一线三角一线三直角

...wd......wd......wd...-------------一线三角三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如以以下图：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°CADBEF〔1〕求证：△CADBEF〔2〕当BD=1，FC=3时，求BE。变式：如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．ABCDE(1)求证：△ABCDE(2)如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3)当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．例2：如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，CDEABFCDEABF变式：：如图，在△ABC中，，，点D在边AB上，，点E在边BC上．又点F在边AC上，且．(1)求证：△FCE∽△EBD；(2)当点D在线段AB上运动时，是否有可能使．如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．AABCDEF例3：如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点〔不与点B、C重合〕，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；ABPCM〔1〕求证：△ABPABPCM〔2〕设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．〔3〕当△APM为等腰三角形时，求PB的长．变式：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。〔1〕求证△BPD∽△CEP〔2〕是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形假设存在，求出BD的长；假设不存在，说明理由。CCPEABD-------------压轴题突破---一线三角例1：在中，，，点、分别在射线、上〔点不与点、点重合〕，且保持.①假设点在线段上〔如图〕，且，求线段的长；ABC②假设，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABC1.与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚刚的方法便可破解此类问题。2.此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变〞。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。变式：正方形的边长为〔如图〕，点、分别在直线、上〔点不与点、点重合〕，且保持.当时，写出线段的长〔不需要计算过程，请直接写出结果〕.AABCD例2：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．〔2〕如果点P在AD边上移动〔点P与点A、D不重合〕，且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长〔不必写出解题过程〕．CCDABP第一问因为是等腰三角形，且满足∠BPC＝∠A,很容易找到一线三角模型，寻找相似，列比例等式，求出AP的长。第二问题目要分类讨论，注意题目里面给的一些提示，直线，射线，线段，这经常是给出要分类讨论的一些信息变式：在等腰三角形中，，是的中点，是上的动点〔不与、重合〕，连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.〔1〕求证：∽；〔2〕设.①用含的代数式表示；②求关于的函数解析式，并写出的定义域.例3：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．〔1〕如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；〔2〕如果点P在BC边上移动〔点P与点B、C不重合〕，且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．EDEDCBA〔备用图〕EDCBAP〔图〕1.第〔2〕小题都是用常规的三等角型相似的方法。2.第二问题目要分类讨论，注意题目里面给的一些提示，直线，射线，线段，这经常是给出要分类讨论的一些信息变式：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连结EF．〔1〕指出图中所有与△BEM相似的三角形，并加以证明；〔2〕设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；AABCDMEF-------------压轴题突破---一线三直角三直角相似可以看着是“一线三等角〞中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进展转化。例1、：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．〔1〕当AP=AD时，求线段PC的长；〔2〕设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．ABABCDPABCD〔备用图〕此题重点在于：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．(构造一线三角，出现相似三角形，进展求解)变式：如图1，，，，点是射线上的一个动点〔点与点不重合〕，点是线段上的一个动点〔点与点、不重合〕，联结，过点作的垂线，交射线于点，联结．设，．〔1〕当时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；〔2〕在〔1〕的条件下，取线段的中点，联结，假设，求的长；〔3〕如果动点、在运动时，始终满足条件，那么请探究：的周长是否随着动点、的运动而发生变化请说明理由．图1图2例2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90度，P是腰BC上一个动点〔不含点B、C〕，作PQAP交CD于点Q〔图1〕求BC的长与梯形ABCD的面积；当PQ=DQ时，求BP的长；〔图2〕设BP=x，CQ=y,试求出y关于x的函数解析式，并写出定义域。第3问添加了辅助线MN，得到一线三角基本模型，得到解题突破口，出现相似，顺利得到答案。变式：如图，在中，，，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F．〔1〕求AC和BC的长；〔2分〕〔2〕当∥时，求的长；〔5分〕〔3〕联结，当和相似时，求的长．〔7分〕AACFEDBACB〔备用图〕ACB〔备用图〕例3、如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且.〔1〕当时，联结,求的余切值；〔2〕当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；〔3〕联结，假设为等腰三角形，求的长.CAB备用图2CAB备用图2CAB备用图1DABFECC1.第2问添加辅助线EH，得到三直角型相似，得到结果；2.第3问等腰三角形的分类讨论，要注意严格按照三种情况进展讨论，在解答过程中，要时刻牢记等腰三角形三线合一这一性质。变式：在梯形ABCD中,AD∥BC，.〔如图1〕