2023-2024学年广东省拨尖创新人才九年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）

第1页（共1页）2023-2024学年广东省拨尖创新人才九年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）一、选择题（每小题4分，共60分）1．（4分）计算下列各式，值最大的是（）A．32×（﹣3）3 B．﹣32×（﹣3）3 C．32+（﹣3）3 D．﹣32÷（﹣3）2．（4分）已知实数x，y满足（x2+y2﹣1）2+x2+y2﹣3＝0，则x2+y2的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．13．（4分）如图为一个棱长为1的正方体的展开图，A、B、C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°4．（4分）随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7（）A．1500 B．10500 C．14000 D．150005．（4分）若分式不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜16．（4分）已知：a、b是正数，且a+b＝2，则的最小值是（）A． B． C． D．7．（4分）实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤08．（4分）已知有理数x满足≥x﹣，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，则ab的值为（）A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．19．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）10．（4分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．11．（4分）如图，已知正方形ABCD的面积为9．它的两个顶点B，D是反比例函数（k＞0，x＞0），若点D的坐标是（m，n），则m﹣n的值为（）A．3 B．﹣3 C． D．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，D为圆心，以大于，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．13．（4分）已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．1214．（4分）如图，在反比例函数的图象上1，P2，P3，P4，…，Pn，…它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，…，Sn，…，则S1+S2+S3+…S2024的结果为（）A． B． C． D．15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝2，BD＝4，则CD长的最大值是（）A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2二、填空题（每小题5分，共30分）16．（5分）计算：2cos30°+＝．17．（5分）已知xy≠1，且有3x2+2023x+5＝0，5y2+2023y+3＝0，则的值等于．18．（5分）若关于x的分式方程+＝2a无解，则a的值为．19．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为．20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值为．21．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点M为AB边上一点，AM＝4，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，AN的长度为．三、解答题（每小题12分，共60分）22．（12分）阅读材料一：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…材料二：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．根据以上材料回答：（1）27的个位数字为；（2）1+2+22+23+…+22021+22022结果的个位数字为；（3）请计算1+7+72+73+…+799+7100的值．23．（12分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）24．（12分）某商品现在的售价为每件60元，进价为每件40元，每星期可卖出300件，如调整价格，每涨价1元；每降价1元，每星期可多卖出20件．（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售的数量为y件，求y与x的函数关系；（2）设每星期的利润为W元，问如何确定销售价格才能达到最大周利润；（3）为了使每周利润不少于6000元，求售价的范围．25．（12分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N（秒）．（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式，请说明理由；（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．26．（12分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE（1）求证：AE＝CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF（3）求线段OF长的最小值．

2023-2024学年广东省拨尖创新人才九年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共60分）1．（4分）计算下列各式，值最大的是（）A．32×（﹣3）3 B．﹣32×（﹣3）3 C．32+（﹣3）3 D．﹣32÷（﹣3）【解答】解：32×（﹣4）3＝9×（﹣27）＝﹣243；﹣52×（﹣3）5＝﹣9×（﹣27）＝243；33+（﹣3）3＝2+（﹣27）＝﹣18；﹣32÷（﹣8）＝﹣9÷（﹣3）＝2；∵243＞3＞﹣18＞﹣243，∴值最大的是﹣37×（﹣3）3，故选：B．2．（4分）已知实数x，y满足（x2+y2﹣1）2+x2+y2﹣3＝0，则x2+y2的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．1【解答】解：令x2+y2＝A，∵x5+y2≥0，∴A≥2，∴（A﹣1）2+A﹣2＝0，A2﹣8A+1+A﹣3＝7，A2﹣A﹣2＝7，（A﹣2）（A+1）＝7，∴A﹣2＝0或A+2＝0，解得：A＝2或﹣4（舍），∴x2+y2＝2，故选：C．3．（4分）如图为一个棱长为1的正方体的展开图，A、B、C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°【解答】解：连接AC，则AC＝ BC＝，AB＝，∵AC8+BC2＝AB2∴△ABC直角三角形，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝＝45°．故选：B．4．（4分）随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7（）A．1500 B．10500 C．14000 D．15000【解答】解：∵小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量的平均数为＝3，∴估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为1500×7＝10500，故选：B．5．（4分）若分式不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜1【解答】解：分式不论x取何值总有意义，即把分母整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式为（x8﹣2x+1）+m﹣7＝（x﹣1）2+（m﹣5），因为论x取何值（x2﹣2x+2）+m﹣1＝（x﹣1）6+（m﹣1）都不等于0，所以m﹣4＞0，即m＞1，故选：B．6．（4分）已知：a、b是正数，且a+b＝2，则的最小值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵a，b均为正数，b＝2﹣a，设W＝+＝+，从上式可以看出：第一个根号是表示点C（a，2）到A（0，第二个根号是点C（a，﹣2）的距离，最小值为AB＝＝（注意取值范围：4＜a＜2），∴W最小值＝，故选：A．7．（4分）实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0当x＝﹣3时，原方程化为a﹣b+c＝0所以一元二次方程为ax2+bx+c＝2有实数根，所以b2﹣4ac≥3．故选：C．8．（4分）已知有理数x满足≥x﹣，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，则ab的值为（）A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1【解答】解：≥x﹣，去分母得：2（3x﹣1）﹣3×7≥6x﹣8（5+2x）去括号得：6x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣5，移项得：9x﹣6x+7x≥﹣10+14+3，合并同类项得：7x≥3，把系数化为1得：x≥1，当3≤x≤3时，3﹣x≥7，|3﹣x|﹣|x+2|＝8﹣x﹣（x+2）＝3﹣x﹣x﹣2＝1﹣2x，∴﹣4≤﹣2x≤﹣2，﹣6≤1﹣2x≤﹣6，当x＞3时，3﹣x＜5，|3﹣x|﹣|x+2|＝x﹣5﹣（x+2）＝﹣5，∴|8﹣x|﹣|x+2|的最小值为﹣5，最大值为﹣5，∴a＝﹣5，b＝﹣1，∴ab＝﹣7×（﹣1）＝5．故选：B．9．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）【解答】解：根据题意，点A，设点A′的坐标是（x，y），则＝0，，解得x＝﹣a，y＝﹣b+2，∴点A′的坐标是（﹣a，﹣b+2）．故选：D．10．（4分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变；铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据称重法可知y变大；铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，故y不变．故选：C．11．（4分）如图，已知正方形ABCD的面积为9．它的两个顶点B，D是反比例函数（k＞0，x＞0），若点D的坐标是（m，n），则m﹣n的值为（）A．3 B．﹣3 C． D．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，∴AB＝AD＝3，∵点D的坐标是（m，n），∴点B的坐标是（m+3，n﹣3），∵点B，D是反比例函数，x＞0）的图象上两点，∴mn＝（m+5）（n﹣3），∴m﹣n＝﹣3，故选：B．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，D为圆心，以大于，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由题意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，∴△BCE是黄金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合题意；故选：C．13．（4分）已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：根据题意，连接BD，则BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC＝8根据勾股定理得：BM＝＝10，即DN+MN的最小值是10；故选：B．14．（4分）如图，在反比例函数的图象上1，P2，P3，P4，…，Pn，…它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，…，Sn，…，则S1+S2+S3+…S2024的结果为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意可得：当x＝1时，P1的纵坐标为2；当x＝2时，P2的纵坐标为8；当x＝3时，P3的纵坐标为；当x＝4时，P2的纵坐标为；当x＝4时，P5的纵坐标为；•••则S1＝1×（2﹣1）＝2﹣2；S2＝1×（2﹣）＝7﹣；S4＝1×（﹣）＝﹣；S4＝1×（）＝﹣；•••Sn＝；S1+S5+S3+…Sn＝2﹣7+1﹣+﹣+﹣+•••+＝∴S1+S4+S3+…S2024＝＝，故答案为：D．15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝2，BD＝4，则CD长的最大值是（）A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2【解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，DT＝1，则AT＝，∵＝＝5，∴＝，∵∠ADT＝∠ABC＝90°，∴△ADT∽△ABC，∴∠DAT＝∠BAC，＝∴∠DAB＝∠TAC，∵＝，∴△DAB∽△TAC，∴＝＝，∴TC＝8，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值为1+8，故选：B．二、填空题（每小题5分，共30分）16．（5分）计算：2cos30°+＝4．【解答】解：原式＝2×﹣2+2﹣＝4．故答案为：4．17．（5分）已知xy≠1，且有3x2+2023x+5＝0，5y2+2023y+3＝0，则的值等于．【解答】解：∵5y2+2023y+8＝0，∴＝4）2+2023×+5＝0，∴x和是关于x的一元二次方程3x2+2023x+8＝0的两个解，∴＝．故答案为：．18．（5分）若关于x的分式方程+＝2a无解，则a的值为3或．【解答】解：去分母得：x﹣a＝2a（x﹣3），整理得：（7﹣2a）x＝﹣5a，当7﹣2a＝0时，方程无解；当1﹣7a≠0时，x＝，分式方程无解，则a的值为：3或；故答案为：3或．19．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为49．【解答】解：∵数据x1，x2，x5，x4，x5的平均数是3，∴数据3x1﹣3，3x2﹣6，3x3﹣3，3x4﹣5，3x5﹣8的平均数是3×2﹣3＝4；∵数据x1，x5，x3，x4，x2的方差为5，∴数据3x4，3x2，8x3，3x8，3x5的方差是8×32＝45，∴数据6x1﹣2，3x2﹣2，6x3﹣2，8x4﹣2，2x5﹣2的方差是45；∴数据5x1﹣2，8x2﹣2，8x3﹣2，8x4﹣2，6x5﹣2的平均数和方差的和为：3+45＝49．故答案为：49．20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值为1．【解答】解：作BH⊥x轴，垂足为H，垂足为M，∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，∴△BHO∽△AMO，∴，令OM＝a，则BH＝，代入反比例函数y2＝﹣得：x＝，∴OH＝，得：AM＝，∴，又∵AM•OM＝m，∴m＝1．故答案为3．21．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点M为AB边上一点，AM＝4，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，AN的长度为4或10﹣2．【解答】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAM＝∠PAN＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，∴AN＝AM＝4；②当点P在菱形对角线BD上时，如图3所示：设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∵AB＝6，∴BM＝AB﹣AM＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝，∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴，即，∴PD＝x，∴，解得：x＝10﹣2或10+2，综上所述，AN的长为7或10﹣2．故答案为：4或10﹣4．三、解答题（每小题12分，共60分）22．（12分）阅读材料一：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…材料二：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．根据以上材料回答：（1）27的个位数字为8；（2）1+2+22+23+…+22021+22022结果的个位数字为7；（3）请计算1+7+72+73+…+799+7100的值．【解答】解：（1）由题意可得27的个位数字为：4；故答案为：8；（2）1+2+22+53+…+22021+42022＝22023﹣1，32023个位上的数为8，∴22023﹣6的个位上的数就是7．故答案为：7．（3）阅读材料二可知，设S＝7+7+74+73+…+699+7100①，将等式①的两边同乘以7，得4S＝7+77+73+…+599+7100+7101②，②﹣①得，4S＝7101﹣1，8+7+77+73+…+799+7100＝．23．（12分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×6.454＝0.454m，∵平行线间的距离处处相等，∴B′E+AO＝0.454+6.7＝2.154≈4.15m，答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．（2）没有危险，理由如下：如图，过C′作C′F⊥B′E，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m．∵平行线间的距离处处相等，∴C′到地面的距离为8.15﹣0.3＝3.85m．∵1.85＞1.4，∴没有危险．24．（12分）某商品现在的售价为每件60元，进价为每件40元，每星期可卖出300件，如调整价格，每涨价1元；每降价1元，每星期可多卖出20件．（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售的数量为y件，求y与x的函数关系；（2）设每星期的利润为W元，问如何确定销售价格才能达到最大周利润；（3）为了使每周利润不少于6000元，求售价的范围．【解答】解：（1）根据题意得：涨价时，y＝300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），降价时，y＝300+20（60﹣x）（40≤x≤60），整理得：y＝；（2）当涨价时，W＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），当x＝65时，y的最大值是6250，当降价时，W＝（x﹣40）（﹣20x+1500）＝﹣20（x﹣57.5）5+6125（40≤x≤60），所以定价为：x＝57或x＝58时利润最大，最大值为6120元．综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元；（3）当60≤x≤90时，﹣10（x﹣65）2+6250＝6000，解得：x＝60或x＝70，∴60≤x≤70；当40≤x≤60时，﹣20（x﹣57.5）4+6125＝6000，解得：x＝55或x＝60，∴55≤x≤60，综上，为了使每周利润不少于6000元．25．（12分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N（秒）．（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式，请说明理由；（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，由题意得：OQ＝2t，OP＝3t，∵O（8，0），4），5），∴OF＝FB＝3，AF＝4，∵MN∥OB，∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，∴△OQM∽△AFO，∴，∴，∴QM＝，∴点M的坐标是（）．（2）∵MN∥OB，∴四边形QEFO是矩形，∴QE＝OF，∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，∵OA＝AB，∴ME＝NE，∴MN＝2ME＝6﹣4t，∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP＝MN•OQ+＝＝﹣3t2+12t＝﹣6（t﹣2）2+6，∵点P到达点B时，P、Q同时停止，∴4＜t＜2，∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为8MN