中，小强的考试成果为105分B．长和宽分别为a，b的长方形的面积为abC．清明季节雨纷纷D．抛一枚硬币，落地后正面朝上或反面朝上解析：对于A，百分制考试中，小强的考试成果为105分，是不行能事务，故A不正确；对于B，长和宽分别为a，b的长方形的面积为ab，是必定事务，故B不正确；对于D，抛一枚硬币，落地后正面朝上或反面朝上，只有这两种可能，所以是必定事务，故D不正确．答案：C3．在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参与某项活动：①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必定事务、②为不行能事务、③为随机事务，则x为()A．5 B．6C．3或4 D．5或6解析：由题意知，10个学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第41页探究一频率与概率的关系[典例1]某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示.射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心频率eq\f(m,n)(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？[解析](1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89旁边，所以这个射手射击一次击中靶心的概率约为0.89.概率的确定方法(1)理论依据：频率在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事务的概率；(2)计算频率：频率＝eq\f(频数,试验次数)＝eq\f(m,n).(3)用频率估计概率．1．已知集合A＝{a|a>3}，从集合A中任取一个元素a，给出下列说法：①a>2的概率是1；②a>4的概率是0；③a≤3的概率大于0；④5<a<6的概率小于1.其中正确说法的序号是________．解析：①事务是必定事务，其概率为1，正确；②事务是随机事务，其概率不为0，不正确；③事务是不行能事务，其概率为0，不正确；④事务是随机事务，其概率小于1，正确．综上所述，正确说法的序号是①④.答案：①④探究二频率与概率的关系及求法[典例2]表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查状况：表一抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率eq\f(m,n)表二抽取球数n7013031070015002000优等品数m6011628263713391806优等品频率eq\f(m,n)(1)分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？(3)若该两厂的篮球价格相同，你准备从哪一厂家购货？[解析](1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95，0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事务“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的旁边摇摆，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的旁边摇摆，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.(3)依据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事务发生可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应当选择甲厂生产的篮球．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，常用事务发生的频率作为概率的估计值，频率本身是随机的，而概率是一个确定的数，是客观存在的，因此概率与每次试验无关．2．某医院治疗一种疾病的治愈率为eq\f(1,5)，前4个病人都未治好，则第5个病人的治愈率为()A．1 B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5) D．0解析：治愈率为eq\f(1,5)，表明第n个病人被治愈的概率为eq\f(1,5)，并不是5个人中必有1个人治愈，故选B.答案：B探究三概率的实际应用[典例3](1)某一对夫妇生有两个孩子，大孩子是女孩，小的确定是男孩；(2)某销售商为了提高某品牌日用品的销售量，确定在某超市搞促销活动：凡购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，中奖率为eq\f(3,10).某顾客觉得该品牌的日用品好用也是必需的用品，所以确定购买10件，认为确定有3次能中奖的机会，更有实惠；(3)某市气象预报：明天本市降雨的概率为60%.有人认为明天本市有60%的区域要下雨，40%的区域不下雨；也有人认为明天本市有60%的时间下雨，有40%的时间不下雨．以上说法对吗？[解析](1)不对．一对夫妇生一个孩子，是做一次试验，生男孩、女孩的概率都是eq\f(1,2).生两个孩子相当于做两次试验，每一次试验生男孩、女孩的概率都是eq\f(1,2).因此其次个孩子的性别可能是男，也可能是女．(2)不对．购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，是做一次试验，试验的结果中奖率为eq\f(3,10)，不中奖率为eq\f(7,10).购买10件，抽奖10次，相当于做10次试验，每一次试验结果中奖率为eq\f(3,10)，不中奖率为eq\f(7,10).(3)不对．明天本市降雨的概率为60%，是指本市明天下雨的可能性为60%，不是指下雨的区域也不是指下雨的时间．1．概率是描述随机事务发生的可能性大小的度量，事务A的概率越大，其发生的可能性就越大，概率越小，事务A发生的可能性就越小，但不能确定其确定发生或不发生．2．随机事务在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映．概率是客观存在的，它与试验次数，以及哪一个详细的试验都没有关系，运用概率学问，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误相识．3．某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人确定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?解析：假如把治疗一个病人作为一次试验，“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍旧是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．治愈的概率是0.3，指假如患病的人有1000人，那么我们依据治愈的频率应在治愈的概率旁边摇摆这一前提，就可以认为这1000个人中大约有300人能治愈．利用概率学问解决实际生活中的问题[典例](本题满分12分)为了估计水库中鱼的尾数，可以运用以下的方法：先从水库中捕出确定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出确定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试依据上述数据，估计水库中鱼的尾数．[规范解答]设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事务A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝eq\f(2000,n).①6分其次次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事务A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈eq\f(40,500)②，即eq\f(2000,n)≈eq\f(40,500)③，解得：n≈25000.所以估计水库中的鱼有25000尾.12分[规范与警示]①解题的关键点：假定每尾鱼被捕的可能性相等．②失分点：易列错等式．③正确地列出等式求出所求量，依据是样本的频率近似估计总体的概率．[随堂训练]对应学生用书第42页1．下列说法正确的是()A．任何事务的概率总是在(0，1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定解析：由于必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，故A不正确；频率是通过试验得出的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确；频率是与试验次数有关的值，而概率是具有确定性的不依靠于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率越来越接近概率，故C正确．答案：C2．下列说法中，不正确的是()A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7C．某人射击10次，击中靶心的频率是eq\f(1,2)，则他应击中靶心5次D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4解析：要理解频率的概念，它是命中次数与射击次数的比值．答案：B3．假如袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了20次有14个白球，估计袋中数量较多的是________球．解析：取了20次有14个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球．答案：白4．为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．贫困地区：参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区：参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)利用计算器计算两地区参与测试的儿童中得60分以上的频率；(2)求两个地区参与测试的儿童得60分