2020-2021学年广西岑溪市高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年广西岑溪市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用交集的定义得到结果.【详解】因为集合，，则，故选：A.2．在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用几何概型的概率公式可知，黄豆落到阴影部分的概率为阴影部分的面积与圆的面积之比．【详解】由图象可知，将圆平均分成8份，阴影部分占3份.所以阴影部分面积占了圆面积的，所以落在阴影部分的概率是：故选：C3．已知函数，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算得出的值.【详解】，，则.故选：C.4．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是角的终边与单位圆交点,，=5．下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；B选项：是周期为的奇函数，故B正确；C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.故选：B.6．某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（）A．景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98B．景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283C．记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为，平均分为，则D．分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为，，则【答案】D【分析】对于A，直接计算极差判断即可；对于B，对数据排列后直接求中位数即可；对于C，计算众数和平均数判断；对于D，由数据的离散程度判断标准差【详解】解：对于A，景区A这七年的空气质量优良天数的极差为，所以A错误；对于B，景区B这七年的空气质量优良天数从小到大排列依次为，则中位数为266，所以B错误；对于C，由图中的数据可知，，则，所以C错误；对于D，由图中的数据可知，景区A这七年的空气质量优良天数比较分散，而景区B这七年的空气质量优良天数比较集中，所以，所以D正确，故选：D7．曲线上的点到直线的最大距离为（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】确定圆心和半径后，求得圆心到直线距离；利用圆上点到直线最大距离为可求得结果.【详解】曲线为圆，圆心到直线距离为，即直线与圆相离，故圆上的点到直线的最大距离为，故选：B.8．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根据框图，模拟程序运行即可求解.【详解】第一次执行程序，；第二次执行程序，；第三次执行程序，；第四次执行程序，，跳出循环输出，故输出的.故选：C9．比较，，的大小（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可求出，，进而可判断三者的大小关系.【详解】解：因为，所以，，，则，故选：B.10．把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则（）A． B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减【答案】D【分析】根据三角函数的平移变换可得，再由三角函数的性质逐一判断即可.【详解】将函数图象向左平移个单位长度得到的图象，再向上平移1个单位长度可得到的图象，故A错误.，故B错误；令，得，当时，；当时，，故C错误.令，，所以在上单调递减，故D正确.故选：D.11．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A．1 B．-1 C． D．【答案】D【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.【详解】由题意知，因为，所以，，，故选：D．12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则当函数在有零点时，关于其零点之和有以下阐述：①零点之和为；②零点之和为；③零点之和为；④零点之和为.其中结果有可能成立的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】由题意可知，函数关于对称，作出函数图像，将在有零点，转化为函数与函数有交点，结合图像，利用函数零点个数分类讨论即可.【详解】由题意，函数满足，所以函数关于对称，又因为当时，，所以作出函数的图像如图所示，在有零点，即函数与函数有交点，结合图像可知，当或时，有两个零点，零点之和为；当时，有三个零点，零点之和为；当时，有四个零点，零点和为，所以可能成立的有②③④.故选：D【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、填空题13．已知向量，且，则_________．【答案】【分析】由向量垂直得向量数量积为0即可得解.【详解】因，且，则.故答案为：14．若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为_________．【答案】【分析】根据扇形面积公式即可求出.【详解】扇形的圆心角为60°，转化为弧度为，该扇形的面积为.故答案为：.15．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.【答案】【分析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为，设制成的大铁球半径为，则，得，故大铁球的表面积为.故答案为：.16．已知是直线上任意两点，是外一点，若上一点满足，则的值是________.【答案】【分析】依题意知，cosθ+cos2θ＝1，于是得cosθ＝sin2θ，sin6θ＝2cosθ﹣1，sin2θ+sin4θ+sin6θ＝2cosθ，解方程cosθ+cos2θ＝1，可求得cosθ，从而可得答案．【详解】解：∵A、B、C三点共线，且cosθcos2θ，∴cosθ+cos2θ＝1，（三点共线的充要条件）∴cos2θ＝1﹣cosθ，∴cosθ＝1﹣cos2θ＝sin2θ，∴sin6θ＝cos3θ＝cosθ•（1﹣sin2θ）＝cosθ（1﹣cosθ）＝cosθ﹣cos2θ＝cosθ﹣（1﹣cosθ）＝2cosθ﹣1，∴sin2θ+sin4θ+sin6θ＝cosθ+cos2θ+2cosθ﹣1＝cosθ+1﹣cosθ+2cosθ﹣1＝2cosθ，由cos2θ＝1﹣cosθ得cosθ或cosθ1，舍去，∴cosθ，∴原式＝2cosθ1，故答案为1．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得，sin6θ＝2cosθ﹣1，sin2θ+sin4θ+sin6θ＝2cosθ是关键，也是难点，考查转化思想与运算能力，属于难题．三、解答题17．已知函数，且．（l）求的值．（2）当时，函数的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可构造方程，结合的结果可得结果；（2）由的范围可求得的范围，由正弦函数性质可确定最值点，由此得到最值.【详解】（1）且，；（2）由（1）知：，当时，，当，即时，.18．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间、、…、、．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；（3）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）可根据频率分布直方图得出结果；（2）可通过后三组的频率之和得出结果；（3）本题首先可令5名受访职工依次为、、、、，然后列出随机抽取2人的所有可能情况以及抽取2人的评分都在的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】（1），解得.（2）由频率分布直方图易知：50名受访学生评分不低于70的频率为，故该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为.（3）受访学生评分在的有人，依次为、、，受访学生评分在的有人，依次为、，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：、、、、、、、、、，因为所抽取2人的评分都在的结果有3种，依次为、、，所以此2人评分都在的概率.19．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面PBD；（2）若，直线与平面所成的角为45°，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P-ABCD的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；（2）因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形ABCD的面积为，故四棱锥P-ABCD的体积.20．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果:转速(转/秒)1615129每小时生产有缺陷的零件数（件）10985通过观察散点图，发现与有线性相关关系:（1）求关于的回归直线方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(参考:回归直线方程为，其中，）【答案】(1);(2)控制在16转/秒内.【分析】(1)结合已知数据，代入公式中，先求出，然后求出，进而可求出，从而可得回归方程.(2)由题意得，即可求出转速的最高速度.【详解】解：(1)由题意知，，所以，则，即关于的回归直线方程为.(2)由可得，解得，所以机器的运转速度应控制在16转/秒内.21．某公司对两种产品A，B的分析如下表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【答案】（1），其中；，其中；（2）答案见解析．【分析】（1）利润等于单件产品的盈利与件数的乘积；（2）分别根据函数的类型确定单调性求出最大值，作差比较二者大小即得．【详解】（1），其中，其中（2）∵，∴，∴在定义域上是增函数∴当时，又，∴当时，当时，即时，投资A产品可获得最大年利润．当时，即时，投资A或B产品可获得最大年利润．当时，即时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，满足关系.（1）设，求