专题12.7 全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题12.7全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.（2）书写格式：如图，在Rt△ABC和△Rt中，【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，

（1）求证：；（2）若，求的度数【答案】(1)见解析；(2)【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：（1）先证，再证即可；（2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．（1）证明：，，和是直角三角形，，，即，在和中，，；（2）解：，，，，．【变式1】如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加．解：∵，，∴，.，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；.，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；故选：．【点拨】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，于点D，于点E，，若，则．

【答案】/度【分析】证得，即可求解；解：∵，，∴是直角三角形，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．【题型2】全等的性质与“HL”综合【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图为的高，为上一点，交于且有，．（1）问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．（2）直接写出的度数．【答案】(1)，，见解析；(2)【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．（1）由已知得，由，，，根据“”证明，得，所以，则；（2）由全等三角形的性质得，而，所以．解：（1），，理由：由已知得，为的高，于点，，在和中，，，，，．（2）的度数是，理由：由（1）得，，，．【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（

）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，外角的性质，先根据，，证明，得到，，，结合，，继而得到，得，判断即可．解：∵，，∴，∴，，，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∵∴，故①②③都正确．故选D．【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，M为边的中点，于点E，于点F，且．若，则°．【答案】50【分析】证明，可得，利用三角形内角和计算即可得答案．此题考查了直角三角形全等的证明方法和性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键．解：∵M为边的中点，于点E，于点F，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：50．【题型3】全等三角形的综合问题【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】(1)见详解；(2)1【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．（1）证明：∵平分，∴．又∵，，∴．在和中：，，，∴．（2）解：∵平分且，，∴．∵∴，∵∴∴即在和中，，∴．∴．又∵，，即，又∵，∴．∴．∴．【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案．解：，，，，，，故②正确，符合题意；，即，故①正确，符合题意；，，，，，故③正确，符合题意；，，，，，，，，，和不一定相等，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②③，故选：A．【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，平分，，，以下四个结论：①，②，③，④．正确的是．【答案】①②④【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由即可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明，可判断②；不能证明与不一定全等，即可判断③；根据和互余，和互余，而，可得，即可判断④．解：∵，∴，故①正确；∵平分，∴，∵，∴，∴，故②正确；∵，而与不一定垂直，∴与不一定全等，故与不一定相等，故③错误；∵，∴和互余，和互余，而，∴，故④正确．故答案为：①②④．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．证明：在中，，，．．．，．在和中，，∴．．【点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．解：如图，

由图可知：，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故选C．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线，，点A，B分别在射线，上，点C为平面内一点，连接，，有．（1）如图1，若，则和的位置关系是______；（2）如图2，若，，请求出和的度数的等量关系式；（3）在（2）的条件下，过点C作交射线于点D，当时，求的度数．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】此题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质、三角形的外角性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质得到，结合题意判定，根据全等三角形的性质得出，即可判定；（2）根据全等三角形的性质及题意得到，再利用三角形内角和定理及三角形外角性质即可得解；（3）根据三角形外角性质、平行线的性质及题意即可得解．（1）证明：，过程如下，，在和中，，，，∴；（2）解：，理由如下：在和中，，，，，，，，即，，，；（3）解：，，，，，，由（2）得，，，．【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角