2024-2025学年浙江省杭州市某校高二（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市联谊学校高二（上）质检

数学试卷（10月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线退x—3y—1=0的倾斜角是（）

A.TB*C.胡D,

oo36

2.已知集合4={己1,2,3,4},B={x\x2-5x+4<0},则力CB=（）

A.[1,2,3,4}B.[1,4}C.{2,3}D.{0,1,4}

3.在空间直角坐标系Oxyz中，点（3,-1,-4）关于平面Oxy的对称点为（）

A.(—3,—1,-4)B.(-3,1-4)C.(3-1,4)D.(—3,1,4)

4.已知复数z满足z+2z=3+3则z=()

A.1+iB.1-iC.2+iD.2-i

5.如图，在斜棱柱48。。一/18道1。1中，ZC与8。的交点为点M,AB=a,AD=b,~AA1=c,则西=

A.-|a++c

B.-柒+期+工

一

Cc.-1-—a--b-c

D.+c

6.设函数fG）=33a）在区间（o；|）上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A.（-oo-l]B.[-3,0）C.（0,1]D.[3,+oo）

7.已知光线从点力（-6,3）射出，经直线2支-y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B（-8,-3）,则反射

光线所在直线的方程是（）

A.3x—2y+18=0B.2x—3y+7=0

C.3%+2y+30=0D.2%+3y+25=0

8.在正四面体。-ABC中，M,N分别为OC和AB的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）

A.|4

B4C-5D1

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

TT

9.已知函数/'(久)=sin(2x+§),则()

A,函数f(x)的最小正周期为兀

B.函数/(%)的图象关于直线比=T对称

TTTT

C.函数/(乃在区间匕万)上单调递减

TT

D.函数/(%)的图象可由y=sin2x的图象向左平移§个单位长度得到

10.关于空间向量，下列说法正确的是()

A.直线/的方向向量为2=(1,1,—2),直线机的方向向量为另=(2,—琦)，则/1机

B.直线I的方向向量为Z=(0,—1,—1),平面a的法向量为石=(0,1,1),贝i|/〃a

C.平面a,0的法向量分别为2=(—1,1,2),b=(l,0,1)，则a〃/?

D.若对空间内任意一点。，都有方=+场+次，则P,A,B,C四点共面

11.如图所示，边长为2的等边△。力B从起始位置(。力1与y轴重合)绕着。点顺V*

时针旋转至。8与x轴重合得到△。&&,在旋转的过程中，下列说法正确的~卜1、公

是()

A.边力B所在直线的斜率的取值范围是[-居-*]L/A.

B.边所在直线在y轴上截距的取值范围是[2,4]?&

C.边4/1与边7I2B2所在直线的交点为(3-避,3-避)

D.当力B的中垂线为x—y=0时，k°B=2-平

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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12.某学校有高二学生700人，其中男生420人，女生280人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息,

采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本(观测数据单位：CM),若已知男生样本的平均数为172,

女生样本的平均数为162,则总样本的平均数是.

13.已知直线%：3x+4y—5=0,I2：6x+8y+5=0,则A与Z2的距禺

d=.

14.如图，在四棱锥P—ABC。中，平面PCD1平面力BCD,底面48CD是矩

形，AB=2BC=6,PC1PD,PC=PD,点。是CD的中点，则线段PB上

的动点E到直线4。的距离的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

求满足下列条件的直线的勺一般式方程：

(1)直线I的一个方向向量是(—1,2),且经过52x-y+9=0,/2：3x+2y-4=0的交点P；

(2)与直线03x-y=0垂直，且点Q(2,-5)到直线Z的距离为迎.

16.(本小题15分)

如图，长方体力BCD—AiBiQDi中，48=BC=1,AA1=2,E是A4i的中点.

(1)求证：CE，平面EBi%；

(2)求点E到平面CBiDi的距离.

17.(本小题15分)

在△48C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且避asinB=c-bcosA.

(1)求角B的大小；

(2)若c=邪,b=1,求△4BC的面积.

18.(本小题17分)

图1是直角梯形4BCD,AB//DC,4D=90°,AB=2,DC=3,AD=4，CE=2FD,以BE为折痕将

BCE折起，使点C到达Ci的位置，且如图2.

(I)求证：平面BCiE_L平面4BED；

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(II)求直线BC1与平面4C1D所成角的正弦值；

(III)在棱DC1上是否存在点P,使得二面角P-EB-C1的平面角为45。？若存在，求线段C1P的长度；若不存

在，请说明理由.

19.(本小题17分)

已知点P和非零实数九若两条不同的直线k%均过点P，且斜率之积为九则称直线0，G是一组“Pa共辗

线对”，如直线小y=2x和％：y=—2是一组“。一1共轨线对”，其中。是坐标原点.

(1)已知dL是一组“。-3共辗线对”，且直线小y=2x,求直线L的方程；

(2)已知点4(0,1)、点B(—1,0)和点C(1,O)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ,QR,RP上的点(48。与P,

Q,R均不重合)，且直线PR,PQ是“Pi共辗线对“，直线QP,QR是“Q4共轨线对”，直线RP，RQ是

“夫9共朝线对”，求点P的坐标；

(3)已知点”(-1,一避)，直线看,〃是“”_2共朝线对”，当G的斜率变化时，求原点。到直线13,〃的距离

之积的取值范围.

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参考答案

1.A

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.B

8.A

9.AC

10.AD

11.ACD

12.168cm

i13j.-2

14.*

15.解：(1)根据直线1方向向量，可求得直线斜率为-2,

联立A：2x-y+9=0,12：3%+2y-4=0,可求得

根据点斜式可得y—5=-2(%+2),化简可得2*+y-1=0.

(2)直线1与直线％：3久一y=0垂直，可求得的•用3=-L

解之可求得比=设直线/的一般式方程为久+3y+m=0,

根据点到直线距离公式根一勒加=回解之可得机=3或机=23,

所以直线2的方程为x+3y+3=0或x+3y+23=0.

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16.(1)证明：如图建系4—xyz,在长方体中，AB=BC=1,44],=2,

贝!14(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),1)(0,1,0),2式0,0,2),

Bi(l,0,2),射(1,1,2),%(0,1,2),E(0,0,l),

=(-1-1,1)-瓦瓦=(T,l,0),=(-1,0-1),

因为次•07=1-1=0，CE-B^E=1-1=O,

所以CECEJ.B]E,又B[D]ClB^E=Bi,B1Di，B±Eu平面EBiDi，

所以CE1平面EBWi；

(2)解：设平面的法向量为=(x,y,z),

'x=2

防=(0-1,2)

y=2nm=(2,2,1),

lor=(-1,1,0)z=1

XCE=(-1-1,1),

所以d=|隼妾|,-2-2+1,3.

「22+22+121-3-X-

17.解：(1)方法一：由诲数讥8=c-bcosZ及正弦定理,

可得巡sizMsiTiB=sinC—sinBcosA,

即避isn/sinB=sin(/+B)—sinBcosA9

即巡sizMsiziB=sinBcosA+cosBsinA—sinBcosA,

整理得利TIB=易又B£(0办可得B=1；

4

方法二：由避as讥8=c-b•扶f房

Z7bc

整理得24acs讥8=c24-a2—b2,

即避siziB=cosB,即tcmB=§，

TT

又Be(0,7T),可得B=q；

(2)方法一：由余弦定理得：l=a2+3-2a•平号

BPa2—3a+2=0,解得a=1或Q=2,

所以S=/X1X*=字或S='X避X:12一(.)2=号

方法二：由正弦定理：熹方=言，可得S出C=<

sm3UsinC2

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又Ce(0,7T),所以C=裁。=条

所以4尸=CF=^/3,

因为ACi=逆，贝！MF?+c/2=4穹，

所以GF1AF,

又CF1BE,且BECiAF=F,

故C/1平面4BED,

又CFu平面BCiE,

故平面BCiE1平面ABED；

(II)解：以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

贝|。(0,0,0)/(4,0,0),B(W，2,0),E(0,l,0),F(^,|,0),C1(^,|，V3),

所以跖=(一号T，2)而=(73,0,0),西=(*|,8)，

设平面ZC1。的法向量为五=(%,y,z),

(n-DA=0f=。

则《•际=0,即好久+|y+@=0，

令z=避，贝卜=0,y=-2,

故71=(0,-2,4),

I跖.司—4_2“

所以|cos<BC；九>|=

\BC[\\n\一,4+3x27-，

故直线BCi与平面4C1D所成角的正弦值为竽;

(III)解：假设在棱DC】上存在点P,使得二面角P-E8-3的平面角为45。,

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DP=kDC[=净凯舟）卜e（0,1）,

则p谟快回),

z/

所以BE=(—y/3,—1,0)fPE=

因为力E1平面QBE,

所以平面C/E的一个法向量为Z=(-l，V3,0),

设平面PBE的法向量为拓=(a,hc),

+b

n(m-BE=0J^=°

则(方.方=0'即(一乎ka+(1—|k)b—避既=0，

可取为=心k「3k郃k-平),

a?I、l1一、1_1，而________\-pk-3Fk\___________J2

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